吳文肖

摘 要： 關(guān)于帶電粒子在磁場中的處理問題，除了必要的半徑及時間推導(dǎo)公式外，有效確定粒子的圓弧軌跡顯得尤為關(guān)鍵。區(qū)別于傳統(tǒng)“定圓心”“取半徑”“畫圓弧”的常規(guī)法，本文從另一個角度給出了一種確定粒子軌跡的新方法——“窮舉法”，通過這種方法在例題中的實踐應(yīng)用，讓讀者通過不斷作圓的過程體驗粒子的運動特點，達到對粒子的動力學(xué)認識以及物理數(shù)學(xué)綜合能力的雙重提升。

關(guān)鍵詞：窮舉法；應(yīng)用；討論

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2017）2-0036-3

帶電粒子在磁場中運動，往往會受到洛倫茲力而做勻速圓周運動。確定粒子的運動軌跡成為解決其相關(guān)物理問題的核心。現(xiàn)行高中教材主要是利用粒子運動的幾何特點來加以確定，但是這種方法在原理特點上，帶有較為明顯的幾何特征，對幾何數(shù)學(xué)的知識儲備要求較高，對多粒子或多軌跡的復(fù)雜運動處理起來則顯得力有未逮。那么，有沒有一種更接近物理學(xué)科特點，更優(yōu)化，更能被學(xué)生接受同時提升其發(fā)展能力的處理方法呢？下面我們將介紹一種全新的方法，并對這種方法的應(yīng)用功能加以討論。

下面我們認識一下粒子運動的兩個重要特點：

1 兩點認識

1.1 半徑推導(dǎo)式

帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，運行的半徑推導(dǎo)：r=。因此，對于同一帶電粒子的運動，入射速度越大，磁場越弱，粒子運動的圓周半徑越大。

1.2 運動時間推導(dǎo)式

由粒子的周期公式可推導(dǎo)運行的時間：t=?？梢姡瑢τ谕粠щ娏Ｗ拥倪\動，圓弧對應(yīng)的圓心角越大，磁場越弱，運行時間越久。

2 窮舉法

2.1 基本思想

窮舉思想屬于數(shù)學(xué)和計算學(xué)范疇的分支，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)高端難題及密碼破譯工作中，是一種針對不定或難定事件，通過給出可能滿足的系列假設(shè)解，再通過篩選對這些解進行一一驗證，從而取出滿足題設(shè)所有條件的唯一解的方法。[1]

2.2 基本原理

帶電粒子在磁場中的運動軌跡的確定，實際上就是一個尋找唯一解的過程。常規(guī)法中利用垂徑定理和一條垂直于速度的線或兩條分別垂直于速度的線的交點來“定圓心”。但是，對于運動軌跡的不確定性、多解性或模糊性所導(dǎo)致的運動軌跡難定的物理模型，常規(guī)法的應(yīng)用就顯得捉襟見肘了。對此，我們急需一種優(yōu)化方法有效解決這類問題。

窮舉法的步驟：（1）根據(jù)洛倫茲力的方向確定圓心的大致范圍；（2）在圓心范圍內(nèi)作系列圓弧軌跡；（3）篩選圓弧遴選出滿足題意所有條件的圓弧。

3 應(yīng) 用

粒子在勻強磁場中的軌跡的難定性主要來自入射速度大小的不確定性、磁感應(yīng)強度大小的不確定性及入射方向的不確定性三個方面。而其中由入射速度大小及磁感應(yīng)強度大小所導(dǎo)致的運動不定在效果上一致。下面分成兩大類進行簡要應(yīng)用舉例。

3.1 入射速度（或磁感應(yīng)強度）大小不定

例1 已知xOy系第一象限內(nèi)分布如圖1所示的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向外，磁感應(yīng)強度為B，距離原點d位置處豎直放置擋板PQ。某時刻從O點豎直向上入射一束質(zhì)量為m，電荷量為q的正電粒子，粒子的速度大小各不相同，若要讓所有粒子都能經(jīng)過磁場最終打在擋板PQ上，試求粒子發(fā)射速度至少為多少？

解析 由于入射正電粒子速度方向始終豎直向上，洛倫茲力方向始終水平向左，即圓心應(yīng)該分布在x軸正半軸區(qū)間內(nèi)。入射速度大時，圓心分布較遠；速度小時，圓心分布較近。若從左至右逐一取圓心A、B、C等，以O(shè)A、OB、OC等作系列圓?、?、圓?、?、圓弧③（如圖2所示），其中“最近”圓?、賹?yīng)最小的入射速度，“最遠”圓?、蹖?yīng)最大的入射速度。

