☉福建廈門大學附屬實驗中學

☉楊躍鳴名師工作室林運來

從數(shù)學史知識中汲取歷史智慧

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習近平同志指出：“歷史是最好的教科書.”數(shù)學史是一座寶藏，不論時代如何變遷，從事數(shù)學研究和數(shù)學教育的人總是可以并且也有必要從中汲取豐富的教學素材和有益的思想養(yǎng)料，為教學注入鮮活的生命力.但是，數(shù)學史的應用歷來是“高評價，低應用”.當前的數(shù)學教學，多數(shù)教師還只是把數(shù)學史作為一種“附加”的內(nèi)容，把數(shù)學史作為一種提高學生興趣的“佐料”，沒有從數(shù)學歷史發(fā)展的角度設計自己的教學，無法充分挖掘數(shù)學史的教育價值和文化價值.導致這一現(xiàn)象的一個重要原因就是教師的數(shù)學史素養(yǎng)不足、數(shù)學史素材極為匱乏.有的教師連基本的數(shù)學史知識都沒有，更遑論在課堂上主動、自覺、恰當?shù)厝谌霐?shù)學史知識，激發(fā)學生學習動力，增強學生學習數(shù)學的情感，啟迪學生的數(shù)學思維了.

數(shù)學令那么多人著迷，原因在哪里？教學中如何選擇符合學生接受水平的數(shù)學史知識？如何通過數(shù)學史實介紹數(shù)學的思想方法？“科學給人知識，歷史給人智慧”.數(shù)學教育不可能完全割裂歷史，數(shù)學史和數(shù)學教學結(jié)合已是國際數(shù)學改革的一種趨勢.教師多讀一讀數(shù)學史書籍，研究好、利用好有關(guān)的數(shù)學史知識，有助于找尋到上述問題的答案.在對數(shù)學史的深入思考中，理解數(shù)學、提升專業(yè)素養(yǎng)、把握當下、走向未來具有重要現(xiàn)實意義.筆者談談閱讀《數(shù)學史上的里程碑》［1］的體會與啟示，期望起到拋磚引玉的作用.

一、數(shù)學史知識對教師的意義

1.數(shù)學史知識有助于提高教師理解數(shù)學的水平.

“理解數(shù)學、理解學生、理解教學”是教師專業(yè)發(fā)展的基石，是數(shù)學教學質(zhì)量的根本保證，其中“理解數(shù)學”是首要的，是實現(xiàn)數(shù)學育人的根基［2］.教材是學生獲取知識的主渠道.隨著學習的深入，知識積累的增多，基本數(shù)學思想和數(shù)學方法在知識形成的過程中發(fā)展，數(shù)學能力在知識、方法和技能的學習過程中提高，這是教材的一個重要效應.教材的導言、小結(jié)和閱讀材料中有很多有益的啟示，教師要“志業(yè)地讀懂教材”，在教學中發(fā)揮這些素材的重要效應.

案例1：一元二次方程的教學.

人教版教科書在一元二次方程的引入及求解時，都是以與面積有關(guān)的實際問題作為背景材料的.北師大版教材則是在學習配方法解一元二次方程這節(jié)內(nèi)容后，通過設置“讀一讀”欄目——“一元二次方程的幾何解法”，介紹我國三國時期的數(shù)學家趙爽和公元9世紀阿拉伯數(shù)學家花拉子米利用幾何方法求解一元二次方程的例子.如何理解教材的編寫意圖，把握這一主題的實質(zhì)？

事實上，在數(shù)學發(fā)展的早期，幾何先于代數(shù)發(fā)展起來，人們習慣從幾何的角度思考代數(shù)問題.古希臘的畢達哥拉斯學派曾經(jīng)用幾何方法解二次方程.在古希臘，幾何學發(fā)展得快而代數(shù)學發(fā)展得慢.當時，一元二次方程被分為四種不同的類型：x2-px+q2=0，x2+px+q2=0，x2-px-q2=0和x2+px-q2=0，并且遠沒有今天這樣的符號［3］.公元9世紀，花拉子米用幾何方法解一元二次方程，并給出了一元二次方程的兩種幾何解釋.其要點是把未知數(shù)的平方視為正方形的面積，未知數(shù)與常數(shù)的積視為兩個矩形的面積之和，然后以這三個圖形為基礎，補形成正方形，從而得到原方程的解［4］.這樣的解法很容易弄懂，但是為什么要用這樣復雜的方法（幾何作圖法）去處理這么簡單的問題（一元二次方程），卻頗令人費解.事實上，補形成正方形是從幾何角度說的，從代數(shù)的角度而言，配方的目的就是為了達到補形的效果［4］.知道了這一歷史發(fā)展和背景知識之后，有助于我們理解教材的選材和立意，并從中獲得很多有益的啟迪，不會因幾何法落后而把其精神實質(zhì)給拋棄了.

筆者所在地區(qū)使用的是北師大版教材，教學配方法之后，為使學生能“歷史地”看問題，我布置了下面的思考題（改編自文獻1）.

例1（Ⅰ）設r和s表示下列方程的兩個根：x2-px+q2= 0，其中p和q是正整數(shù)，試證明：r+s=p，rs=q2，且當時，r和s都是正數(shù).

