●求蓮萍 葉國芳 (嵊州中學(xué) 浙江嵊州 312400))

如何促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考
——基于陶維林老師的課堂教學(xué)分析*

●求蓮萍 葉國芳 (嵊州中學(xué) 浙江嵊州 312400))

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考，如何為學(xué)生數(shù)學(xué)思考提供機(jī)會(huì)，這是非常重要的.基于對(duì)陶維林老師“基本不等式”一課的分析，發(fā)現(xiàn)陶老師在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考上的一些有益的做法：少而精的課堂問題驅(qū)動(dòng)、教師表述與板書，這不僅為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考提供了框架，也提供了學(xué)生冷靜思考的時(shí)間與空間.

學(xué)生；數(shù)學(xué)思考；課堂教學(xué)

2015年6月的一天，筆者所在學(xué)校迎來了一位尊貴的客人——南師大附中的數(shù)學(xué)特級(jí)教師陶維林老師.陶老師是人民教育出版社新課標(biāo)教材的參編者，也是新課程教材培訓(xùn)的講師團(tuán)成員，他10多年前寫的《幾何畫板教程》已成經(jīng)典.陶老師雖年屆七旬，但精神抖擻，思維敏捷,并親自為青年教師們上了一堂示范課——“基本不等式”.課上得很成功，對(duì)青年教師們的震動(dòng)很大，大家感覺茅塞頓開，驚呼“課原來可以這樣上”，紛紛撰文書寫體會(huì)，效仿實(shí)踐.那么，陶老師的課到底是如何上的，特色在哪呢？

1 課堂簡錄

上課伊始，師生互致問候后，教師借助多媒體展示問題1.

問題1 大家學(xué)習(xí)等差數(shù)列與等比數(shù)列時(shí)，曾經(jīng)接觸到2個(gè)重要概念——等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng).2個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)哪個(gè)大？

問題1展示后，學(xué)生沒動(dòng)手，教師提示后，學(xué)生開始動(dòng)手演算.在學(xué)生獨(dú)立思考、演算后，教師請(qǐng)學(xué)生回答.

生1：等差中項(xiàng)大于等比中項(xiàng).

(學(xué)生有的贊同，有的不贊同.教師請(qǐng)其中1位不贊同的學(xué)生回答.)

生2：等差中項(xiàng)大于等于等比中項(xiàng).

(部分學(xué)生贊同.)

師：有不同的答案嗎？

(有4位學(xué)生舉手，教師請(qǐng)其中1位學(xué)生回答.)

生3：當(dāng)2個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，它的等差中項(xiàng)為負(fù)數(shù)，等比中項(xiàng)為正數(shù)，等比中項(xiàng)大于等差中項(xiàng).

(部分學(xué)生贊同該想法.)

師：等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)哪個(gè)大？首先，什么叫做2個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)？什么叫做2個(gè)數(shù)的等比中項(xiàng)？這2個(gè)概念都沒搞清楚，怎么可能去判斷哪個(gè)大呢？比如：2和-4，它們的等比中項(xiàng)是什么？

(學(xué)生齊答：沒有.)

師：那么這個(gè)問題的前提條件是什么？知道的請(qǐng)舉手.數(shù)學(xué)是玩概念的，不是玩技巧的.若概念不清楚，怎么能把數(shù)學(xué)學(xué)好呢？

(學(xué)生齊答：這2個(gè)數(shù)應(yīng)同號(hào).)

師：首先這2個(gè)數(shù)是同號(hào)的.第2個(gè)問題：2個(gè)同號(hào)的數(shù)的等比中項(xiàng)是什么？比如a和b，這2個(gè)數(shù)的等比中項(xiàng)是什么？

(教師沉默，給學(xué)生一定的時(shí)間思考、演算，然后師生一起歸納，教師板書結(jié)果如下：

師：好，現(xiàn)在知道這個(gè)問題應(yīng)該怎么分析了吧，首先要把概念搞清楚，然后分類討論.今天我們主要討論第1種情況，即2個(gè)數(shù)都是正數(shù)的情況……

(教師借助多媒體呈現(xiàn)以下內(nèi)容：

師：你能用文字語言來表述這個(gè)不等式嗎？

生4：2個(gè)正數(shù)和的一半大于等于2個(gè)正數(shù)……

(學(xué)生回答遇困.)

師：“2個(gè)正數(shù)和的一半”描述得很形象，我們把它稱為算術(shù)平均.還可以怎樣描述？

生5：2個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均大于等于這2個(gè)正數(shù)的幾何平均.

