許亞鵬

(山西職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030006)

一、極限在高等數(shù)學(xué)中的地位

極限是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的概念，是高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)和積分學(xué)的理論基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是函數(shù)，而研究方法卻是極限，極限和極限的思想貫穿了微積分的始終。導(dǎo)數(shù)定義和積分定義都是建立在極限概念基礎(chǔ)上的。極限能夠反映事物變量與已知量的無(wú)限接近，利用已知量可對(duì)變量的終極值進(jìn)行反映。微積分的形成是人們深入理解極限思想的重要產(chǎn)物。高等數(shù)學(xué)之所以讓很多學(xué)生感到難以掌握和理解，根本原因是對(duì)極限的含義及計(jì)算沒(méi)有掌握，因此，正確理解和掌握極限的概念及計(jì)算是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。所以，作為教師非常有必要對(duì)函數(shù)的極限的教學(xué)作深入的思考和研究。

二、極限教學(xué)方法研究

(一)通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)極限

極限的定義較為抽象，是公認(rèn)的難點(diǎn)。對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的高職學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解函數(shù)極限的分析性定義無(wú)疑是很困難的。學(xué)生的認(rèn)識(shí)模式還處于初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)模式，而認(rèn)識(shí)極限概念需要學(xué)生的認(rèn)識(shí)模式從有限向無(wú)限轉(zhuǎn)變。直接進(jìn)行內(nèi)容講解，學(xué)生很難真正理解。因此教師應(yīng)適當(dāng)選取一些生活中常見(jiàn)的實(shí)例，激發(fā)學(xué)生探究的興趣。弱化極限分析形式的定義，適當(dāng)采用通俗易懂的語(yǔ)言讓學(xué)生理解極限的內(nèi)涵，接受簡(jiǎn)單而特殊的函數(shù)即數(shù)列極限的描述性定義。

如用《莊子.天下篇》中的“一尺之錘，日去其半，萬(wàn)世不竭”和古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)思想，可以使學(xué)生對(duì)極限的思想形成感性認(rèn)識(shí)，進(jìn)而深刻理解極限思想。

再如，通過(guò)對(duì)下列三個(gè)無(wú)窮數(shù)列{an}進(jìn)行觀察，并自主探究當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，項(xiàng)的變化趨勢(shì)。

通過(guò)對(duì)上述三個(gè)數(shù)列的觀察，讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言進(jìn)行歸納，得出：數(shù)列的項(xiàng)an隨著項(xiàng)數(shù)n的無(wú)限增大在向一個(gè)確定的常數(shù)無(wú)限接近。通過(guò)學(xué)生的回答教師進(jìn)行歸納性的總結(jié)，很自然地引出數(shù)列極限的描述性定義：如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列an能夠無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就叫做數(shù)列an的極限。使得學(xué)生對(duì)數(shù)列極限的定義從感性認(rèn)識(shí)逐步上升到理性認(rèn)識(shí)。

在學(xué)生理解并掌握了數(shù)列極限的定義之后，再來(lái)學(xué)習(xí)一般函數(shù)的極限，通過(guò)二者的區(qū)別與聯(lián)系,使學(xué)生真正掌握極限的內(nèi)涵。這種先易后難，循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)模式，符合高職學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

(二)滲透數(shù)學(xué)文化，提升學(xué)習(xí)極限的興趣

大部分高職學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信，缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，甚至對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有一種抗拒心理。在這種情形下，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)學(xué)習(xí)銜接性很強(qiáng)的高等數(shù)學(xué)是比較困難的。函數(shù)極限作為高等數(shù)學(xué)課程中第一節(jié)的內(nèi)容，提升學(xué)生的興趣，使學(xué)生更好地掌握極限的內(nèi)容尤為關(guān)鍵。

如引入斐波那契數(shù)列講解數(shù)列極限，可以極大地提升學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)主動(dòng)性。同時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的滲透，使學(xué)生不僅掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)，更培養(yǎng)和提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

再如，在極限教學(xué)中邀請(qǐng)學(xué)生參與互動(dòng)游戲：十秒加數(shù)。游戲要求學(xué)生在十秒之內(nèi)將以下兩組數(shù)的數(shù)字求和完成。

1+2+2+4+7+13+21+34+55+89=

34+44+89+144+233+377+610+987+1597=

學(xué)生對(duì)該游戲表現(xiàn)出濃厚的興趣，積極參與。在進(jìn)行完該游戲后，請(qǐng)學(xué)生思考這些數(shù)字有什么規(guī)律，分組討論，合作探究，旨在培養(yǎng)學(xué)生的觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力。在學(xué)生討論后教師對(duì)題目中的數(shù)字進(jìn)行講解，加深學(xué)生對(duì)斐波那契數(shù)的理解。

