☉山東濱州市濱城區(qū)第六中學 王桂濱

基本學情，積極引導
——例談“多邊形內(nèi)角和”的教學

☉山東濱州市濱城區(qū)第六中學 王桂濱

一、引言

目前，我國有關(guān)數(shù)學活動經(jīng)驗的理論研究與教學實踐都比較薄弱，數(shù)學活動經(jīng)驗的內(nèi)涵一直難以界定，至今尚未對數(shù)學活動經(jīng)驗的含義達成共識.多年來，一些專家學者撰文發(fā)表自己的看法，探究數(shù)學活動經(jīng)驗的確切含義，主要觀點有以下幾種：

1.數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學知識的一部分.“數(shù)學活動經(jīng)驗屬于學生的主觀性數(shù)學知識的范疇”，數(shù)學知識不僅包括數(shù)學事實，也包括數(shù)學活動經(jīng)驗.

2.數(shù)學活動經(jīng)驗是一種認識，特別是感性認識.個體的數(shù)學活動經(jīng)驗是對自己以往經(jīng)歷的數(shù)學活動在認知方面的自覺或不自覺的感性概括，是一種感性認識.也有的認為，數(shù)學活動經(jīng)驗是在數(shù)學目標指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識.

3.數(shù)學活動經(jīng)驗是體驗，是經(jīng)歷.數(shù)學活動經(jīng)驗是學生經(jīng)歷數(shù)學活動之后所留下的直接感受、體驗和感悟.這些具有個體特色的內(nèi)容，既可以是感覺知覺的，也可以是經(jīng)過反省之后形成的經(jīng)驗.

4.數(shù)學活動經(jīng)驗既是知識，也是過程.數(shù)學活動經(jīng)驗分為靜態(tài)和動態(tài)兩個層面.數(shù)學活動經(jīng)驗介于緘默知識和顯性知識之間，從靜態(tài)上看是知識，是學生對整個數(shù)學活動過程產(chǎn)生的認識，包括體驗和感悟等；從動態(tài)上看是過程，是經(jīng)歷.

5.數(shù)學活動經(jīng)驗是組合體的整體概念.數(shù)學活動經(jīng)驗是指學習者在參與數(shù)學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識.感性知識是指具有學生個人意義的過程性知識；情緒體驗是指對數(shù)學的好奇心和求知欲、在數(shù)學學習活動中獲得的成功體驗、對數(shù)學嚴謹性與數(shù)學結(jié)果確定性的感受，以及對數(shù)學美的感受與欣賞等；應用意識包括“數(shù)學有用”的信念、應用數(shù)學知識的信心、從數(shù)學的角度提出問題與思考問題的意識，以及拓展數(shù)學知識應用領域的創(chuàng)新意識.也有的認為，數(shù)學活動經(jīng)驗是學生從經(jīng)歷的數(shù)學活動過程中獲得的感受、體驗、領悟，以及由此獲得的數(shù)學知識、技能、情感與觀念等內(nèi)容組成的有機組合性經(jīng)驗.

二、問題的提出

我國于2011年修訂的《義務教育數(shù)學課程標準》在課程目標中明確提出“四基”，即使學生“獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本經(jīng)驗活動”.在傳統(tǒng)的“雙基”基礎上增加了數(shù)學的基本思想和基本活動經(jīng)驗.現(xiàn)以人教版義務教育教科書數(shù)學八年級上冊第11章第三節(jié)“多邊形的內(nèi)角和”教學為例，談一談具體的做法和實踐心得.

三、“多邊形內(nèi)角和”內(nèi)容解析

1.地位及作用.

2011年修訂的《義務教育數(shù)學課程標準》對多邊形內(nèi)角和的教學要求是“探索并掌握多邊形內(nèi)角與外角和公式”，從課標可以看出，對于多邊形的內(nèi)角和和外角和強調(diào)了知識的發(fā)展過程，這就要求教師在教學時應創(chuàng)造有利于學生探索的教學情境.

2.多邊形內(nèi)角和與外角和的教學分析.

本節(jié)課是人教版義務教育教材數(shù)學八年級上冊第11章11.3.2第一課時，是在探究了三角形的內(nèi)角和與外角和，并學習了多邊形的有關(guān)概念的基礎上進行的，學生已初步具備對數(shù)學問題進行論證的邏輯推理能力，這節(jié)課需要學生在已有的知識、生活經(jīng)驗的基礎上來學習.

四、學習過程

1.問題情景.

（1）三角形的內(nèi)角和是多少？

設計說明：本節(jié)課對于多邊形的內(nèi)角和，主要是借助三角形的內(nèi)角和求解.

（2）三角形的內(nèi)角和定理是如何證明的？

設計說明：多邊形的內(nèi)角和定理與三角形內(nèi)角和定理的證明思想方法是一致的.