師：2個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均大于等于這2個(gè)正數(shù)的幾何平均.或者說2個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于這2個(gè)正數(shù)的幾何平均.

接著教師展示問題2：

(讓學(xué)生獨(dú)立思考、演算，教師巡視、指導(dǎo)，然后逐一請(qǐng)學(xué)生板書，展示過程.)

生6：方法1 由(a-b)2≥0,得

a2+b2+2ab≥4ab,

即

即

從而

師：你是怎么想到的？

生6：方法1中不等式2邊平方；方法2是作差，證明差大于等于0.

師：生6想到了平方與作差，這些方法非常重要.還有其他方法嗎？

圖1 圖2

生9：如圖2，S正方形ABCD=a2+b2≥4S△ABE=2ab.

(此時(shí)，下課鈴響，學(xué)生10舉手，經(jīng)教師同意后板書自己的解法.)

(眾生發(fā)出驚嘆聲.)

師：能想到反證法，很好.由于時(shí)間限制，還有許多方法沒有時(shí)間展示，課后，請(qǐng)同學(xué)們把剛才的幾種方法整理一下，相互交流，可能還會(huì)有第7、第8種證法.下節(jié)課我們?cè)龠M(jìn)行探討.

2 課后反思

陶維林老師曾說：把時(shí)間還給學(xué)生，就是把原本屬于學(xué)生的時(shí)間還給學(xué)生，把練習(xí)的時(shí)間還給學(xué)生，把活動(dòng)的時(shí)間還給學(xué)生，把思考的時(shí)間還給學(xué)生……讓他們來觀察、來歸納、來概括、來探究、來交流、來參與舉例、來參與定義、來參與再創(chuàng)造……，教師不要去占、去爭、去搶，而是參與到學(xué)生的活動(dòng)中去[1].在這堂課中，陶老師以實(shí)際行動(dòng)踐行了上述理念，設(shè)身處地把時(shí)間留給學(xué)生，有效地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)地思考.具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

2.1 提出的問題少而精

當(dāng)代美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說：“數(shù)學(xué)真正的組成部分應(yīng)該是問題和解，問題才是數(shù)學(xué)的心臟，把問題作為數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的又一條原則.”然而在數(shù)學(xué)課堂中，部分教師缺乏對(duì)問題的深入研究，泛泛而問，表面上看，學(xué)生回答問題不斷，師生互動(dòng)頻頻，但由于提出的問題過于膚淺或瑣碎而無法觸及學(xué)生的思維深處.在這堂課里，陶老師結(jié)合學(xué)生前面已學(xué)的知識(shí)，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，只設(shè)計(jì)了2個(gè)問題，就將本課內(nèi)容串起，而學(xué)生在問題驅(qū)動(dòng)下能思、能說、能做，積極思維.由此可以看到，一個(gè)好的精煉的問題能“牽一發(fā)而動(dòng)全身”，從而能留出盡可能多的時(shí)間讓學(xué)生思考.

2.2 教師的話少而精

整堂課里，陶老師自己的話語不多，除了在2個(gè)概念(等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng))的辨析階段，師生間開展了必要且有成效的交流外，其余時(shí)間只是說一些簡短的提醒語、激勵(lì)語，但給學(xué)生留出了總共近17分鐘(整堂課課時(shí)40分鐘)的獨(dú)立思考、演算時(shí)間，很多時(shí)候課堂處于一種“靜”的狀態(tài).上課一開始，師生互致問候后，教師多媒體展示問題1，但陶老師一言不發(fā)，在看到學(xué)生還沒動(dòng)筆時(shí)，陶老師說了幾句提醒話，于是學(xué)生開始動(dòng)手演算.該階段共有近3分30秒的時(shí)間供學(xué)生思考、演算，然后在明確2個(gè)中項(xiàng)的大小比較要分情形討論后，又給學(xué)生一定的演算時(shí)間，最后在證明不等式時(shí)，給了學(xué)生11分鐘的思考、演算時(shí)間.同時(shí)，每當(dāng)一個(gè)學(xué)生回答或解決了問題，總是叫答題者引導(dǎo)其余學(xué)生來評(píng)價(jià)，而不是首先由教師評(píng)價(jià).

在當(dāng)前的課堂教學(xué)中，常有這樣的現(xiàn)象：教師提出問題后，沒過幾秒，馬上就讓學(xué)生回答，給學(xué)生思考的時(shí)間很短，甚至沒有，導(dǎo)致學(xué)生的思考未及深處，其發(fā)言也往往不得要領(lǐng).而此時(shí)，有的教師馬上轉(zhuǎn)問他人或開始新的提問；有的教師唯恐學(xué)生回答不完整或不正確，自己主動(dòng)去補(bǔ)充或糾正答案.整堂課，總是充斥著教師個(gè)人的“噪音”，總是越俎代庖，從而使課堂教學(xué)成了教師的個(gè)人秀.顯然，這樣的教學(xué)只能使學(xué)生成為“熟練工”，但很難成為“思想者”.

