張文麗，張燕霞

(長治學院 數(shù)學系，山西 長治 046011)

建模思想是對實際問題通過借助數(shù)學的理論知識和方法，構建一個合理的數(shù)學模型，從而來解決實際問題。是加強數(shù)學與生產實際和專業(yè)的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析和處理實際問題的數(shù)學應用意識、應用能力和創(chuàng)新意識與能力的一種思想方法[1]。

一、建模思想在人才培養(yǎng)方面的重要性

當今社會需要將所學到的理論知識應用到實際生活中，能夠推動科技與社會不斷進步的應用型人才[2]。1992年，教育部高等教育司和中國工業(yè)與應用數(shù)學學會共同主辦全國大學生數(shù)學建模競賽，這個競賽針對全國高等院校的任何專業(yè)的所有學生，在舉辦競賽的十幾年來，以25%以上的年增長迅速發(fā)展，迄今為止，這是大學生參加的所有的競賽中規(guī)模最大，影響最廣，意義最深的。這個競賽不僅得到了社會各界的認可，所獲得的獎項也常作為用人單位衡量一個人水平的標準[4]。數(shù)學建模的比賽形式也是多種多樣，有中國數(shù)學建模網絡挑戰(zhàn)賽、中國數(shù)學建模國際賽以及地區(qū)賽等。這足以表明建模思想對于人才培養(yǎng)的重要性。通過數(shù)學建模不但可以提升理解、分析及處理問題的能力，還可以鞭策學生學習的主動性，以及對于計算機的應用，提高對于知識理論的應用與創(chuàng)新的能力。將實際的問題轉化為專業(yè)的知識理論進行解決。許多高校每年都鼓勵學生利用寒暑假參加社會實踐活動，主要是培養(yǎng)學生利用所學理論知識解決實際問題的能力，將來能夠更好地適應社會，服務社會。因此，建模思想就是一座將理論與實際相結合的無形橋梁。

二、建模思想在“數(shù)學分析”教學中的應用

“數(shù)學分析”課程的特點是理論性強、邏輯性強、應用性弱。應用性僅在積分理論中有所體現(xiàn)，且主要體現(xiàn)在了空間幾何與物理學中，而這些知識內容與實際生活嚴重脫節(jié)，較陳舊。在教學過程中，教師著重強調定理和公式的證明及推導[5]，解題方法的分析，淡化對數(shù)學分析中概念的背景和實質、概念與概念間的聯(lián)系及理論知識的應用的講解，致使學生僅僅掌握了一些抽象的理論知識，對如何應用所學知識處理實際問題卻一竅不通，更對怎樣應用無法下手。最終導致學生的學習興趣越來越低，學習效果也逐漸降低。

(一)引入生動實例，滲透建模思想

為了使學生真正認識并切身體會數(shù)學分析在實際生活中的應用，從而認識到學習數(shù)學分析的重要性，發(fā)現(xiàn)其所蘊含的數(shù)學美，提高學生對數(shù)學分析學習的興趣且提升學習效率，成為社會所需的應用型人才，在教學過程中教師應該有意識地滲透建模思想，引導學生將所學的理論與實際生活相結合。如在講函數(shù)的最大值最小值問題時可以舉下列與實際生活緊密聯(lián)系的例子，有意識地滲透建模思想。

例1[9]假設某工廠生產x千件的成本是C(x)=x3-6x2+15x，售出該產品x千件的收入是r(x)=9x。問是否存在一個能取得最大利潤的生產水平？如果存在的話，找出這個生產水平。

解：根據題意可以建立數(shù)學模型，即售出x千件產品的利潤是

p(x)=r(x)-C(x)

然后利用數(shù)學分析中極值理論來判斷，得出當x=3.414存在一個能取得最大利潤的生產水平。

再比如，講有限極值這一節(jié)時，可以舉如下例子：

例2[10]某化工廠生產A1，A2，A3，A4四種化工產品，每種產品生產1噸所消耗的工時、能源和獲得的利潤見下表。

生產1噸產品的消耗與收益

已知該廠明年的工時為18 480小時，能耗為100噸標準煤，欲使該廠明年的總利潤最高，請確定各種產品的生產數(shù)量。

解：設該廠全年生產A1，A2，A3，A4四種產品的數(shù)量分別為x1，x2，x3，x4，總利潤為z,則可以建立數(shù)學模型：

z=2x1+5x2+8x3+x4

條件為

100x1+250x2+380x3+75x4=18 480

0.2x1+0.3x2+0.5x3+0.1x4=100

接著利用數(shù)學分析中的隱函數(shù)組存在定理和條件極值理論，借助matlab軟件求出各種產品的生產數(shù)量分別為x1=x2=x3=x4=0，x3=48.631 6時總利潤最大為z=389.052 6。

