陳映明

【摘要】無(wú)限在高等數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位.高等數(shù)學(xué)更多地在“無(wú)限”的領(lǐng)域、更多地以“無(wú)限”為手段和工具展開(kāi)討論.極限、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)等都屬于“無(wú)限”的范疇，所以高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就特別需要更加清晰地理解認(rèn)識(shí)無(wú)限.

【關(guān)鍵詞】無(wú)限；極限；認(rèn)識(shí)；理解

無(wú)限在數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)教學(xué)中占有十分重要的地位.初等數(shù)學(xué)更多地在“有限”的領(lǐng)域、更多地以“有限”為手段和工具進(jìn)行討論.高等數(shù)學(xué)則更多地在“無(wú)限”的領(lǐng)域、更多地以“無(wú)限”為手段和工具展開(kāi)討論.極限、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)等都屬于“無(wú)限”的范疇，所以高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就特別需要更加清晰地理解認(rèn)識(shí)無(wú)限.人們習(xí)慣于有窮下的思維，一旦遇到無(wú)限就要格外小心，而高等數(shù)學(xué)就是與無(wú)限打交道的.

一、無(wú)限追源

中國(guó)有句古話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.”一尺本來(lái)只是有限的長(zhǎng)度，卻永遠(yuǎn)也分不完.這古話里的無(wú)限足以讓我們?nèi)ド钌畹乩斫夂驼J(rèn)識(shí).

（一）古希臘（公元前6世紀(jì)前后）的窮竭法

從一個(gè)圓內(nèi)接正方形出發(fā)，將邊數(shù)逐步加倍得到正八邊形、正十六邊形……，無(wú)限重復(fù)這一過(guò)程，隨著圓面積的逐漸“窮竭”，將得到一個(gè)邊長(zhǎng)極微小的圓內(nèi)接正多邊形.安提豐的窮竭過(guò)程是無(wú)限的，在當(dāng)時(shí)主要是解決古希臘三大不能尺規(guī)作圖問(wèn)題之一——畫圓為方，當(dāng)然未能真正解決這一問(wèn)題.兩千多年以后證明了π的超越性也就證明了畫圓為方不能尺規(guī)作圖.

（二）芝諾悖論

古希臘時(shí)期的芝諾從哲學(xué)的角度提出了四個(gè)著名的悖論：1.兩分法；2.阿基里斯與烏龜；3.非矢不動(dòng)；4.運(yùn)動(dòng)場(chǎng).

其中第二個(gè)悖論：阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.

假設(shè)烏龜在阿基里斯前面100米，阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.

如圖：

阿基里斯在A點(diǎn)時(shí)，烏龜在B點(diǎn)；阿基里斯追到B，烏龜爬到C；阿基里斯追到C，烏龜爬到D；……阿基里斯離烏龜越來(lái)越近，也就是AB，BC，CD，……這些線段越來(lái)越短，每個(gè)都只有前一個(gè)的110，每一個(gè)線段的長(zhǎng)度都不會(huì)是0，亦即當(dāng)阿基里斯按上面的過(guò)程去追烏龜時(shí)，在任何有限次之內(nèi)他都追不上烏龜.

（三）劉徽的割圓術(shù)

劉徽從一個(gè)圓內(nèi)接正六形出發(fā)，將邊數(shù)逐步加倍得到正十二邊形、正二十四邊形……，用圓內(nèi)接正多邊形去逼近圓.通過(guò)計(jì)算正多邊形的周長(zhǎng)和面積，從而得到圓的周長(zhǎng)和面積.用圓內(nèi)接正多邊形去逼近圓，這種逼近的過(guò)程是永無(wú)止境的，亦即無(wú)限的.

二、希爾伯特旅館

現(xiàn)實(shí)世界的旅館哪怕是全球連鎖都只有有限個(gè)客房，客滿以后再來(lái)客人就無(wú)法安排入住了.“有無(wú)數(shù)個(gè)房間的旅館”——人們把它稱之為希爾伯特旅館，當(dāng)然這樣的旅館只是人腦的產(chǎn)物.

希爾伯特旅館客滿后又來(lái)了1位客人，老板能安排入住.

老板可以先請(qǐng)出原來(lái)房間里的所有客人，然后讓1號(hào)房間的客人搬到2號(hào)房間去住，讓2號(hào)房間的客人搬到3號(hào)房間去住，讓3號(hào)房間的客人搬到4號(hào)房間去住，這樣原來(lái)的客人都有房間住了，而1號(hào)房間卻空出來(lái)了，可以讓新來(lái)的客人入住.

希爾伯特旅館客滿后又來(lái)了一個(gè)旅游團(tuán)，旅游團(tuán)中有無(wú)窮個(gè)客人，老板也能安排入住.

老板可以先請(qǐng)出原來(lái)房間里的所有客人，然后讓1號(hào)房間的客人搬到2號(hào)房間去住，讓2號(hào)房間的客人搬到4號(hào)房間去住，讓3號(hào)房間的客人搬到6號(hào)房間去住，……，這樣原來(lái)的客人都有房間住了，只占用了偶數(shù)號(hào)房間，所有的奇數(shù)號(hào)房間卻空出來(lái)了，有無(wú)數(shù)個(gè)奇數(shù)號(hào)房間正好可以讓新來(lái)的無(wú)窮個(gè)客人入住.

希爾伯特旅館客滿后又來(lái)了一萬(wàn)個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無(wú)數(shù)個(gè)客人，老板仍能安排入住.

