☉西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 伍蕓青

初中幾何教材認知復(fù)雜程度的比較研究
——以中國、新加坡教材的三角形問題為例

☉西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 伍蕓青

一、問題提出

認知復(fù)雜程度是指學(xué)生為了成功地解決數(shù)學(xué)問題而被要求達到的思維的種類和水平.NCTM（1991）認為學(xué)生學(xué)習(xí)的機會并不是簡單把學(xué)生放入小組中，相反，正是學(xué)生所投入的思維水平和種類決定了他們將會學(xué)到些什么.因此，通過對教材的認知復(fù)雜程度的研究，可以在一定程度上了解學(xué)生通過教材所得到的學(xué)習(xí)機會.新加坡與中國文化背景相似，又東西方文化相互交融，那么新加坡教材與中國教材的認知復(fù)雜程度有怎樣的差異呢？

二、研究框架建構(gòu)

（一）研究對象.

本研究中，中國初中教材選取人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（2013年版），下文簡稱《數(shù)學(xué)》，新加坡初中數(shù)學(xué)教材選取由Pearson出版集團出版的Math Insights系列教材（2007年版），下文簡稱《Insights》.本研究中的習(xí)題包括人教社教材三角形有關(guān)章節(jié)的“例題”“練習(xí)”“習(xí)題”，新加坡教材三角形有關(guān)章節(jié)的“例題（Example）”“試一試（Let′s try it now）”“練習(xí)（Practice）”.

（二）研究框架.

本研究分析框架主要從認知復(fù)雜程度的廣度和深度兩個維度進行分析，具體指標(biāo)見表1.

表1

1.認知復(fù)雜程度的廣度.

對于認知復(fù)雜程度的廣度方面，參考Son和Senk（2010）關(guān)于韓國改革教材與美國改革教材中數(shù)學(xué)問題的認知期待的比較框架.

2.認知復(fù)雜程度的深度.

本研究參考Hsu和Silver（2014）對于臺灣課堂中數(shù)學(xué)問題的認知復(fù)雜程度的研究框架，將從圖形復(fù)雜程度和問題解決復(fù)雜程度分析數(shù)學(xué)問題認知復(fù)雜程度的深度.

其中圖形復(fù)雜程度維度方面，只對幾何題目中附帶給出的圖形進行編碼統(tǒng)計.這里主要統(tǒng)計伴隨一個書本里介紹的幾何性質(zhì)的一個幾何圖形（稱為參考圖形）相對于幾何題目中附帶給出的圖形（這里筆者統(tǒng)一成為“圖示”）中點與線的數(shù)量變化.

三、結(jié)果分析

對中國、新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，共同存在的三角形內(nèi)容含例題、習(xí)題在內(nèi)的數(shù)學(xué)問題進行完全統(tǒng)計，結(jié)果詳見表2.

表2

（一）三角形數(shù)學(xué)問題的廣度分布情況.

圖1顯示的是兩套教科書中三角形數(shù)學(xué)問題在認知復(fù)雜程度廣度上的總體分布情況.統(tǒng)計結(jié)果顯示，《Insights》所要求的數(shù)學(xué)認知期望類型更加均衡且豐富，其程序性知識所占比例（51.90%）比《數(shù)學(xué)》（57.45%）低，但是問題解決性知識所占比例差不多，概念性知識、表述性知識和數(shù)學(xué)推理要求的數(shù)學(xué)問題所占百分比更高.結(jié)果反映了兩個國家教科書中不同水平的認知期望，在三角形例題與習(xí)題的廣度分布上，新加坡教科書相比于中國教科書提供了更多的機會讓學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想去解決問題，進行數(shù)學(xué)推理和應(yīng)用表述性的知識.另外，新加坡教材提供了更多水平類型的認知期望，更有助于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué).

圖1：三角形數(shù)學(xué)問題廣度上的總體分布情況

（二）三角形數(shù)學(xué)問題的深度分布情況.

本文將就圖形復(fù)雜程度和問題解決復(fù)雜程度兩個維度分析數(shù)學(xué)問題認知復(fù)雜程度的深度，并就兩個國家教材三角形問題的數(shù)據(jù)結(jié)果比較分析認知復(fù)雜程度的深度.

1.圖形復(fù)雜程度.