顯然，要讓所有粒子能打在擋板PQ上，只需要“最近”的圓?、龠\動的粒子能夠打在擋板上即可。

至少滿足條件：r>。

由r=，易得：v>。

反思1 觀察圖2，若粒子全部打在擋板上，主要集中在PQ哪一端？（PQ“上半段”）

反思2 上題中，若要讓所有粒子都不打在擋板PQ上，發(fā)射的速度又有什么要求？

（觀察圖2可得，要讓粒子都不打在擋板上，要求“最遠”的圓弧③不能打在擋板上，至少滿足條件：r≤， 即v≤）

3.2 入射速度方向不定

例2 如圖3所示，在0≤x≤a，0≤y≤范圍內(nèi)存在垂直于xOy平面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B。坐標原點O處有一個粒子源，某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的負電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方向夾角在0 °至90 °之間。已知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中已知粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子的速度大小？

解析 據(jù)題意知入射方向朝著第一象限任意方向，洛倫茲力的方向?qū)?yīng)分布在第四象限。由于入射粒子的速度大小相等，粒子運動半徑應(yīng)該等大，即所有粒子的圓心分布在以介于半徑到a之間距離作圓弧的四分之一圓弧AA'上；然后，在AA'范圍內(nèi)依次取點A、B、C等，以O(shè)A、OB、OC等作系列圓弧①、圓弧②、圓弧③（如圖4所示），其中圓弧①對應(yīng)豎直向上入射，圓弧②③對應(yīng)逐漸偏向x軸入射。

觀察系列圓弧可知，圓?、俚綀A?、谶^程，粒子留在磁場中的軌跡逐漸變長，而圓弧②到圓?、圮壽E長度又逐漸變短。對于相同的運行速率，軌跡最長的圓弧②所對應(yīng)的運行時間應(yīng)該最長，軌跡長度為四分之一圓弧，圓心角為。設(shè)圓?、诮痪匦紊线呌贒，右側(cè)邊于E，連接BD，過E作線段，EF⊥BD。

反思3 觀察圖4，是否有粒子從坐標（a，0）射出？射出的方向是豎直向下？（有，不是豎直向下）

3.3 入射速度（或磁感應(yīng)強度）大小及方向均不定

例3 如圖5所示，垂直于紙面的勻強磁場，有一個電子源P，它向紙面的各個方向發(fā)射等速率的電子。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，紙面上PQ兩點間距為L，則能擊中Q點的電子的最小速率為多大？

解析 P點粒子源發(fā)射的粒子朝著四面八方，洛倫茲力的方向也應(yīng)該朝四面八方。對于發(fā)射速率較小的粒子，粒子圓心分布在以P為圓心的“近圓”A上；而對于發(fā)射速率越大的粒子，圓心分布在以P為圓心的“遠圓”B上。分別在圓弧A和圓弧B上取點作系列圓?、佗冖邰芗阿茛蔻撷?。

觀察系列圓弧可知，發(fā)射粒子的速率越大，圓弧越接近Q點，要讓電子擊中Q，至少要求“遠圓”中的圓?、輨偤眠^點Q，則圓?、莅霃街辽贋椤?/p>

4 討 論

可見，對于帶電粒子在磁場中的物理模型，當粒子的入射速度大小、方向或磁感應(yīng)強度都唯一確定時，粒子的運動顯得較為單一，常規(guī)法的使用簡捷。然而，在面對多運動軌跡，甚至是不定運動軌跡時，窮舉法的優(yōu)勢明顯起來，它有效地羅列了可能存在的多種解，化“定圓心”為“定圓心范圍”，避“作一圓”為“作系列圓”，增加學(xué)生的自信心。其次，該方法并非望文生義地“窮舉”，只需要幾個典型特征圓（?。┘右杂^察、篩選即可。在實際運用中，窮舉法的思維過程往往顯得理所當然而富有直觀性[2]。巧借學(xué)生的思維延續(xù)性強化學(xué)生分析、判斷、觀察實踐的綜合能力，讓學(xué)生對粒子的運動特點仿佛感同身受，對學(xué)生素質(zhì)教育中三維目標的有效培養(yǎng)也有較大幫助，有利于學(xué)生內(nèi)化知識，積極動腦，提高思維水平。

參考文獻：

[1]王得燕.窮舉法與粒子算法的比較[J].無錫技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2008，7（1）：44.

[2]郭建斌.例談窮舉法在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用[J].技術(shù)物理教學(xué)，2011，19（4）：58-59.

（欄目編輯 羅琬華）