林庭旭

(渤海大學(xué) 教育與體育學(xué)院，遼寧 錦州 121000)

APOS理論指導(dǎo)下的小學(xué)方程概念教學(xué)研究

林庭旭

(渤海大學(xué) 教育與體育學(xué)院，遼寧 錦州 121000)

方程知識是小學(xué)階段一個重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在小學(xué)階段開設(shè)有關(guān)方程知識的課程對學(xué)生的學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)的意義。對于小學(xué)階段的簡易方程學(xué)習(xí)，我們可以將解題過程化繁為簡，在學(xué)習(xí)方程的過程中，學(xué)生會積累很多關(guān)于列方程、解方程的方法。但是，在方程的歷史起源、發(fā)展演化等方面卻了解甚少，這就會引起學(xué)生對方程源起的困惑、方程思想方法的質(zhì)疑，久而久之就會對學(xué)生學(xué)習(xí)方程知識產(chǎn)生一定的影響。所以，數(shù)學(xué)方程的歷史文化教學(xué)也是值得關(guān)注的熱點問題。

APOS理論，數(shù)學(xué)概念，方程

一、現(xiàn)階段方程概念教學(xué)形式

現(xiàn)階段，小學(xué)數(shù)學(xué)教材(北師大版)中明確地界定了“方程”的概念，指出“含有未知數(shù)的等式叫作方程”。對于這樣的教材編排體系，大多數(shù)教師會選擇使用概念同化的教學(xué)形式進(jìn)行教學(xué)。主要有四個步驟，首先，揭示對象概念的本質(zhì)及其屬性，同時給出定義、符號、名稱等相關(guān)聯(lián)的知識；其次，進(jìn)行目標(biāo)概念的嚴(yán)格分類，按照概念的本質(zhì)屬性進(jìn)行分類，同時概括其概念的外延；第三，對目標(biāo)概念進(jìn)行系統(tǒng)鞏固，通過利用目標(biāo)概念的定義去進(jìn)行簡單的識別活動，以達(dá)到預(yù)期的目的；最后，進(jìn)行目標(biāo)概念的應(yīng)用，用于實際問題的解決等，同時建立起與其他概念的聯(lián)系，體現(xiàn)其關(guān)聯(lián)性的特點。這種教學(xué)形式簡明扼要，學(xué)生容易接受，同時也可以更加直觀地學(xué)習(xí)其他的相關(guān)概念。但是，這種教學(xué)形式偏重邏輯結(jié)構(gòu)的教學(xué)方式，忽視了學(xué)生對概念本身的理解。

二、APOS理論

APOS理論是由美國著名數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基提出的，有學(xué)者稱，APOS理論就是對皮亞杰反思性抽象的一種進(jìn)一步的擴展，其中的四個字母分別表示理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念的四個階段。

第一階段，A——Action,就是“活動”階段，也叫做操作階段。一個反省抽象的過程是某類數(shù)學(xué)概念形成的標(biāo)志及條件，而被反省的對象就是活動，它是基礎(chǔ)?；顒又饕侵競€體對所感知的對象的一種轉(zhuǎn)換，“對象”是指一種來自外部的某種刺激。這里所說的“活動”必須對其進(jìn)行廣義的解釋，它不一定是某種具體的運算程序，也有可能是一種數(shù)學(xué)操作，所以不必有明確的既定算法。

第二階段，P——Process,是指“程序”階段，顧名思義就是不斷地重復(fù)某一種活動，當(dāng)學(xué)生對某種活動進(jìn)行不斷重復(fù)操作時，在個體頭腦中就會產(chǎn)生一種“印象”，而當(dāng)“活動”經(jīng)過多次的重復(fù)被個體熟悉之后，就可以內(nèi)化為一種叫做“程序”的心理操作，有了這種“程序”，個體就可以不需要經(jīng)過某種外部的刺激而本能地想象這個“活動”，目標(biāo)個體就可以在頭腦中實施這個程序，不需要任何其他的具體操作，進(jìn)而還可以對這個程序進(jìn)行逆轉(zhuǎn)或者與其他程序進(jìn)行組合。