由于對于圖形復(fù)雜程度這一維度的分析要求幾何題目中附帶給出圖形，因此只對《數(shù)學(xué)》中94個三角形問題中的54個數(shù)學(xué)問題與《Insights》中57個三角形問題中的43個數(shù)學(xué)問題進行編碼統(tǒng)計.圖形復(fù)雜程度是由參考圖形轉(zhuǎn)化為“題目圖形”所需的最少變化量所決定的，表3顯示的是兩套教材三角形問題中其變化量的數(shù)據(jù)結(jié)果.由結(jié)果可以看出，《數(shù)學(xué)》與《Insights》分別大約有33.33%與27.91%的三角形問題的參考圖形的變化量為0，因此《Insights》所占百分比高于《數(shù)學(xué)》.而這些類型的三角形問題具有相對較低水平的認知復(fù)雜程度，因為學(xué)生不需要為了辨認伴隨相關(guān)幾何性質(zhì)的參考圖形而去拆分和組拼題目上的幾何圖形.另外，雖然《Insights》中變化量在1—5范圍內(nèi)的所占百分比（37.21%）比《數(shù)學(xué)》中該部分所占百分比（40.74%）更低，但變化量在6個以上的所占的百分比（約為34.89%）卻比《數(shù)學(xué)》中該部分所占百分比（25.92%）更高.

表3 三角形問題4種水平的圖形復(fù)雜程度的頻數(shù)和百分比

2.問題解決復(fù)雜程度.

在這一部分，本文將針對三角形問題解決復(fù)雜程度的四個種類的數(shù)據(jù)結(jié)果進行量化比較分析.

（1）輔助線.

《數(shù)學(xué)》的54個相關(guān)三角形問題中大約有5.56%的問題需要學(xué)生通過畫輔助線來解決，并且最多需要畫1條輔助線；而《Insights》的43個相關(guān)三角形問題中大約有11.63%的問題需要學(xué)生通過畫輔助線來解決，并且最多需要畫3條輔助線.由此可見，新加坡教材相對于中國教材認知水平要求更高，更具挑戰(zhàn)性.

（2）解決步驟.

表4顯示的是兩套教材三角形問題的最少解決步驟數(shù)量的頻數(shù)與百分比的分布情況.統(tǒng)計結(jié)果顯示，兩套教材所占比例最大的解決步驟數(shù)量范圍均為2步到4步，而《Insights》中該部分所占比例（84.81%）遠遠高于《數(shù)學(xué)》（57.45%）.另外，《數(shù)學(xué)》中解決步驟數(shù)量超過1步的所占的百分比約為65%，遠遠低于《Insights》中該部分所占百分比（約為92%），《數(shù)學(xué)》中解決步驟數(shù)量超過5步的所占的百分比約為7.45%，略低于《Insights》中該部分所占百分比（約7.59%）.因此從這一層面上仍可以看出，新加坡教材相對于中國教材認知水平要求更高，更具挑戰(zhàn)性.

表4 三角形問題4種水平的解決步驟數(shù)量的頻數(shù)和百分比

（3）需要的幾何性質(zhì).

在分析最少解決步驟數(shù)量的同時，我也分析了解決幾何問題時所需的最少的幾何性質(zhì)的數(shù)量.表5顯示的是兩套教材三角形問題的最少需要的幾何性質(zhì)數(shù)量的頻數(shù)與百分比的分布情況.統(tǒng)計結(jié)果顯示，兩套教材所占比例最大的需要的幾何性質(zhì)數(shù)量范圍仍為2步到4步，《Insights》中該部分所占比例（78.72%）高于《數(shù)學(xué)》中該部分所占比例該部分所占比例（56.96%）.另外，《數(shù)學(xué)》中解決步驟數(shù)量超過2步的所占的百分比約為19.15%，遠遠低于《Insights》中該部分所占百分比（約為43.04%）.因此進一步印證，新加坡教材相對于中國教材認知水平要求更高，更具挑戰(zhàn)性.

表5 三角形問題5種水平的需要的幾何性質(zhì)數(shù)量的頻數(shù)和百分比

（4）圖形轉(zhuǎn)化.