老板先讓原來(lái)房間里的客人都出來(lái)，然后讓1號(hào)房間的客人搬到10001號(hào)房間去住，讓2號(hào)房間的客人搬到20002號(hào)房間去住，讓3號(hào)房間的客人搬到30003號(hào)房間去住，……，這樣原來(lái)的客人都有房間住了，空出了一萬(wàn)個(gè)又一萬(wàn)個(gè)的空房間，正好可以讓新來(lái)的一萬(wàn)個(gè)旅游團(tuán)中的每一個(gè)客人入住.

希爾伯特旅館客滿后又來(lái)了無(wú)數(shù)個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無(wú)數(shù)個(gè)客人，老板能否安排？

答案是肯定的.上面的方法用不上了（方法等同于有理數(shù)排序，在此不再贅述），原因是從有限到了無(wú)限.

三、極限的產(chǎn)生和發(fā)展

無(wú)論是古希臘的窮竭法還是劉徽的割圓術(shù)，都孕育著極限的思想，只不過(guò)古希臘人“對(duì)無(wú)限的恐懼”繞開(kāi)了極限，今天的我們對(duì)無(wú)限仍然是一知半解，就算是從事數(shù)學(xué)教育的也需要很好地理解和認(rèn)識(shí)，所以才會(huì)有上述的“希爾伯特旅館”，這樣的旅館是二十世紀(jì)初德國(guó)大數(shù)學(xué)家希爾伯特給數(shù)學(xué)家們舉的例子，目的是幫助人們認(rèn)識(shí)無(wú)限、無(wú)窮大.

極限思想的發(fā)展與微積分的建立密切相關(guān).17世紀(jì)后半葉，牛頓、萊布尼茲各自獨(dú)立的創(chuàng)建了微積分.起初牛頓和萊布尼茲以無(wú)窮小為基礎(chǔ)建立微積分，后來(lái)都遇到了邏輯困難.以牛頓為例，他的微積分方法是：第一步他用無(wú)窮小增量作分母進(jìn)行除法，第二步他把無(wú)窮小增量看作零，去掉包含著它的項(xiàng)，從而得到變化率——導(dǎo)數(shù).英國(guó)大主教貝克萊指責(zé)牛頓：無(wú)窮小增量既可做分母就不應(yīng)該是零，包含它的項(xiàng)就不該去掉；如果可以認(rèn)為是零，那它就不應(yīng)該作分母進(jìn)行除法.貝克萊的指責(zé)是一針見(jiàn)血的.

微積分創(chuàng)建之后兩個(gè)世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，柯西把無(wú)窮小視為以“0”為極限的變量，雖然澄清了無(wú)窮小“似零非零”的模糊認(rèn)識(shí)，但柯西的敘述中還存在描述性的詞語(yǔ)，如“無(wú)限趨近”、“要多小就多小”等，沒(méi)有達(dá)到徹底嚴(yán)密化的程度.

有了極限的精確定義，外加實(shí)數(shù)理論，微積分就有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，從而導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)等這些“無(wú)限”范疇的學(xué)習(xí)就順理成章了.

四、極限思想的功效

極限的思想方法揭示了量變與質(zhì)變、有限與無(wú)限、近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一.借助極限思想，我們可以從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變，從近似認(rèn)識(shí)精確.

（一）有限無(wú)限

有限使人感覺(jué)具體，無(wú)限使人充滿想象，人們要對(duì)無(wú)限多一份理性的思考.有限與無(wú)限既有區(qū)別又有聯(lián)系.前述的希爾伯特旅館在有限做不到的事情在無(wú)限做到了，這就是有限無(wú)限的本質(zhì)區(qū)別.而人們習(xí)慣于有窮下的思維，所以說(shuō)與無(wú)限打交道要格外小心.

有限無(wú)限又是相互聯(lián)系的.數(shù)學(xué)歸納法證明的是對(duì)所有自然數(shù)都成立的命題，而自然數(shù)有無(wú)限個(gè)，數(shù)學(xué)歸納法表達(dá)的是無(wú)限的推理過(guò)程，而它的證明步驟只有兩步（有限），通過(guò)有限步完成一個(gè)涉及無(wú)限多個(gè)對(duì)象的證明.極限是無(wú)限的過(guò)程，最終得到的往往是一個(gè)有限的數(shù).數(shù)學(xué)家通過(guò)有限的方法描寫極限的無(wú)限過(guò)程，如前述的維爾斯特拉斯的極限定義.芝諾悖論之阿基里斯與烏龜，表面上看起來(lái)阿基里斯要想追上烏龜需要跑無(wú)窮段路程，感覺(jué)永遠(yuǎn)追不上，實(shí)際上這無(wú)窮段路程的和卻是有限的.

（二）量變質(zhì)變

量變引起質(zhì)變是辯證法的基本規(guī)律.對(duì)任何一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形來(lái)說(shuō)，當(dāng)它邊數(shù)加倍后，得到的還是內(nèi)接正多邊形，是量變；但是不斷讓邊數(shù)加倍，經(jīng)過(guò)無(wú)限過(guò)程之后，多邊形就變成了“圓”，多邊形面積便轉(zhuǎn)化為圓面積，是質(zhì)變.

（三）近似精確

近似與精確是對(duì)立統(tǒng)一的，兩者在一定條件下可相互轉(zhuǎn)化.圓內(nèi)接正多邊形面積是圓面積的近似值；阿基里斯追烏龜?shù)牟糠趾?，是近似值，取極限后就得到相應(yīng)的精確值.

無(wú)論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)，也無(wú)論是學(xué)習(xí)還是教學(xué)，我們都要對(duì)無(wú)限清晰地理解和認(rèn)識(shí)，才能教學(xué)有方，學(xué)有所獲.

【參考文獻(xiàn)】

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