趙延輝，魏鳳英

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350116)

狀態(tài)依賴的隨機(jī)干擾對(duì)一類流行病模型的影響

趙延輝，魏鳳英

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350116)

研究了一類狀態(tài)依賴的隨機(jī)干擾對(duì)流行病模型的影響，討論了具有飽和發(fā)生率的流行病模型的絕滅性及平穩(wěn)分布.根據(jù)伊藤公式及構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)，證明了解的存在唯一性.主要研究結(jié)果說(shuō)明：在適當(dāng)?shù)某浞謼l件下疾病會(huì)滅絕；該模型存在一個(gè)遍歷的平穩(wěn)分布；利用傅里葉變換，得到了解在地方病平衡點(diǎn)漸近服從三維正態(tài)分布.數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得結(jié)論的有效性.

隨機(jī)擾動(dòng)；流行病模型；飽和發(fā)生率；平穩(wěn)分布；正態(tài)分布

0 引言

1992年，Mena-Lorca等[1]在假設(shè)種群密度并非恒定不變，且易感者具有常數(shù)輸入率，部分感染者在恢復(fù)后具備免疫能力情形下，討論了雙線性傳染率的流行病模型

(1)

其中：S(t)，I(t)與R(t)分別代表t時(shí)刻易感者、感染者與恢復(fù)者的數(shù)量；A表示易感者的常數(shù)恢復(fù)率；β是疾病的傳染率，βS表示單位時(shí)間內(nèi)被一位感染者所傳染的人數(shù)，βSI是單位時(shí)間內(nèi)被所有感染者所傳染的人數(shù)；μ表示平均自然死亡率；ρ是感染者的因病平均死亡率；δ是免疫喪失率；γ為感染者的恢復(fù)率.

(2)

對(duì)模型(2)引入線性隨機(jī)白噪聲干擾項(xiàng)，即隨機(jī)干擾是狀態(tài)變量S，I，R的線性函數(shù)，得到干擾后的隨機(jī)SIRS流行病模型

(3)

其中：B1，B2，B3為相互獨(dú)立的一維標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)；σ1，σ2與σ3分別是易感者、感染者與恢復(fù)者的隨機(jī)噪聲強(qiáng)度.

1 解的存在唯一性

引理3[9]假設(shè)存在有界開(kāi)集U?En且滿足以下性質(zhì)：

(1) 在開(kāi)集U及其鄰域中，擴(kuò)散陣A(x)的最小特征值是非零的；

(4)

(5)

于是

dV(S，I，R)≤Mdt+σ1(S-c)dB1(t)+σ2(I-1)dB2(t)+σ3(R-1)dB3(t).

(6)

將上式兩端從0到τn∧T積分后，再取數(shù)學(xué)期望得

EV(S(τn∧T)，I(τn∧T)，R(τn∧T))≤V(S(0)，I(0)，R(0))+MT<+∞.

對(duì)每一個(gè)ω∈Φn={τn≤T}，S(τn，ω)，I(τn，ω)，R(τn，ω)中至少有一個(gè)等于n-1或n，則

+∞>V(S(0)，I(0)，R(0))+MT≥E[IΦn(ω)V(S(τn∧T)，I(τn∧T)，R(τn∧T))]≥

(7)

其中IΦn(ω)為Φn的示性函數(shù).令n→+∞，有+∞>V(S(0)，I(0)，R(0))+MT≥+∞，矛盾.因此τ∞=+∞幾乎處處成立，定理得證.

2 解的絕滅性及平穩(wěn)分布

(8)

其中

(9)

定義C2-函數(shù)

b1V1+b2V2+b3V3+b4V4，

(10)

(11)

-L2(u2+v2+w2)+L1，

(12)

從而

dV≤[-L2(u2+v2+w2)+L1]dt+udB1(t)+vdB2(t)+wdB3(t).

(13)

對(duì)上式兩邊從0到t積分再取數(shù)學(xué)期望有

(14)

故

(15)

定理3 假設(shè)(S*，I*，R*)是模型(2)的地方病平衡點(diǎn).若

(16)

則模型(3)存在遍歷的平穩(wěn)分布.其中

(17)

證明 由于(S*，I*，R*)是模型(2)的地方病平衡點(diǎn)，滿足

定義C2-函數(shù)

(18)

(19)

取e1=δ，e2=δργ-1，e3=β-1(a+bI*2)[δ(2μ+ρ)+2μ(2μ+ρ+γ)]，e4=2μ，則由(17)式得

LV≤-η1(S-S*)2-η2(I-I*)2-η3(R-R*)2+η.

