張 敬，高 夯

(1.齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春 130024)

一類由退化半線性拋物方程所支配系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題

張 敬1，高 夯2

(1.齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春 130024)

研究了一類由退化半線性拋物方程所支配的分布參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題.當(dāng)退化點(diǎn)集的測度為零時，利用正則化方法和變分思想，得到了該分布參數(shù)系統(tǒng)最優(yōu)控制的Pontryagin最大值原理.

退化半線性拋物方程；最優(yōu)控制；正則化方法；變分思想；Pontryagin最大值原理

1 問題的提出與主要結(jié)果

最優(yōu)控制理論是發(fā)展迅速的現(xiàn)代控制理論的核心內(nèi)容之一，其主要實(shí)質(zhì)是在滿足一定約束條件下，尋找容許的控制規(guī)律使規(guī)定的指標(biāo)泛函達(dá)到最小值.自從集中參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制理論建立后，眾多學(xué)者就致力于把它推廣到分布參數(shù)系統(tǒng)：李訓(xùn)經(jīng)和雍炯敏[1]對一類分布參數(shù)系統(tǒng)最優(yōu)性條件進(jìn)行了討論；E.Casas，J.P.Raymond等學(xué)者研究了各類拋物方程支配系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，得到了系統(tǒng)最優(yōu)控制的存在性或必要條件.[2-8]由于在滲流理論、生物化學(xué)以及生物群體動力學(xué)等領(lǐng)域都提出了非線性退化拋物方程，研究這類退化方程支配系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題更具現(xiàn)實(shí)意義.S.M.Lenhart和雍炯敏[9]研究了一類帶有邏輯增長的退化拋物方程的最優(yōu)控制問題，得到了方程解的存在唯一性、正則性以及系統(tǒng)最優(yōu)控制的存在性.本文所研究的是文獻(xiàn)[10]中提及但退化情形不同的拋物方程支配系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題.

本文討論如下的退化半線性拋物方程支配的系統(tǒng)

(1)

其中QT=Ω×(0，T)，Ω?Rn(n≥2)是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，?QT=?Ω×(0，T)，控制函數(shù)u(x，t)∈U，U為Rm中的有界閉集.

假設(shè)：

(P2)f：QT×R×U→R滿足：f(·，y，u)在QT上有界可測；f(x，t，·，·)，fy(x，t，·，·)在R×U上連續(xù)，且存在常數(shù)L>0使得

|fu(x，t，y，u)|≤L，?(x，t，y，u)∈QT×R×U.

由于方程具有退化性，問題(1)可能不存在古典解，需討論其廣義解.

引入容許控制集

Uad={u：QT→U|u(·)在QT上可測}.

成立.

定理1 假設(shè)(P1)與(P2)成立.若y0(x)∈L2(Ω)，則對任意的u(·)∈Uad，問題(1)存在唯一的廣義解y(·)∈L2(0，T；Ha(Ω))∩C(0，T；L2(Ω)).

在Uad上定義泛函

J(u(·))=∫QTf0(x，t，y(x，t)，u(x，t))dxdt.

進(jìn)一步假設(shè)：

成立，其中

而ψ(·)∈L2(0，T；Ha(Ω))∩C(0，T；L2(Ω))滿足

(2)

2 狀態(tài)方程的變分

對δ>0，考慮問題(1)的正則化問題

(3)

(4)

(5)

(6)

(5)與(6)相減得

利用Cauchy不等式并整理得

而

(7)

其中C2與δ無關(guān).

(8)

(9)

證明 對任意的η∈(0，1)，存在Qη?QT，滿足|Qη|=η|QT|.對任意的u(·)∈Uad定義

顯然uη(·)∈Uad.

若yη(·)為問題(3)相應(yīng)于uη(·)的解，則有

(10)

(10)與(5)式相減得

(11)

從而

(12)

由拋物方程解的有界性估計(jì)理論有

(13)

(14)

由Minkowski不等式有

而

這里B為Lq(QT)中的單位球，故對任意ε>0，存在φ0(·)∈B，使得

由文獻(xiàn)[13]，對任意ε>0，存在Qη?QT，滿足|Qη|=η|QT|，有

于是

(15)

|Yη|

(16)

下面證明當(dāng)η→0時，Yη(·)→Yδ(·)，其中Yδ(·)滿足方程

(17)

將(14)與(17)式相減得

從而

于是

由(13)與(16)式得

且

令η→0，由(14)式即得(17)式為Yδ(·)滿足的方程.

下面證明當(dāng)δ→0時，Yδ(·)→Y(·)，其中Y(·)滿足方程(9).

在(17)式兩端同乘Yδ，并在Ω上積分有

利用Young不等式和假設(shè)(P2)有

再由Gronwall不等式

(18)

從而存在Y(·)∈L2(QT)和Yδ(·)的一個子列，不妨記為其本身，使得

Yδ(·)→Y(·)，δ→0，

(19)

(20)

(21)

(22)

由(22)式可得

(23)

令δ→0，利用(8)，(19)，(20)和(23)式，由(22)式可得

(24)

由(24)式即知Y(·)滿足方程(9)，亦稱方程(9)為系統(tǒng)(1)的變分方程.

3 主要定理的證明

定理1的證明 首先證明廣義解的存在性.

由文獻(xiàn)[14]知問題(3)存在唯一的廣義解yδ(·)∈L2(0，T；Ha(Ω))∩C(0，T；L2(Ω)).在(3)式兩端同乘yδ并在Ω上積分有

再由Cauchy不等式，假設(shè)(P2)和Gronwall不等式有

從而

故存在y(·)∈L2(0，T；Ha(Ω))∩C(0，T；L2(Ω))及yδ(·)的一個子列，不妨記為其本身，滿足：

yδ(·)→y(·)，δ→0；

類似引理2中證明可得

即y(·)∈L2(0，T；Ha(Ω))∩C(0，T；L2(Ω))是問題(1)的廣義解.

再證廣義解的唯一性.

再由假設(shè)(P2)可得

故

即

定理2的證明 對泛函作變分

令η→0，δ→0，利用假設(shè)(P3)上式化為

(25)

設(shè)變分方程(9)的對偶方程為方程(2)，利用此對偶方程，(25)式可化為

再由變分方程(9)得

(26)

由(26)式可得

(27)

將(27)式除以ρ，再令ρ→0，由Lebesgue點(diǎn)定義得

根據(jù)H(x，t，v)的Lebesgue點(diǎn)集在QT中稠密有

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

Optimal control problems for system governed by a class of degenerate semilinear parabolic equation

ZHANG Jing1，GAO Hang2

(1.School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China； 2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

Optimal control problems for distributed parameter system governed by a class of degenerate semilinear parabolic equation are considered.When the measure of degenerate-points is zero，Pontryagin maximum principle for optimal control of the distributed parameter system is obtained by using regularization method and variational thought.

degenerate semilinear parabolic equation；optimal control；regularization method；variational thought；Pontryagin maximum principle

1000-1832(2017)01-0001-08

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.001

2015-08-09

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071036)；黑龍江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(QC2016008)；黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(12541891).

張敬(1969—)，女，碩士，教授，主要從事控制論與偏微分方程研究；高夯(1956—)，男，博士，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事控制論與偏微分方程研究.

O 232 [學(xué)科代碼] 120·30

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