古語云：“寧靜致遠(yuǎn).”教師要有意識(shí)地去精煉自己的語言，控制自己的“噪音”，把省下的時(shí)間留給學(xué)生思考，從而創(chuàng)造出數(shù)學(xué)教學(xué)的“靜”界.我們的課堂不能僅僅是秩序井然，更要有民主與寬松的氛圍.學(xué)生自己能學(xué)會(huì)的，盡量不教；學(xué)生應(yīng)該想辦法學(xué)會(huì)的，盡量少教；學(xué)生難以學(xué)會(huì)的，盡量去搭“腳手架”間接教.本堂課，陶老師有意地控制自己的講授時(shí)間，很多時(shí)候一言不發(fā)，只在關(guān)鍵處作些追問與接話，而學(xué)生在這種時(shí)而寧靜、時(shí)而熱烈的和諧氛圍中思維被激活、智慧在放飛，我們真切地感受到的是一堂如沐春風(fēng)般的、富有生命力的高效課堂.

2.3 教師的板書少而精

目前，高中數(shù)學(xué)課堂上還存在著教師講得過多、寫得過多的問題，部分教師對(duì)于學(xué)生課堂板演環(huán)節(jié)的必要性認(rèn)識(shí)不足.在課堂上，我們常能看到：教師邊講邊寫，從黑板左上角寫到右下角，滿黑板都是個(gè)人的杰作，完全剝奪了學(xué)生板演的時(shí)間和空間，還自鳴得意.實(shí)際上，教師的板演突出的是講授和示范，但如果只有教師的板演，學(xué)生則只能永遠(yuǎn)被動(dòng)地接受，不利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.而通過讓學(xué)生板演，則能改變以上弊端，彌補(bǔ)教師板演的不足.將學(xué)生的不同思路和念頭展示出來，應(yīng)視為一種思想與精神的交流和享受，從而讓學(xué)生親歷成功所帶來的認(rèn)可與肯定，進(jìn)一步強(qiáng)化其積極的自我評(píng)價(jià).

詩人陸游說：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”通過板演，就是要給學(xué)生搭起一個(gè)可以“躬行”的舞臺(tái)，讓學(xué)生在這個(gè)舞臺(tái)上說出自己的想法，秀出自己的精彩，充分激發(fā)、揭示學(xué)生的思維活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的課堂參與意識(shí)，從而進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性.本堂課，陶老師自己寫得很少，而把時(shí)間、空間毫不吝嗇地留給學(xué)生，于是就有了學(xué)生6種證法的精彩展示，從而給課堂帶來了一波又一波的高潮.

章建躍曾指出：“數(shù)學(xué)教師區(qū)別于數(shù)學(xué)家，關(guān)鍵是他能在自己理解好數(shù)學(xué)的前提下，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)做出符合學(xué)生認(rèn)知水平的解釋，使靜態(tài)的、結(jié)果性的現(xiàn)成知識(shí)轉(zhuǎn)化為生動(dòng)的、易于被學(xué)生理解的形式.”[2]德國數(shù)學(xué)家第斯多惠認(rèn)為：“教育的藝術(shù)不在于傳授知識(shí)和本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒和鼓舞.”本堂課的設(shè)計(jì)，正順應(yīng)了這一導(dǎo)向，由于陶老師做到了對(duì)教材內(nèi)容的本質(zhì)把握和內(nèi)在聯(lián)系的深入理解，作出了與眾不同的巧妙設(shè)計(jì).綜觀整堂課，教師在往少而精努力——少而精的課堂問題驅(qū)動(dòng)、少而精的教師表述、少而精的教師板書，而學(xué)生卻在不停地思考，積極地交流，從而使教學(xué)有序、和諧、高效地展開，這種教學(xué)理念與實(shí)踐值得我們?nèi)ホ`行、去豐富.

[1] 陶維林.從“把時(shí)間還給學(xué)生”說起[J].數(shù)學(xué)通訊，2011(7)：1-4.

[2] 章建躍.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與智慧發(fā)展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015(7)：4-10.

??2016-10-17；

2016-11-22

求蓮萍(1983-)，女，浙江紹興人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.3

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1003-6407(2017)03-13-04