通過(guò)該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使得同學(xué)們深刻地領(lǐng)悟到了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，而又服務(wù)于生活，數(shù)學(xué)與人類(lèi)的生活密切相關(guān)，這種生活中的數(shù)學(xué)能極大地提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升是其中的重要方面。數(shù)學(xué)素養(yǎng)可以訓(xùn)練并提升學(xué)生的邏輯思維能力，使他們?cè)谟龅郊姺睆?fù)雜的工作時(shí)，能夠思路清晰、條理分明，有條不紊地完成；同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，面對(duì)生活中錯(cuò)綜復(fù)雜的事情，能抓住主要矛盾和矛盾的主要方面，高效解決問(wèn)題；還有助于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致、一絲不茍的習(xí)慣。

(三)借助數(shù)學(xué)軟件，突破極限教學(xué)難點(diǎn)

通過(guò)對(duì)圖形的分析，使學(xué)生能形象直觀地觀察到當(dāng)自變量無(wú)限趨近于0時(shí)，函數(shù)值在無(wú)限地向常數(shù)1逼近。

通過(guò)數(shù)學(xué)軟件，可以讓學(xué)生高效地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，同時(shí)學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用和探索中獲得專(zhuān)業(yè)所需要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。將數(shù)學(xué)軟件引入高職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，不僅是教學(xué)改革的需要，也是適應(yīng)高職院校培養(yǎng)目標(biāo)的需要，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，觀察問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的嘗試。數(shù)學(xué)軟件在高職數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用能夠增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，豐富和加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值觀的轉(zhuǎn)變，不再認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門(mén)枯燥無(wú)味的課程。使學(xué)生能夠深切感受數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力。

(四)認(rèn)真分析，掌握函數(shù)極限的求法

極限的計(jì)算對(duì)于大部分高職學(xué)生來(lái)說(shuō)也是一個(gè)難點(diǎn)，因此教師有必要對(duì)函數(shù)極限的求法進(jìn)行探討。求函數(shù)極限的方法雖然較多，但各有其相應(yīng)的適用范圍。對(duì)于某個(gè)具體的函數(shù)求極限問(wèn)題，我們需采用合適的方法去解題。下面是一些求函數(shù)極限的常用方法。

(1)能代則代

當(dāng)所求函數(shù)極限式的分子和分母的極限不同時(shí)為零或不同時(shí)為∞，則可以直接利用極限的四則運(yùn)算法則后，直接代入求出極限。

所以可以采用能代則代這種求極限的方法。

(2)分子、分母約去非零因子

分子、分母約去非零因子，此法適合于自變量在某一趨向下分子、分母的極限同時(shí)為0的情形。

分析：因?yàn)楫?dāng)x→1時(shí)，分子、分母的極限都是0，不能直接使用商的極限運(yùn)算法則。

=2

(3)分母有理化

(4)無(wú)窮小量分出法

適用于分子、分母是x的一元高次多項(xiàng)式，且分子、分母的極限同時(shí)為∞。

分析：所給函數(shù)中，注意到當(dāng)x→∞時(shí)，分子、分母也同時(shí)趨于無(wú)窮大，不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則，因此，需首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行初等變形，即分子、分母同時(shí)除以x的最高次冪，可以將無(wú)窮小量分出來(lái)，然后再根據(jù)極限運(yùn)算法則求出極限。

上述歸納了函數(shù)極限的一些常用求解方法，在做題的過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)首先觀察函數(shù)極限的特點(diǎn)，然后根據(jù)不同的情況采取不同的方法，函數(shù)極限的求解方法還有很多，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步探索，不斷完善。

總之，為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。首先，教師應(yīng)該根據(jù)函數(shù)極限與學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)以及現(xiàn)實(shí)生活，選取一些學(xué)生比較感興趣的話題進(jìn)行課題切入，提高學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的興趣；其次，教師應(yīng)該對(duì)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行合理的設(shè)置，鼓勵(lì)學(xué)生勤于思考，主動(dòng)學(xué)習(xí)；最后，教師應(yīng)該對(duì)課堂中的小組討論和總結(jié)，進(jìn)行必要的掌控，盡量讓每一個(gè)同學(xué)都參與進(jìn)來(lái)，并對(duì)學(xué)生的參與進(jìn)行及時(shí)的鼓勵(lì)。

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