針對兩套教材中附帶有圖形的三角形幾何題目，本文對于其是否需要圖形轉(zhuǎn)化及圖形轉(zhuǎn)化的種類（例如平移、旋轉(zhuǎn)或翻折）和數(shù)量進行了分析統(tǒng)計.表6顯示的是兩套教材三角形問題需要的圖形轉(zhuǎn)化的頻數(shù)與百分比的分布情況.統(tǒng)計結(jié)果顯示，《數(shù)學(xué)》中圖形轉(zhuǎn)化的數(shù)量超過1個的所占的百分比約為9.26%，遠遠低于《Insights》中該部分所占百分比（約為18.60%）.因此同樣地，結(jié)果證明，新加坡教材相對于中國教材認知水平要求更高，更具挑戰(zhàn)性.

表6 三角形問題需要的圖形轉(zhuǎn)化的頻數(shù)與百分比的分布情況

四、結(jié)論及建議

（一）結(jié)論.

本研究從認知復(fù)雜程度的廣度與深度兩個維度分析比較了中國《數(shù)學(xué)》系列教材和新加坡《Insights》系列教材中相關(guān)的三角形幾何問題，通過分析比較，該研究得出以下結(jié)論.

1.從廣度方面，新加坡教科書的認知復(fù)雜程度更高，新加坡教材給學(xué)生提供了更好的學(xué)習(xí)三角形的機會.盡管其要求問題解決性知識的三角形問題所占百分比總體略低于《數(shù)學(xué)》，但是要求程序性知識的三角形問題所占百分比也相對較低，并且其要求概念性知識、表述性知識和數(shù)學(xué)推理的問題所占百分比較高.

2.從深度方面，結(jié)合幾何圖形特點分析得出，新加坡教科書相對于中國教材，在三角形問題上具有更高的認知復(fù)雜程度.圖形復(fù)雜程度方面，《Insights》需要較復(fù)雜的參考圖形到題目附帶圖形的點線變化所占百分比相對《數(shù)學(xué)》較高.問題解決復(fù)雜程度方面，首先，《Insights》需要畫輔助線的三角形題目相對較多；其次，要求兩步以上解題步驟或者需要兩個以上的幾何性質(zhì)的三角形問題所占百分比也明顯高于《數(shù)學(xué)》；最后，需要旋轉(zhuǎn)或者翻折的圖形轉(zhuǎn)化的三角形問題所占百分比也相對較高.由此可見，通過對兩國教材的認知復(fù)雜程度的進一步分析再次得出，相對于中國教材，新加坡教材呈現(xiàn)了較深的認知水平.

（二）建議.

根據(jù)該研究的結(jié)論，本研究提出以下建議，以期為中國教材編寫者對教材的修訂及編寫提供一定的幫助.

該研究得出中國教材具有占有較高百分比的三角形問題需要利用程序性知識，因此中國教材編寫者可以考慮適當(dāng)減少程序性知識要求問題的比例，注重概念的練習(xí)的同時，應(yīng)適當(dāng)變化概念記憶水平題目的形式，適當(dāng)增加問題解決性知識、表述性知識、數(shù)學(xué)推理要求的三角形問題，使之認知復(fù)雜程度廣度方面類型更加豐富且均衡.

鑒于上述關(guān)于認知深度的研究，建議中國教材編寫者更多考慮加入一些高水平認知復(fù)雜程度的問題，例如圖形相對較為復(fù)雜的，需要步驟、性質(zhì)較多的問題，一起提高學(xué)生對幾何知識的靈活運用和善于思考的能力.

1.Stein，M.K.，Smith，M.S.，Henningsen，M.A.，&Silver，E.A..Implementing standards-based mathematics instruction：A casebook for professional development［M］. Reston，VA：National Council of Teachers of Mathematics，2000.

2.李忠如譯.實施初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)案例（匹茲堡大學(xué)QUASAR研究成果）［M］.上海：上海教育出版社，2004.

3.Son，J.，&Senk，S.How reform curricula in the USA and Korea present multiplication and division of fractions［J］.EducationalStudiesinMathematics，2010，74（2）.

4.Hui-Yu Hsu，Edward A.Silver.Cognitive complexity ofmathematicsinstructionaltasksinaTaiwanese classroom：a examination of task sources［J］.Journal for research in mathematics education，2014，45（4）.