趙思林++王佩++徐小琴
摘 要 分析了人教A版函數(shù)定義存在的幾個(gè)問(wèn)題:一是教材中函數(shù)定義違背了“定義要相稱”的規(guī)則;二是定義中同一個(gè)符號(hào)或字母的意義不完全同一;三是教材中函數(shù)定義的敘述不夠簡(jiǎn)明。針對(duì)這些問(wèn)題,對(duì)函數(shù)定義提出了修訂建議。
關(guān)鍵詞 函數(shù)定義 下定義 修訂
數(shù)學(xué)對(duì)于人思維培養(yǎng)最重要的作用在于培養(yǎng)人的理性思維(精神),而培養(yǎng)人的理性思維(精神)最根本的實(shí)現(xiàn)路徑是培養(yǎng)人的邏輯思維。概念、判斷和推理是邏輯思維的三大基本形式,其中概念是邏輯思維最基本的形式,可以說(shuō)概念是邏輯思維的細(xì)胞。數(shù)學(xué)概念是數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性或特征在人腦中的反應(yīng)。函數(shù)作為研究變量之間關(guān)系的科學(xué),在數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位?!昂瘮?shù)是數(shù)學(xué)的靈魂”(克萊因語(yǔ))[1]。函數(shù)作為數(shù)學(xué)中最核心的基本概念之一,不僅是高中數(shù)學(xué)最重要的一條教學(xué)主線,而且是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維十分寶貴的教學(xué)素材。因此,函數(shù)定義具有較高的教育價(jià)值和研究?jī)r(jià)值。
對(duì)高中函數(shù)定義本身存在的邏輯問(wèn)題,至今尚未看到相關(guān)的研究與文獻(xiàn)。本文對(duì)函數(shù)定義本身存在的邏輯問(wèn)題提出質(zhì)疑,并作一些分析和探討。為研究簡(jiǎn)單,以目前全國(guó)使用最多的人教A版高中數(shù)學(xué)教材(必修1)(以下簡(jiǎn)稱教材)為例,對(duì)教材中函數(shù)定義存在的邏輯問(wèn)題進(jìn)行了分析,提出了修訂意見(jiàn)。
一、函數(shù)定義存在的問(wèn)題
教材中函數(shù)定義為:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)(function),記作y=f(x),x∈A。其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域(domain);與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域(range)[2]。
研究數(shù)學(xué)概念的一項(xiàng)重要工作是給概念下定義。按照邏輯學(xué)的要求,下定義必須遵守4條規(guī)則:“定義要相稱,定義不得循環(huán),定義要簡(jiǎn)明即簡(jiǎn)單、明確,定義一般不用否定形式”[3]。其中,定義要相稱是指定義項(xiàng)的外延與被定義項(xiàng)的外延必須相等。十三院校協(xié)編組編寫的《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法總論》(第二版)第121頁(yè)也寫了這4條規(guī)則,并對(duì)“定義應(yīng)簡(jiǎn)明”作了解釋,即“定義中不應(yīng)列舉非本質(zhì)屬性或者多余的詞語(yǔ)”[4]。這4條規(guī)則是判斷一個(gè)定義是否存在邏輯問(wèn)題的重要標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)科教學(xué)專家和中學(xué)一線教師在編寫教材或使用教材時(shí)應(yīng)該示范性地遵守下定義的4條規(guī)則。
筆者依據(jù)下定義必須遵循的規(guī)則,結(jié)合自己的思考發(fā)現(xiàn),教材中函數(shù)定義違背下定義的兩條規(guī)則,即違背了“定義要相稱”和“定義要簡(jiǎn)單、明確”。由此推知,教材中函數(shù)定義存在三個(gè)問(wèn)題:一是教材中函數(shù)定義違背了“定義要相稱”的規(guī)則;二是定義中同一個(gè)符號(hào)或字母的意義不完全同一,具體表現(xiàn)在定義中有些相同字母的意義不盡同一或一致;三是教材中函數(shù)定義的敘述不簡(jiǎn)明。