生1：如圖1，過頂點A作EF∥BC.

因為EF∥BC，所以∠FAC=∠C，∠EAB=∠B.

因為∠FAC+∠EAB+∠BAC=180°，所以∠C+∠B+∠BAC=180°.

圖1

圖2

生2：如圖2，在邊BC上任取一點D（異于B、C），作DE∥AB，DF∥AC.

因為DE∥AB，DF∥AC，所以∠B=∠EDC，∠C=∠FCB，∠A=∠DEC，∠FDE=∠DEC.

又因為∠FDE+∠EDC+∠FDB=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.

生3：如圖3，在△ABC內(nèi)部任取一點D，過點D作MN∥AB，EF∥AC，HG∥BC.

因為MN∥AB，HG∥BC，所以∠B=∠MNC=∠MDG.同理∠A=∠DFH=∠FDM，∠C=∠FEB=∠FDH.

而∠FDM+∠MDG+∠FDH=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.

圖3

圖4

生4：如圖4，在△ABC外部任取一點D，過點D作MN∥BC，EF∥AC，HG∥AB.

因為EF∥AC，HG∥AB，所以∠A=∠CHP=∠EDH.

同理∠B=∠HPC=∠HDN，∠ACB=∠E=∠FDN.

而∠EDH+∠HDN+∠FDN=180°，所以∠A+∠B+∠ACB=180°.

師：通過以上四位同學的回答，我們可以總結(jié)：分別過三角形的頂點、邊、內(nèi)部和外部作平行線，構(gòu)造平角，證明了三角形的內(nèi)角和定理.

設計說明：四位學生的回答回顧了以前學習三角形內(nèi)角和定理的證明方法，為本節(jié)課多邊形內(nèi)角和定理的證明作鋪墊，也就是積累了解決多邊形相關(guān)問題的活動經(jīng)驗.

2.多邊形的內(nèi)角和.

（1）我們小學學過哪些多邊形？它們的內(nèi)角和是多少？

生1：學過正方形、長方形，因為它們的每一個內(nèi)角均為90°，所以它們的內(nèi)角和均為360°.

（2）是否所有的四邊形的內(nèi)角和均為360°？

設計說明：因為小學學過的長方形、正方形的內(nèi)角和為360°，猜想一般四邊形內(nèi)角和的度數(shù)，向?qū)W生滲透由具體到抽象、由特殊到一般的數(shù)學思想方法.

師：怎么將這個問題轉(zhuǎn)化為我們已知的問題呢？

生：可以轉(zhuǎn)化為三角形的問題.

師：如何轉(zhuǎn)化呢？

生1：可以連接四邊形的對角線，例如，如圖5，在四邊形ABCD中，連接AC.

將四邊形分割為兩個三角形.因為每個三角形的內(nèi)角和為180°，所以四邊形的內(nèi)角和為360°.

圖5

圖6

生2：如圖6，還可以在四邊形內(nèi)部取一點E，然后連接EA、EB、EC、ED.

四邊形被分解為四個三角形，這四個三角形每個的內(nèi)角和為180°，總的內(nèi)角和為720°，又因為中間多了一個周角，所以四邊形的內(nèi)角和是360°.

生3：如圖7，還可以在邊BC任取一點E，然后連接EA、ED.

四邊形被分解為三個三角形，這三個三角形每個的內(nèi)角和為180°，總的內(nèi)角和為540°，又邊BC上多了一個平角，所以四邊形的內(nèi)角和是360°.

圖7

圖8

生4：如圖8，還可以在四邊形的外部任取一點，連接EA、EB、EC、ED.

四邊形的內(nèi)角和等于△ABE、△ADE、△DCE的內(nèi)角和再減去△BCE的內(nèi)角和，所以四邊形的內(nèi)角和為360°.

師：四位同學的回答很精彩，我們可以發(fā)現(xiàn)四位同學的思路與前面證明三角形內(nèi)角和的思維方法是一致的，同學們，我們在以后的學習過程中，要學會將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題.

師：請同學們選擇自己喜歡的方法來探索五邊形、六邊形、七邊形的內(nèi)角和，并將探索的結(jié)果填入表1.

表1

（學生通過實驗、探究順利完成了表1）

3.多邊形的外角和.

（1）正方形、長方形的外角和是多少度？

設計說明：對于長方形、正方形，學生能夠很快算出它們的外角和，從而向?qū)W生滲透從特殊到一般的數(shù)學思想.

師：是否任意一個四邊形的外角和都是360°？

（學生思考）

生1：如圖9，∠NAB+∠BAD=180°，∠EBC+∠ABC= 180°，∠DCF+∠BCD=180°，∠ADC+∠ADM=180°，四邊形的內(nèi)角和為∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°，所以四邊形的外角和為360°.

