趙思林++王佩++徐小琴

摘 要 分析了人教A版函數(shù)定義存在的幾個(gè)問(wèn)題：一是教材中函數(shù)定義違背了“定義要相稱”的規(guī)則；二是定義中同一個(gè)符號(hào)或字母的意義不完全同一；三是教材中函數(shù)定義的敘述不夠簡(jiǎn)明。針對(duì)這些問(wèn)題，對(duì)函數(shù)定義提出了修訂建議。

關(guān)鍵詞 函數(shù)定義 下定義 修訂

數(shù)學(xué)對(duì)于人思維培養(yǎng)最重要的作用在于培養(yǎng)人的理性思維（精神），而培養(yǎng)人的理性思維（精神）最根本的實(shí)現(xiàn)路徑是培養(yǎng)人的邏輯思維。概念、判斷和推理是邏輯思維的三大基本形式，其中概念是邏輯思維最基本的形式，可以說(shuō)概念是邏輯思維的細(xì)胞。數(shù)學(xué)概念是數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性或特征在人腦中的反應(yīng)。函數(shù)作為研究變量之間關(guān)系的科學(xué)，在數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位?！昂瘮?shù)是數(shù)學(xué)的靈魂”（克萊因語(yǔ)）[1]。函數(shù)作為數(shù)學(xué)中最核心的基本概念之一，不僅是高中數(shù)學(xué)最重要的一條教學(xué)主線，而且是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維十分寶貴的教學(xué)素材。因此，函數(shù)定義具有較高的教育價(jià)值和研究?jī)r(jià)值。

對(duì)高中函數(shù)定義本身存在的邏輯問(wèn)題，至今尚未看到相關(guān)的研究與文獻(xiàn)。本文對(duì)函數(shù)定義本身存在的邏輯問(wèn)題提出質(zhì)疑，并作一些分析和探討。為研究簡(jiǎn)單，以目前全國(guó)使用最多的人教A版高中數(shù)學(xué)教材（必修1）（以下簡(jiǎn)稱教材）為例，對(duì)教材中函數(shù)定義存在的邏輯問(wèn)題進(jìn)行了分析，提出了修訂意見(jiàn)。

一、函數(shù)定義存在的問(wèn)題

教材中函數(shù)定義為：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function），記作y=f（x），x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域（range）[2]。

研究數(shù)學(xué)概念的一項(xiàng)重要工作是給概念下定義。按照邏輯學(xué)的要求，下定義必須遵守4條規(guī)則：“定義要相稱，定義不得循環(huán)，定義要簡(jiǎn)明即簡(jiǎn)單、明確，定義一般不用否定形式”[3]。其中，定義要相稱是指定義項(xiàng)的外延與被定義項(xiàng)的外延必須相等。十三院校協(xié)編組編寫的《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法總論》（第二版）第121頁(yè)也寫了這4條規(guī)則，并對(duì)“定義應(yīng)簡(jiǎn)明”作了解釋，即“定義中不應(yīng)列舉非本質(zhì)屬性或者多余的詞語(yǔ)”[4]。這4條規(guī)則是判斷一個(gè)定義是否存在邏輯問(wèn)題的重要標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)科教學(xué)專家和中學(xué)一線教師在編寫教材或使用教材時(shí)應(yīng)該示范性地遵守下定義的4條規(guī)則。

筆者依據(jù)下定義必須遵循的規(guī)則，結(jié)合自己的思考發(fā)現(xiàn)，教材中函數(shù)定義違背下定義的兩條規(guī)則，即違背了“定義要相稱”和“定義要簡(jiǎn)單、明確”。由此推知，教材中函數(shù)定義存在三個(gè)問(wèn)題：一是教材中函數(shù)定義違背了“定義要相稱”的規(guī)則；二是定義中同一個(gè)符號(hào)或字母的意義不完全同一，具體表現(xiàn)在定義中有些相同字母的意義不盡同一或一致；三是教材中函數(shù)定義的敘述不簡(jiǎn)明。