第三階段，O——Object，指的是“對象”階段，目標(biāo)概念發(fā)展到對象階段，就已經(jīng)不是程序、算法的步驟了，而是一種結(jié)構(gòu)、抽象的整體，一種共時的形態(tài)。這時，在學(xué)生頭腦中就形成了對概念的一個完整的理解。

第四階段，S——Schema,就是指“圖式”階段，也可以稱為圖式結(jié)構(gòu)。一個數(shù)學(xué)概念的圖式，簡單來說就是在個體頭腦中形成的一種認(rèn)知框架，它可以用于解決實際問題或者與這個概念相關(guān)的問題，從這個角度上看，APOS理論中“圖式”階段有些類似韜爾的“概念意象”。

三、基于APOS理論的方程概念的教學(xué)

第一階段——活動階段，理解一元一次方程的概念首先需要進(jìn)行活動或者是操作。例如，在現(xiàn)實背景下，要求學(xué)生建立一種方程關(guān)系：y=3x+2，需要學(xué)生通過利用具體的數(shù)字去構(gòu)造一一對應(yīng)的關(guān)系，1→5，2→8，3→11，4→14,通過這種操作，使學(xué)生真正地理解方程的意義。學(xué)生在接觸方程知識之前，老師傳授的都是算數(shù)方法，因此，學(xué)生對方程的概念理解起來難免有些吃力，所以我們舉的一些例子應(yīng)該是通俗易懂的，能夠讓學(xué)生結(jié)合實際進(jìn)行思考，充分利用學(xué)生頭腦中已有的知識、經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在各個空間維度之間不停轉(zhuǎn)變，這是一種認(rèn)知層面的飛躍。爭取在這一階段，使學(xué)生很好地完成從常量到變量的過渡?；顒与A段也可以說是操作階段，類似觀察，使學(xué)生在個體的頭腦當(dāng)中，呈現(xiàn)出一元一次方程的原始概念階段，為下一步的深入學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

第二階段——程序階段。例如圓的周長與半徑的關(guān)系，學(xué)生不難看出圓的周長隨著半徑的變化而發(fā)生相應(yīng)的變化，但是，這僅僅是停留在前面的階段一，即認(rèn)知階段，但是在這一階段，學(xué)生們需要關(guān)注的是兩者之間的關(guān)系，上面這個例子涉及到了兩個變量，學(xué)生要做到真正體會兩個變量之間的相互性，同時也要認(rèn)識到兩個變量在同一個系統(tǒng)中同時變化的這種相互協(xié)調(diào)性。學(xué)生對于這些感性認(rèn)識的積累逐步內(nèi)化成了自己的“程序”系統(tǒng)，逐漸改變原來已有的算數(shù)思維的固定模式。這種相互聯(lián)系、相互制約、相互協(xié)調(diào)的規(guī)律呈現(xiàn)出了方程概念在學(xué)生的頭腦中形成的過程。同時，學(xué)生還可以通過自己舉例子，把方程的概念具體化，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行分析，讓一直被學(xué)生認(rèn)為是抽象的方程概念轉(zhuǎn)化成簡單易懂的直觀對象，從而感受方程中變量的變化過程的關(guān)系。這樣，方程概念在學(xué)生的頭腦中就會變得很清晰、實在，最終獲得必要的理解、感知。