定理4 若模型(2)的地方病平衡點(diǎn)(S*，I*，R*)是穩(wěn)定的，則模型(3)的解(S，I，R)漸近服從三維正態(tài)分布N((S*，I*，R*)，C(S，I，R)(0)).

證明 模型(3)簡(jiǎn)記為(dS，dI，dR)T=g(S，I，R)dt+σ(S，I，R)dB(t)，在地方病平衡點(diǎn)(S*，I*，R*)泰勒展開(kāi)，又由于偏差S-S*，I-I*，R-R*不大，且σ1，σ2，σ3是較小的噪聲強(qiáng)度，所以σ1(S-S*)，σ2(I-I*)，σ3(R-R*)較小，忽略高階項(xiàng)，得到近似模型

df=[g(S*，I*，R*)+g′(S*，I*，R*)f]dt+σ(S*，I*，R*)dB(t).

(20)

其中f=(S-S*，I-I*，R-R*)T，σ(S*，I*，R*)=diag(σ1S*，σ2I*，σ3R*)，

由于(S*，I*，R*)是穩(wěn)定的，所以g(S*，I*，R*)=0，g′(S*，I*，R*)<0，從而方程(20)退化為三維Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程

df-g′(S*，I*，R*)fdt=σ(S*，I*，R*)dB(t)，

(21)

(22)

(23)

-(iω)2Sf(ω)+g′Sf(ω)g′T+iωg′Sf(ω)-iwSf(ω)g′T=(σ(S*，I*，R*))2.

(24)

由于g′的所有特征值都具有嚴(yán)格的負(fù)實(shí)部，所以g′±iωI是可逆矩陣，于是

Sf(ω)=(g′-iωI)-1(σ(S*，I*，R*))2[(g′+iωI)T]-1.

(25)

將上式作傅里葉逆變換，并取τ=0，得到方差矩陣

(26)

故Cf(0)=C(S，I，R)(0).

3 數(shù)值模擬

利用Milstein高階方法[10]，得到離散化方程組

(27)

其中ξi，k(i=1，2，3，k=1，2，3，…，n)為獨(dú)立高斯隨機(jī)變量N(0，1).

在模型(3)中，取初值(S(0)，I(0)，R(0))=(5，3.5，1.5)，及參數(shù)

A=2，β=0.01，a=1.5，b=0.5，μ=0.03，δ=0.74，

ρ=0.45，γ=0.35，σ1=0.013，σ2=0.001，σ3=0.05.

取模型(3)的初值(S(0)，I(0)，R(0))=(2.4，1.2，0.5)，k=10 000，t=200，參數(shù)A=45，β=0.07，a=0.02，b=0.085，μ=0.3，δ=0.95，ρ=0.65，γ=0.24，σ1=0.025，σ2=0.008，σ3=0.024.則定理3的條件成立，因此模型(3)的解在地方病平衡點(diǎn)周圍振蕩，并漸近服從三維正態(tài)分布N((S*，I*，R*)，C(S，I，R)(0))，這說(shuō)明疾病將流行.

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

Impact of random perturbations with state-dependent on an epidemic model

ZHAO Yan-hui，WEI Feng-ying

(College of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou 350116，China)

This paper focuses on the impact of random perturbations with state-dependent on an epidemic model.The extinction and the stationary distribution of the epidemic model with a saturated incidence are discussed.By means of Ito’s formula and constructing Lyapunov functions，the existence and uniqueness of a global positive solution is investigated.The main results declare that the disease will die out under some sufficient conditions.And the model admits a stationary distribution with ergodic property and the solution asymptotically follows a three-dimensional normal distribution around the endemic equilibrium according to Fourier transform.Some numerical simulations are carried out to show the efficiency of our main results.

random perturbations；epidemic model；saturated incidence；stationary distribution；normal distribution

1000-1832(2017)01-0009-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.002

2015-11-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201075)；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016J01015).

趙延輝(1990— )，女，碩士，主要從事隨機(jī)微分方程研究；魏鳳英(1976—)，女，博士，教授，主要從事生物數(shù)學(xué)與隨機(jī)微分方程研究.

O 211 [學(xué)科代碼] 110·64

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