1.教材中函數(shù)定義違背了“定義要相稱”的規(guī)則

函數(shù)按自變量的個(gè)數(shù)分類，可以分為一元函數(shù)和多元函數(shù)，因此，“函數(shù)”概念的外延等于“一元函數(shù)”的外延加“多元函數(shù)”的外延。從函數(shù)定義的字面意義來(lái)看，被定義項(xiàng)是“函數(shù)”，而定義項(xiàng)是“一元函數(shù)”，因此，被定義項(xiàng)的外延不等于定義項(xiàng)的外延，這就違背了“定義要相稱”的規(guī)則。被定義項(xiàng)是“函數(shù)”還意味著，這里的“函數(shù)”可以是“一元函數(shù)”也可以是“多元函數(shù)”，很顯然，被定義項(xiàng)的外延擴(kuò)大了。例如，z=x-2y或f（x，y）=x-2y是函數(shù)嗎？這顯然是一個(gè)二元函數(shù)，當(dāng)然是函數(shù)。但如果用上述定義判斷，z=x-2y不是函數(shù)，這顯然是荒謬的。因?yàn)榻滩闹泻瘮?shù)定義實(shí)質(zhì)上是“一元函數(shù)”的定義，而不是“多元函數(shù)”的定義。所以，荒謬是用“一元函數(shù)”的定義去判斷二元函數(shù)造成的。因此，筆者建議，高中函數(shù)定義應(yīng)指明：“那么就稱f：A→B為從數(shù)集A到數(shù)集B的一個(gè)一元函數(shù)，簡(jiǎn)稱為函數(shù)”，加上“一元”二字就保證了“定義要相稱”。

2.定義中同一個(gè)符號(hào)或字母的意義不完全同一

按照邏輯學(xué)的要求，在一個(gè)定義中，同一個(gè)詞語(yǔ)、同一個(gè)符號(hào)它們的意義（含義）必須保持同一性，也就是應(yīng)該保持前后一致。

定義中x共出現(xiàn)了9次，其意義不完全同一或不完全一致。x第一次出現(xiàn)在“一個(gè)數(shù)x”或“任意一個(gè)數(shù)x”，這里的x是一個(gè)數(shù)；x第二次出現(xiàn)在“數(shù)f（x）”，這里的f（x）表示一個(gè)數(shù)，那么x也是數(shù)，但這里x的有多少個(gè)呢，情況是非常復(fù)雜的；第三、四次x出現(xiàn)在“y=f（x），x∈A”，這里的x是自變量?？梢钥闯觯瑇有時(shí)是一個(gè)數(shù)，有時(shí)是自變量。還需要思考的問(wèn)題是，定義中x出現(xiàn)的次數(shù)能夠減少嗎？

字母A出現(xiàn)了7次。第一次出現(xiàn)在“設(shè)A、B是非空的數(shù)集”，第二次的表述變成“集合A”。很明顯，第二次的“集合”比第一次的“數(shù)集”范圍擴(kuò)大了，造成這兩次的表述不一致。筆者建議，將兩次的表述都統(tǒng)一寫成“數(shù)集”，也可以把第二次的表述“集合A”簡(jiǎn)化為“A”。還需要思考的問(wèn)題是，定義中A出現(xiàn)的次數(shù)能夠減少嗎？

符號(hào)f（x）共出現(xiàn)了3次。第一次出現(xiàn)在“在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)”，這里的“數(shù)f（x）”中的f（x）是數(shù)；第二次出現(xiàn)在“記作y=f（x），x∈A”中，這里的f（x）是“函數(shù)”；第三次出現(xiàn)在“函數(shù)值的集合{y=f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域”，這里的f（x）是集合的代表元，是函數(shù)值?？傊琭（x）第一次是表示數(shù)、第二次表示函數(shù)、第三次表示函數(shù)值，它們的含義不盡相同。筆者建議，在函數(shù)定義第一學(xué)時(shí)的課中不需把符號(hào){y=f（x）|x∈A}呈現(xiàn)出來(lái)，或在定義中根本就不出現(xiàn)符號(hào){y=f（x）|x∈A}，這有利于分散教學(xué)難點(diǎn)，降低學(xué)習(xí)難度。還需要思考的問(wèn)題是，定義中f（x）出現(xiàn)的次數(shù)能夠減少嗎？

3.教材中函數(shù)定義的敘述不簡(jiǎn)明且難懂

下面兩則是其他文獻(xiàn)對(duì)函數(shù)的定義：

給定非空實(shí)數(shù)集合X、Y，給定對(duì)應(yīng)關(guān)系f，如果 X中每一個(gè)元素x，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，都有Y中唯一確定的元素f（x）與之對(duì)應(yīng)，那么我們就把此對(duì)應(yīng)關(guān)系f叫做集合X到集合Y的函數(shù)，或把f：X→Y或y=f（x）稱為一個(gè)函數(shù)[5]。

1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克萊的定義是“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)”[6]。