1.教材中函數(shù)定義違背了“定義要相稱”的規(guī)則
函數(shù)按自變量的個(gè)數(shù)分類,可以分為一元函數(shù)和多元函數(shù),因此,“函數(shù)”概念的外延等于“一元函數(shù)”的外延加“多元函數(shù)”的外延。從函數(shù)定義的字面意義來(lái)看,被定義項(xiàng)是“函數(shù)”,而定義項(xiàng)是“一元函數(shù)”,因此,被定義項(xiàng)的外延不等于定義項(xiàng)的外延,這就違背了“定義要相稱”的規(guī)則。被定義項(xiàng)是“函數(shù)”還意味著,這里的“函數(shù)”可以是“一元函數(shù)”也可以是“多元函數(shù)”,很顯然,被定義項(xiàng)的外延擴(kuò)大了。例如,z=x-2y或f(x,y)=x-2y是函數(shù)嗎?這顯然是一個(gè)二元函數(shù),當(dāng)然是函數(shù)。但如果用上述定義判斷,z=x-2y不是函數(shù),這顯然是荒謬的。因?yàn)榻滩闹泻瘮?shù)定義實(shí)質(zhì)上是“一元函數(shù)”的定義,而不是“多元函數(shù)”的定義。所以,荒謬是用“一元函數(shù)”的定義去判斷二元函數(shù)造成的。因此,筆者建議,高中函數(shù)定義應(yīng)指明:“那么就稱f:A→B為從數(shù)集A到數(shù)集B的一個(gè)一元函數(shù),簡(jiǎn)稱為函數(shù)”,加上“一元”二字就保證了“定義要相稱”。
2.定義中同一個(gè)符號(hào)或字母的意義不完全同一
按照邏輯學(xué)的要求,在一個(gè)定義中,同一個(gè)詞語(yǔ)、同一個(gè)符號(hào)它們的意義(含義)必須保持同一性,也就是應(yīng)該保持前后一致。
定義中x共出現(xiàn)了9次,其意義不完全同一或不完全一致。x第一次出現(xiàn)在“一個(gè)數(shù)x”或“任意一個(gè)數(shù)x”,這里的x是一個(gè)數(shù);x第二次出現(xiàn)在“數(shù)f(x)”,這里的f(x)表示一個(gè)數(shù),那么x也是數(shù),但這里x的有多少個(gè)呢,情況是非常復(fù)雜的;第三、四次x出現(xiàn)在“y=f(x),x∈A”,這里的x是自變量??梢钥闯觯瑇有時(shí)是一個(gè)數(shù),有時(shí)是自變量。還需要思考的問(wèn)題是,定義中x出現(xiàn)的次數(shù)能夠減少嗎?
字母A出現(xiàn)了7次。第一次出現(xiàn)在“設(shè)A、B是非空的數(shù)集”,第二次的表述變成“集合A”。很明顯,第二次的“集合”比第一次的“數(shù)集”范圍擴(kuò)大了,造成這兩次的表述不一致。筆者建議,將兩次的表述都統(tǒng)一寫成“數(shù)集”,也可以把第二次的表述“集合A”簡(jiǎn)化為“A”。還需要思考的問(wèn)題是,定義中A出現(xiàn)的次數(shù)能夠減少嗎?
符號(hào)f(x)共出現(xiàn)了3次。第一次出現(xiàn)在“在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)”,這里的“數(shù)f(x)”中的f(x)是數(shù);第二次出現(xiàn)在“記作y=f(x),x∈A”中,這里的f(x)是“函數(shù)”;第三次出現(xiàn)在“函數(shù)值的集合{y=f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域”,這里的f(x)是集合的代表元,是函數(shù)值??傊琭(x)第一次是表示數(shù)、第二次表示函數(shù)、第三次表示函數(shù)值,它們的含義不盡相同。筆者建議,在函數(shù)定義第一學(xué)時(shí)的課中不需把符號(hào){y=f(x)|x∈A}呈現(xiàn)出來(lái),或在定義中根本就不出現(xiàn)符號(hào){y=f(x)|x∈A},這有利于分散教學(xué)難點(diǎn),降低學(xué)習(xí)難度。還需要思考的問(wèn)題是,定義中f(x)出現(xiàn)的次數(shù)能夠減少嗎?