再如，在有關極限的定義的教學中引入著名的“割圓術”或者是利用現(xiàn)有的教學軟件[6]——超級畫板向學生展示在坐標中一條曲線上的點的變化，使學生理解極限的定義以及演示其形成過程，這樣不僅花費的學習時間少，而且取得的效果非常好。在講解函數(shù)的連續(xù)性的基本性質時，可以利用在不平的地面上放椅子，椅子能否放穩(wěn)[7]的問題讓學生進行建模，培養(yǎng)學生將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力，不僅可以進一步理解并加深與鞏固所學的理論知識，而且還可以培養(yǎng)實際應用能力，增強學習興趣。在講導數(shù)時，可以選擇與實際生活密切相關的經濟問題來講解。例如證券的利息率問題，存款與貸款問題，線性規(guī)劃問題，風險決策問題等。在講解積分定義時，可以先回憶圓的面積公式的來源，規(guī)則的梯形的面積，然后由易到難的引導學生，利用極限的思想，通過三步“近似、求和、取極限”求出解曲邊梯形的面積，從而推出定積分的定義。在積分理論知識方面可以舉有關通訊衛(wèi)星的覆蓋面積的數(shù)學模型，或有關物理學中的交流電的有效值的數(shù)學模型，或計算房間中關于燈泡的最佳高度的模型來進行講解[5]。對于級數(shù)的定義，級數(shù)的收斂性以及級數(shù)的實際應用的講解中，我們可以使用傳說中跑的最快的人阿基里斯與烏龜賽跑的悖論問題[8]，由此巧妙地引入級數(shù)的基本概念，這樣在學習級數(shù)時就可以將原本抽象的、枯燥的內容變得生動有趣，使學生通過實際問題感受到理論知識中所蘊含的數(shù)學美。激發(fā)學生對學習的熱情，提高學生的應用能力。這樣巧妙地在教學中融入建模思想不僅可以使學生有效地掌握所學的知識，還可以將知識應用到生活當中，在學習中找到樂趣，提高學習的效率，讓學生了解數(shù)學分析中的那些枯燥乏味的定理以及有關的推廣是來源于我們的現(xiàn)實生活之中，并不是憑空得來的，都有其應用背景。數(shù)學分析中的大部分內容是后繼的許多學科的基礎，這樣可以為后續(xù)的學習打下堅實的基礎。除此之外，再結合現(xiàn)代的計算機軟件，例如：Maple、Matlab等，使學生能夠了解概念的產生過程，真正把握與理解其內涵，不用對概念進行死記硬背，從而增強學生學習的自信心，提高學生對于理論知識學習的興趣。

(二)借助建模比賽，加強建模訓練

教師也可以通過對每年的全國建模問題進行分析，然后借助比賽問題對學生所學的相應知識進行深入的講解。例如在講解極值的相關知識時，就可以借用2006年的全國性數(shù)學建模比賽C題——有關易拉罐形狀與尺寸的最優(yōu)設計，處理這個問題就需要熟練地掌握數(shù)學分析中的有關極值的討論與計算，并以Maple、Matlab更加直觀、具體地來進行繪圖與計算。還有2010年A題，關于輸油管的設計方案問題，將其轉化為多元函數(shù)的最值以及駐點的求解，并且借助Matlab進行數(shù)值計算。

通過在數(shù)學分析中滲透建模思想，可以將枯燥的理論知識與實際生活緊密結合，將實際問題轉化為數(shù)學問題來解決。這樣不僅可以培養(yǎng)并提高學生的數(shù)學素質，還可以加強學生的動手與動腦能力，通過學生自己對于知識的深入挖掘，激發(fā)其求知欲。這對于當今社會所需的應用型人才的培養(yǎng)有很大的幫助。

[1]畢曉華,徐鈞.將數(shù)學建模思想融入應用型本科數(shù)學教學初探[J],教育與職業(yè),2011(9).

[2]陸英杰,婁華,馬春全,鄧樺,盧玉葵.改革專業(yè)教學與社會人才需求的對接[J],科技信息,2010(5).

[3]李輝,王藝霏,劉一鋆,張麗春.數(shù)學建模思想滲透到數(shù)學教學中的地位與作用[J],吉林農業(yè)科技學院學報,2013(1).

[4]李娜.數(shù)學建模與大學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)[J].榆林高等?？茖W校學報,2014(4).

[5]李聲峰，張裕生，梅紅.將數(shù)學建模思想融入《數(shù)學分析》課程教學的探索與實踐[J].赤峰學院學報(自然科學版),2011(7).

[6]牛英春.數(shù)學建模思想在《數(shù)學分析》教學中的應用[J].開封教育學院學報，2015(6).

[7]王杉林.經營類院校數(shù)學建模課程教學體系改革研究初探[J].教育教學論壇,2015(6).

[8]孫業(yè)國.數(shù)學分析中極限概念的教學策略與研究[J].淮南師范學院報,2013(3).

[9]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學：上冊[M].北京：高等教育出版社,2014.

[10]史明霞，等.新編工程數(shù)學[M].大連：大連理工大學出版社，2012.