☉湖北省十堰市鄖陽(yáng)中學(xué) 梁修曦

圓錐曲線正交弦的性質(zhì)及其應(yīng)用
——一道課本習(xí)題的歸納和延伸

☉湖北省十堰市鄖陽(yáng)中學(xué) 梁修曦

原題如圖1，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB．

這是人教版教材選修2-1第73頁(yè)習(xí)題2．4的第6題，此問(wèn)題可歸納為一般性質(zhì)：A，B是拋物線y2= 2px（p＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，則直線AB過(guò)定點(diǎn)（2p，0）；反之亦成立．

筆者猜想，橢圓和雙曲線中是否有類似的性質(zhì)呢？經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，答案是肯定的．

圖1

一、過(guò)圓錐曲線頂點(diǎn)的正交弦的性質(zhì)

性質(zhì)1A，B，C是圓錐曲線上不重合的三個(gè)點(diǎn)，若CA⊥CB，則直線AB過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．

應(yīng)用1A、B是拋物線y2=2px（p＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求線段AB中點(diǎn)D的軌跡方程．

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），則運(yùn)用點(diǎn)差法可得．由“原題及歸納”知，定點(diǎn)Q（2p，0）也在AB上，故，可得D點(diǎn)的軌跡方程為y2=px-2p2．

于是筆者再猜想，將正交弦的交點(diǎn)換到橢圓和雙曲線的中心，是否還有其他的性質(zhì)呢？

二、過(guò)橢圓和雙曲線中心的正交弦的性質(zhì)

性質(zhì)2A、B是橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，則有以下結(jié)論：

（2）弦AB與定圓相切．

應(yīng)用2已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，且橢圓的離心率為，單位圓O的切線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求證：OA⊥OB；

（2）求△OAB面積的最小值．（2016肇慶市三模）

最后，我們將正交弦的交點(diǎn)移至圓錐曲線的焦點(diǎn)，又有了新的發(fā)現(xiàn)．

三、過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的正交弦的性質(zhì)

性質(zhì)3F是圓錐曲線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，與拋物線分別交于P，Q及M，N，則均為定值．

若F是拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，則上述定值分別為

應(yīng)用3已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓與直線相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)F1作兩條互相垂直的直線l1，l2，與橢圓分別交于P，Q及M，N，求四邊形PMQN的面積的最值．（2011卓越聯(lián)盟自主招考）

當(dāng)且僅當(dāng)PQ=MN時(shí)取等號(hào)．故四邊形PMQN的面積的最小值為

值得一提的是，圓錐曲線背景下的正交弦問(wèn)題，近十年來(lái)高考試題曾多次涉及，而定值和最值問(wèn)題又是圓錐曲線中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，在加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)的同時(shí)，適當(dāng)熟記一些性質(zhì)和結(jié)論，對(duì)解題是很有幫助的．

另外，對(duì)教材知識(shí)進(jìn)行探究性的分析、思索、歸納，從課本的例題習(xí)題出發(fā)，加以變式、延伸，可以拓展思維空間，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要舉措．通過(guò)這樣多方位、多角度、多層次的探究活動(dòng)，可以使學(xué)生的思維品質(zhì)不斷得以提升，并從中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)給人帶來(lái)的愉悅感和成就感．

1．余合橋．三種圓錐曲線定值題的共性．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2001（11）．

2．張?zhí)斓?、賈廣素、王瑋．全國(guó)重點(diǎn)大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)教程．山東科學(xué)技術(shù)出版社．