3.教材中函數(shù)定義的敘述不簡(jiǎn)明且難懂
下面兩則是其他文獻(xiàn)對(duì)函數(shù)的定義:
給定非空實(shí)數(shù)集合X、Y,給定對(duì)應(yīng)關(guān)系f,如果 X中每一個(gè)元素x,根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系f,都有Y中唯一確定的元素f(x)與之對(duì)應(yīng),那么我們就把此對(duì)應(yīng)關(guān)系f叫做集合X到集合Y的函數(shù),或把f:X→Y或y=f(x)稱為一個(gè)函數(shù)[5]。
1837年,德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克萊的定義是“如果對(duì)于x的每一個(gè)值,y總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng),則y是x的函數(shù)”[6]。
對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的本質(zhì),描述對(duì)應(yīng)關(guān)系的語(yǔ)句是函數(shù)定義的精髓。在敘述對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)一般有“如果X中每一個(gè)元素x,根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系f,都有Y中唯一確定的元素f(x)與之對(duì)應(yīng)” [5],或“如果對(duì)于x的每一個(gè)值,y總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)”[6],或“使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)”[2]等語(yǔ)句出現(xiàn),這些語(yǔ)句一般分成兩句或三句,最后幾個(gè)字往往都能提取出相同或相近的說(shuō)法“f(x)與之對(duì)應(yīng)”“值與之對(duì)應(yīng)”“f(x)和它對(duì)應(yīng)”,這些敘述有點(diǎn)繞,容易產(chǎn)生歧義。以教材中函數(shù)定義為例來(lái)分析,“f(x)和它對(duì)應(yīng)”中的“它”顯然是指x,就是說(shuō)f(x)和x對(duì)應(yīng)。由此問(wèn)題就出來(lái)了是“f(x)對(duì)應(yīng)x”呢?還是“x對(duì)應(yīng)f(x)”呢?按“f(x)和它對(duì)應(yīng)”的字面意思,應(yīng)理解為“f(x)對(duì)應(yīng)x”,但定義的本意是“x對(duì)應(yīng)f(x)”。因此,筆者建議,把“使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù),在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)”改為:“使A中的任意一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著B(niǎo)中唯一確定的數(shù)”,也可以改為“使A中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著B(niǎo)中唯一確定的數(shù)”,這樣表述就簡(jiǎn)潔、順暢了。
按照“定義應(yīng)簡(jiǎn)明,即定義中不應(yīng)列舉非本質(zhì)屬性或者多余的詞語(yǔ)”[4]的要求,定義中不應(yīng)列舉非本質(zhì)屬性的詞語(yǔ)、字母、符號(hào),應(yīng)盡可能地減少同一個(gè)詞語(yǔ)或字母或符號(hào)出現(xiàn)的次數(shù)。教材的函數(shù)定義中,x共出現(xiàn)了9次、字母A出現(xiàn)了7次、符號(hào)f(x)出現(xiàn)了3次。同一個(gè)字母或符號(hào)多次出現(xiàn),就遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到“定義應(yīng)簡(jiǎn)明”的要求。怎樣才能達(dá)到“定義應(yīng)簡(jiǎn)明”的要求呢?一個(gè)簡(jiǎn)單的做法是,盡可能地減少同一個(gè)字母或符號(hào)或詞語(yǔ)出現(xiàn)的次數(shù),可要可不要的字母或符號(hào)或詞語(yǔ)就一定不要讓它出現(xiàn)。同一個(gè)字母或符號(hào)或詞語(yǔ)出現(xiàn)的次數(shù)越少,定義的敘述就越簡(jiǎn)明,且同一個(gè)字母或符號(hào)或詞語(yǔ)的含義就越能保持同一性。
二、函數(shù)定義的修訂建議
針對(duì)上述問(wèn)題,在給函數(shù)下定義時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):一是高中函數(shù)定義應(yīng)指明是一元函數(shù),并簡(jiǎn)稱為函數(shù);二是減少x、 A、f(x)等符號(hào)出現(xiàn)的次數(shù);三是文字?jǐn)⑹霾荒苡衅缌x;四是必須遵循下定義的4條規(guī)則;五是要注意定義中同一詞語(yǔ)意義的同一性,相同符號(hào)含義的一致性,語(yǔ)言表述的準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)單性等?;诖?,對(duì)函數(shù)定義提出修訂建議。
函數(shù)定義(修訂建議):設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使A中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著B(niǎo)中唯一確定的數(shù),那么就稱f:A→B為一個(gè)一元函數(shù),簡(jiǎn)稱為函數(shù),記作y=f(x),x∈A。其中,x叫做自變量,A叫做函數(shù)的定義域,與自變量的取值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。
在該函數(shù)定義中,x出現(xiàn)了2次, A出現(xiàn)了4次,f(x)只出現(xiàn)1次。利用該函數(shù)定義,函數(shù)的本質(zhì)可簡(jiǎn)述為:自變量在定義域中的每一個(gè)值都對(duì)應(yīng)并且只對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值,即自變量在定義域中的每一個(gè)值都有且只有一個(gè)函數(shù)值。認(rèn)識(shí)這一本質(zhì),函數(shù)就容易理解了。
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【責(zé)任編輯 郭振玲】