圖9

圖10

生2：如圖10，過點C作CH∥AD交AB于H點，CE∥AB.

顯然可以得到∠NAB=∠AHC=∠HCE，∠HBC=∠ECF，∠ADM=∠HCD.

而∠DCH+∠HCE+∠ECF+∠DCF=360°，所以四邊形的外角和為360°.

生3：如圖11，過點P作PO∥AB，PH∥CD，PM∥AD.

容易得到∠QAB=∠AEP=∠EPI，∠CBE=∠CPI，∠DCF=∠HPC，∠NDA=∠AHZ=∠EPH.

同生2，可以得到四邊形的外角和為360°.

圖11

圖12

圖13

生4：如圖12，也可以在四邊形內(nèi)部任取一點P，作XY∥AD，EF∥BC，KL∥CD，GH∥AB.

同樣可以得出四邊形的外角和為360°.

生5：如圖13，也可以在四邊形外部任取一點P，作XY∥AB，PQ∥AD，ST∥CD.

同樣可以得出四邊形的外角和為360°.

師：以上五位同學的回答實在是太精彩了，五位同學從不同的思路出發(fā)，得到了相同的結(jié)果，真可謂“條條大路通羅馬”.

師：請同學們選擇自己喜歡的方法來探索五邊形、六邊形、七邊形的外角和，并將探索的結(jié)果填入表2.

表2

（學生通過實驗、探究順利完成了表2）

以上各類證明方法充分彰顯出學生個性化的思維，以及學生綜合運用基礎知識、基本技能的能力，即立足于一般的解法，又基于學生的數(shù)學基本活動經(jīng)驗.

五、教學導向

1.深挖教材.

學生的學習是人類發(fā)現(xiàn)基礎上的再發(fā)現(xiàn)過程.教材是經(jīng)過教學法加工了的素材，加之教學進度的要求，或多或少會影響學生數(shù)學活動經(jīng)驗的積累.經(jīng)過反復審查形成的教學素材，形成了教學的基本概念、基本理論.因此教師在平時教學時，要充分利用教學素材，挖掘教材；知識的挖掘往往是一個永無止境的過程，學生學習數(shù)學的能力是有差異的，因此我們在挖掘教材時，要著重考慮課標要求，進行科學、合理、有發(fā)散的變式，避免通過“題海戰(zhàn)術(shù)”增加學生負擔.當前的許多中考試題，往往都源于教材，因此我們應該深挖教材，利用好教材.

2.關(guān)注數(shù)學活動經(jīng)驗的獲得.

過去數(shù)學強調(diào)的是雙基“基礎知識和基本技能”.從1953年提出，到1956年寫出之后，一直成為中國數(shù)學教育的核心.基礎知識和基本技能功不可沒，使得中國數(shù)學基礎教育在世界上影響很大，許多數(shù)學課堂講的基本上是邏輯，是論證，是定理的證明過程，而不是發(fā)明定理的過程，也不是發(fā)現(xiàn)定理證法的過程.這對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力是十分不利的.我們最新的課程標準加了兩個，一個是基本思想，另一個是基本活動經(jīng)驗，成為“四基”，幫助學生進行思考經(jīng)驗的積累，問題提出的經(jīng)驗的積累，創(chuàng)新性活動的積累.因此在平時的教學中，一方面要關(guān)注數(shù)學知識、技能、思想方法的學習，另一方面要通過數(shù)學活動經(jīng)驗啟智學生，讓學生正真參與到數(shù)學的學習之中，享受數(shù)學.

1.黃翔，童莉.獲得數(shù)學活動經(jīng)驗應成為數(shù)學課堂教學關(guān)注的目標［J］.課程·教材·教法，2008（1）.

2.馬復.論數(shù)學活動經(jīng)驗［J］.數(shù)學教育學報，1996（11）.

3.張奠宙，竺仕芬，林永.“數(shù)學基本活動經(jīng)驗”的界定與分類［J］.數(shù)學通報，2008（5）.

4.孔凡哲.基本活動經(jīng)驗的含義、成分與課程教學價值［J］.課程·教材·教法，2009（3）.

5.單肖天，景敏.數(shù)學活動經(jīng)驗及其對教學的影響［J］.課程·教材·教法，2008（5）.

6.王新民，王富英，王亞雄.數(shù)學“四基”中“基本活動經(jīng)驗”的認識與思考［J］.數(shù)學教育學報，2008（3）.

7.仲秀英.學生數(shù)學活動經(jīng)驗的內(nèi)涵探究［J］.課程·教材·教法，2010（10）.

8.史寧中，柳海民.素質(zhì)教育的根本目的與實施路徑［J］.教育研究，2007（8）.

9.史寧中.數(shù)學思想概論·圖形與圖形關(guān)系的抽象［M］.長春：東北師范大學出版社，2009.