☉江蘇泰州市許莊初中 葉新和

☉江蘇泰州市高港教師發(fā)展中心姚娟妹

“基“”本”并重反思揭“構(gòu)”
——一道教師基本功比賽題的思路探求

☉江蘇泰州市許莊初中 葉新和

☉江蘇泰州市高港教師發(fā)展中心姚娟妹

一、題目再現(xiàn)

這是近年泰州市市直學(xué)校與泰州經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)數(shù)學(xué)青年教師基本功比賽中的一道試題，解答的正確率只有10%.下面來(lái)探求解題思路，改進(jìn)分析，揭示問(wèn)題深層結(jié)構(gòu)，進(jìn)而對(duì)學(xué)會(huì)解題提出一些思考.

二、思路探求

1.跟著感覺(jué)往前走.

分析2：上述解答主要是代數(shù)式的變形與化簡(jiǎn)，運(yùn)算量仍比較大.注意到題目要求的是三角形面積，而算得結(jié)果的形式比較簡(jiǎn)單，此時(shí)結(jié)論也是已知信息！能否從圖形的角度來(lái)思考？容易想到圖1，比較①與②，知：要說(shuō)明S△ABC=S△EDF，由于∠A≠∠EDF，只要說(shuō)明∠EDF+∠A=180°即可.此時(shí)可以通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：

圖1

圖2

方法2：如圖2，Rt△CAG?Rt△AFH，四邊形AGJH為矩形.

則AC=AF，∠CAG=∠AFH，則∠CAG+∠FAH=90°.

又∠GAH=90°，則C、A、F三點(diǎn)共線.

如果省去中間的虛線，那么圖形會(huì)更簡(jiǎn)明.

2.思路卡殼巧突破.

據(jù)了解，不少人能由勾股定理的形式畫出圖4中的△ADB與△ABC，在如何將AB、AD、BC拼成一個(gè)三角形時(shí)思路卡住了，這也是導(dǎo)致正確率低的重要原因.如何突破呢？

分析4：結(jié)論仍是已知信息！注意到△ADB、△ABC及拼成的△ABE面積都是ab，聯(lián)想到等積變形，猜測(cè)：DC∥AB，△ABE的頂點(diǎn)E必在直線CD上.

圖3

圖4

方法4：圖4中，取DC的中點(diǎn)E，連接AE、BE.

則∠DCA=∠BAC，則DC∥AB.又DE=CE=AB，則四邊形ABED、ABCE都是平行四邊形.

分析5：圖4比較復(fù)雜，能否刪除無(wú)關(guān)元素？注意到△AOB與△BEF面積之和為ab，并與△ABE有公共部分，利用割補(bǔ)來(lái)解決.

3.改變視角再探求.

分析6：題目中有隱含條件嗎？xA·yA=xB·yB，這說(shuō)明點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖像上，顯然有S△ADO=S△BEO，從而S△AOB=S△ADEB.

方法6：如圖6，A（a，2b）、B（2a，b）為反比例函數(shù)y=的圖像上兩點(diǎn)，AD⊥y軸，BE⊥y軸.

易知S△ADO=S△BEO.

S△AOB=SADEB+S△BEO-S△ADO=SADEB

圖6

圖7

分析7：能否向方法3那樣利用圖形面積間關(guān)系？

三、反思、建議

1.“基”“本”并重.

知識(shí)為“基”.思路從何而來(lái)？豐富的知識(shí)能為思路的迅速尋找創(chuàng)造條件.“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本”.筆者猜測(cè)，本題正確率比較低的原因之一可能是參賽者不熟悉海倫—秦九韶公式，甚至也不熟悉余弦定理，即相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)并不具備.再如知S=a·ha（其中a為截線段長(zhǎng)，ha為截線段上的高）能使本題計(jì)算簡(jiǎn)便，而利用圖6中的結(jié)論S△AOB=SADEB能使后文拓展1的證明變得很簡(jiǎn)單.

思想為“本”.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索數(shù)學(xué)所依賴的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓.數(shù)學(xué)思想常常通過(guò)數(shù)學(xué)方法去體現(xiàn)，數(shù)學(xué)方法又常常反映數(shù)學(xué)思想.本題的探索中，方法3、方法5、方法6、方法7各有特色，而本質(zhì)上都是“構(gòu)造”，在不同的背景中構(gòu)造符合條件的三角形，將欲求三角形的面積化歸為其他易求圖形面積間關(guān)系來(lái)解決.

知識(shí)猶如珍珠，思想似線，解題思路探索中需要以“線”穿“珠”，“基”“本”并重.

2.反思揭“構(gòu)”.

“沒(méi)有任何問(wèn)題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做.經(jīng)過(guò)充分的探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平”.

此處“構(gòu)”首先指“構(gòu)造”.在一步步反思中，揭示如何構(gòu)造符合條件的三角形.其次，“構(gòu)”更多的是指“題目深層結(jié)構(gòu)”.在不斷的反思與改進(jìn)中不斷地貼近題目的深層結(jié)構(gòu).方法6、方法7將問(wèn)題放在直角坐標(biāo)系中考慮，思路自然、簡(jiǎn)潔，據(jù)此還可對(duì)原題結(jié)論進(jìn)行拓展與推廣.

一般來(lái)說(shuō)，可從以下角度進(jìn)行反思：對(duì)于具體題目而言，思路卡殼是什么情況造成的，又是怎樣解決的；最初的念頭是否有膚淺甚至不正確處；如何通過(guò)對(duì)思路的分析與改進(jìn)得到簡(jiǎn)便的解法，有效的改進(jìn)做法有哪些；一般思路與特殊技巧之間的辨證關(guān)系是怎樣的，怎樣應(yīng)用于具體問(wèn)題的解決中；哪種思路揭示了題目的深層結(jié)構(gòu)，能否進(jìn)行拓展與推廣；解題中積累的基本思維經(jīng)驗(yàn)是什么，如何進(jìn)行遷移：等等.

3.學(xué)會(huì)聰明.

文中的思路探索是筆者作為解題學(xué)習(xí)者的實(shí)踐案例.聰明的老師稍做思索可能很快發(fā)現(xiàn)方法3或者方法7.上述過(guò)程表明即使不夠聰明，也是可以通過(guò)不斷地分析、回顧、反思，改進(jìn)方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，換句話說(shuō)，該案例表明學(xué)會(huì)聰明成為可能.由此看來(lái)，解題實(shí)踐的終極目標(biāo)應(yīng)該是學(xué)會(huì)解題，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維方式，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也即學(xué)會(huì)聰明.

態(tài)度影響解題.認(rèn)為解題純粹是種智能活動(dòng)是錯(cuò)誤的，決心與情緒所起的作用很重要.筆者感覺(jué)，本題正確率低的第三個(gè)原因可能是有的青年教師在解答時(shí)間限制的情況下，心有畏難情緒而放棄.

解題教學(xué)應(yīng)該有“學(xué)會(huì)聰明”這個(gè)環(huán)節(jié).豐富知識(shí)、思想方法、積極情緒、實(shí)踐體驗(yàn)、回顧反思是能夠“學(xué)會(huì)聰明”必不可少的要素.

學(xué)會(huì)聰明，應(yīng)該成為解題實(shí)踐的必備過(guò)程與必然結(jié)果.

1.羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的理論與實(shí)踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

2.史寧中主編.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.