對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的本質(zhì)，描述對(duì)應(yīng)關(guān)系的語(yǔ)句是函數(shù)定義的精髓。在敘述對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)一般有“如果X中每一個(gè)元素x，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，都有Y中唯一確定的元素f（x）與之對(duì)應(yīng)” [5]，或“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)”[6]，或“使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)”[2]等語(yǔ)句出現(xiàn)，這些語(yǔ)句一般分成兩句或三句，最后幾個(gè)字往往都能提取出相同或相近的說(shuō)法“f（x）與之對(duì)應(yīng)”“值與之對(duì)應(yīng)”“f（x）和它對(duì)應(yīng)”，這些敘述有點(diǎn)繞，容易產(chǎn)生歧義。以教材中函數(shù)定義為例來(lái)分析，“f（x）和它對(duì)應(yīng)”中的“它”顯然是指x，就是說(shuō)f（x）和x對(duì)應(yīng)。由此問(wèn)題就出來(lái)了是“f（x）對(duì)應(yīng)x”呢？還是“x對(duì)應(yīng)f（x）”呢？按“f（x）和它對(duì)應(yīng)”的字面意思，應(yīng)理解為“f（x）對(duì)應(yīng)x”，但定義的本意是“x對(duì)應(yīng)f（x）”。因此，筆者建議，把“使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)”改為：“使A中的任意一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著B(niǎo)中唯一確定的數(shù)”，也可以改為“使A中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著B(niǎo)中唯一確定的數(shù)”，這樣表述就簡(jiǎn)潔、順暢了。

按照“定義應(yīng)簡(jiǎn)明，即定義中不應(yīng)列舉非本質(zhì)屬性或者多余的詞語(yǔ)”[4]的要求，定義中不應(yīng)列舉非本質(zhì)屬性的詞語(yǔ)、字母、符號(hào)，應(yīng)盡可能地減少同一個(gè)詞語(yǔ)或字母或符號(hào)出現(xiàn)的次數(shù)。教材的函數(shù)定義中，x共出現(xiàn)了9次、字母A出現(xiàn)了7次、符號(hào)f（x）出現(xiàn)了3次。同一個(gè)字母或符號(hào)多次出現(xiàn)，就遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到“定義應(yīng)簡(jiǎn)明”的要求。怎樣才能達(dá)到“定義應(yīng)簡(jiǎn)明”的要求呢？一個(gè)簡(jiǎn)單的做法是，盡可能地減少同一個(gè)字母或符號(hào)或詞語(yǔ)出現(xiàn)的次數(shù)，可要可不要的字母或符號(hào)或詞語(yǔ)就一定不要讓它出現(xiàn)。同一個(gè)字母或符號(hào)或詞語(yǔ)出現(xiàn)的次數(shù)越少，定義的敘述就越簡(jiǎn)明，且同一個(gè)字母或符號(hào)或詞語(yǔ)的含義就越能保持同一性。

二、函數(shù)定義的修訂建議

針對(duì)上述問(wèn)題，在給函數(shù)下定義時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：一是高中函數(shù)定義應(yīng)指明是一元函數(shù)，并簡(jiǎn)稱為函數(shù)；二是減少x、 A、f（x）等符號(hào)出現(xiàn)的次數(shù)；三是文字?jǐn)⑹霾荒苡衅缌x；四是必須遵循下定義的4條規(guī)則；五是要注意定義中同一詞語(yǔ)意義的同一性，相同符號(hào)含義的一致性，語(yǔ)言表述的準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)單性等?；诖?，對(duì)函數(shù)定義提出修訂建議。

函數(shù)定義（修訂建議）：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使A中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著B(niǎo)中唯一確定的數(shù)，那么就稱f：A→B為一個(gè)一元函數(shù)，簡(jiǎn)稱為函數(shù)，記作y=f（x），x∈A。其中，x叫做自變量，A叫做函數(shù)的定義域，與自變量的取值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。

在該函數(shù)定義中，x出現(xiàn)了2次， A出現(xiàn)了4次，f（x）只出現(xiàn)1次。利用該函數(shù)定義，函數(shù)的本質(zhì)可簡(jiǎn)述為：自變量在定義域中的每一個(gè)值都對(duì)應(yīng)并且只對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值，即自變量在定義域中的每一個(gè)值都有且只有一個(gè)函數(shù)值。認(rèn)識(shí)這一本質(zhì)，函數(shù)就容易理解了。

參考文獻(xiàn)

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【責(zé)任編輯 郭振玲】