第三階段——對象階段。學(xué)生經(jīng)過上面的兩個階段之后，對一元一次方程概念的理解已經(jīng)形成了一個相對獨立的對象了。這時，學(xué)生通過應(yīng)用之前已經(jīng)學(xué)過的知識，加深理解未知數(shù)、等式、對應(yīng)關(guān)系等概念。運用方程的觀點和方法去處理一些生活中的實際問題，將會有更深層次的理解。在研究方程的表示法時，學(xué)生可以從已經(jīng)學(xué)過的圖像法、列表法等方法著手。事實上，方程就是一個利用已知求未知的過程?，F(xiàn)在很多教師會要求學(xué)生在課堂上大聲朗讀方程的概念，然后會進(jìn)行相應(yīng)的提問，如果沒有正確背出來就會受到相應(yīng)的懲罰，直到完全背會為止，這種教學(xué)方式過于死板，并不會達(dá)到理想的效果。方程概念的建立需要經(jīng)過多次的反復(fù)、循序漸進(jìn)來完成，不能要求學(xué)生馬上就理解，過快的抽象過程會使大部分學(xué)生不能真正理解一元一次方程的概念，只能去死記硬背，這樣會事倍功半了。所以，要循序漸進(jìn)地對學(xué)生進(jìn)行方程知識的傳授。

第四階段——圖式階段。經(jīng)過大量的調(diào)查研究顯示，很少一部分學(xué)生能達(dá)到這個階段，這個圖式階段對學(xué)生的要求非常高，學(xué)生很難達(dá)到這個階段也是情有可原的。一元一次方程的概念并不是一個孤立的個體，而是與其他數(shù)學(xué)概念緊密聯(lián)系在一起的。方程概念的建立是需要通過長期的活動來逐漸完善的。學(xué)生可以通過建立最初的方程概念的模型，接著與后面其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)聯(lián)系起來，形成一個知識串，這樣建立起與其他數(shù)學(xué)概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，逐漸在學(xué)生個體的頭腦中形成綜合性的心理圖式，從而把對方程概念的理解上升到一個更高的層次。

通過以上四個階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生就會對方程的概念及相關(guān)的知識有一個更深層次的理解與感悟，對方程的概念形成較為完整的認(rèn)識，這樣學(xué)生掌握的也比較牢固。這四個階段是一個相互影響、相互制約、相互協(xié)調(diào)的整體，是不可分割的，不能割裂開去片面地看待。

四、總結(jié)

方程的概念是一個不斷發(fā)展、不斷完善的數(shù)學(xué)概念，從不同的角度去看，會得到不同形式的概念。在小學(xué)階段，考慮到小學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)及認(rèn)知結(jié)構(gòu)，方程的相關(guān)內(nèi)容主要安排了三大部分，分為字母表示數(shù)、等量關(guān)系及方程這三個章節(jié)內(nèi)容。這樣，依據(jù)學(xué)生的心理發(fā)展的特點，逐步對學(xué)生展開方程相關(guān)知識的教學(xué)，讓學(xué)生逐步理解方程的概念，為以后初中及高中方程、函數(shù)的學(xué)習(xí)打下一定的基礎(chǔ)。APOS理論不僅能夠指導(dǎo)學(xué)生如何開展數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，同時也指出，在教師安排下的一些學(xué)習(xí)任務(wù)，需要在學(xué)生的身上產(chǎn)生這幾種心理的建構(gòu)過程，這樣，我們就可以初步認(rèn)定學(xué)生已經(jīng)掌握、理解了這個數(shù)學(xué)對象的概念。不僅為數(shù)學(xué)教師提供了如何指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，同時教師也可以根據(jù)這一經(jīng)驗或工具，制定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念課教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)策略，并安排相應(yīng)的教學(xué)相關(guān)活動。APOS 理論也可以作為一種教學(xué)評價的工具對學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的評價，同時也可以根據(jù)這一理論對學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)現(xiàn)象的相關(guān)層次的分類。不僅要觀察學(xué)生在數(shù)學(xué)概念建構(gòu)中的具體表現(xiàn)情況，來確定學(xué)生學(xué)習(xí)概念的水平具體達(dá)到了哪一個層面，還要有教師同時根據(jù)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來的種種現(xiàn)象及時作出相應(yīng)的調(diào)整，以便形成完善的教學(xué)策略及教學(xué)方法，這樣更能進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)教學(xué)。

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〔責(zé)任編輯：李海波〕

10.3969/j.issn.1008-6714.2017.01.041

2016-11-04

林庭旭(1993—)，女，遼寧營口人。

G623.5

1008-6714(2017)01-0087-02