（Ⅱ）為了用幾何方法解（Ⅰ）中的二次方程得到實根，我們必須由給定的線段p和q求出線段r和s.也就是說，我們必須作一個長方形，使它的面積等于一個給定的正方形的面積，而它的長與寬之和等于一個給定的線段.試根據(jù)圖1，設計一個適當?shù)淖鲌D方案，并且在幾何上證明：為了能得到兩個實根，我們必須有

圖1

（Ⅲ）給定一個單位線段，試用幾何法解二次方程x2-7x+12=0.

補充這個問題，基于以下原因.一是讓學生增添新的視角看一元二次方程的求解，而且在學習勾股定理、平方差公式、完全平方公式等內(nèi)容時，學生已經(jīng)具備通過構(gòu)造圖形解決問題的數(shù)學經(jīng)驗；二是讓學生體會并走一走古代數(shù)學家走過的路，進一步從形象化的角度理解配方法，在幾何法與代數(shù)法的比較中認識到用代數(shù)方法研究幾何問題是必然的歷史選擇；三是可以進一步引導學生發(fā)現(xiàn)韋達定理.

這樣的教學不拘泥于數(shù)學知識的歷史順序，而是通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使學生從形與數(shù)的結(jié)合上深刻認識數(shù)學的本質(zhì)，進一步感受代數(shù)方法的優(yōu)越性，在數(shù)學歷史文化與數(shù)學思維的雙重熏陶下，有利于學生數(shù)學素養(yǎng)的提高，同時必然促進學生數(shù)學能力的發(fā)展，進而發(fā)揮教材的多種效應.

2.數(shù)學史知識有助于提高教師教學的創(chuàng)新能力.

通過數(shù)學歷史的演變，回眸數(shù)學發(fā)展中的重要事件和人物，有助于認識數(shù)學觀念上的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點，也就是人們常說的“里程碑”，這為我們有層次地在不同學段有選擇地安排不同內(nèi)容提供了重要的參考.

案例2：勾股定理的教學.

勾股定理可謂初等幾何中最精彩、最著名和最有用的定理之一，它從邊的角度進一步刻畫直角三角形的特征.學習勾股定理及其逆定理是進一步認識和理解直角三角形的需要，也是后繼有關(guān)幾何度量運算和代數(shù)學習的必要基礎.勾股定理有各種推廣，自然的引申就是一般三角形的余弦定理和平面解析幾何中的兩點間距離公式.教學中，筆者把余弦定理的證明留給學生作為練習.

例2證明：在一個三角形中，與鈍角（銳角）相對的邊上的正方形，等于其他兩邊上的正方形之和，加上（減去）這兩邊中任何一邊與另一邊在它上面的投影之積的二倍.

筆者首先引導學生結(jié)合勾股定理的形式，從證明的結(jié)論看，應通過構(gòu)造直角三角形進行證明.問題解答后，筆者進一步指出，如果采用有向線段，在圖2中，有：

因為DC=CA·cos∠BCA，所以AB2=BC2+CA2-2BC· CAcos∠BCA，其實質(zhì)就是余弦定理.

圖2

教學中進行這樣的“創(chuàng)新”設計，能讓學生體會到數(shù)學知識和數(shù)學公式的內(nèi)在美和形式美，有助于溝通初高中知識的聯(lián)系，使學生認識到勾股定理具有學科的基礎性和廣泛的應用，余弦定理不過是勾股定理的一個很好的推廣.

案例3：有理數(shù)乘方的教學.

教學有理數(shù)的乘方后，筆者引導學生對所學知識進行總結(jié)，同時指出，加法與乘法表面上是極不相同的運算，但在結(jié)構(gòu)上卻有相似之處.若從1出發(fā)，不斷加1，得到序列1，2，3，4，5，…；從2出發(fā)，不斷乘2，也得到序列2，22，23，24，25，….

兩個序列在運算關(guān)系上也相似，前一序列中有1+3= 4，后一序列中就有2×23=24，即2×8=16.認識到這一點，我們就可以不必直接計算2×8=16，而去計算1+3，得到4，然后就知道24=16是2×8的答案了.

由于同一結(jié)構(gòu)可以在不同的事物中出現(xiàn)，但有的事物容易把握，有的事物很難把握，這樣，我們可以通過容易把握的事物，來認識難以把握的事物［5］.在歷史上，數(shù)學的一大歷史成就就是利用這一思想，為了簡化計算而發(fā)明了對數(shù)，一下子把天文學家從大量計算的沉重勞動中解放出來了.

這樣的教學，有助于學生溝通數(shù)學各部分知識的內(nèi)在聯(lián)系，開闊學生的視野，讓學生體會數(shù)學思想的重要意義.知識是一種改變歷史的力量，但歸根結(jié)底，知識的力量來自人的思想.正如日本數(shù)學教育家米山國藏所言：“無論對于科學的工作者、技術(shù)人員還是數(shù)學教育工作者，最重要的是數(shù)學精神、數(shù)學思想和方法，而數(shù)學知識是第二位的.”

3.數(shù)學史知識有助于提高教師的解題研究能力.

“問題是數(shù)學的心臟”.數(shù)學學習的過程與數(shù)學解題緊密相關(guān)，但是很多人可能是通過題海戰(zhàn)術(shù)而訓練成解題能手的.數(shù)學能力的提高在于解題的質(zhì)量而非解題的數(shù)量，因此重在研究解題的思維方法和策略，解題時要不斷思考，這道題為什么要這樣解？這樣的解法是不是觸及了數(shù)學的本質(zhì)？背后還蘊藏了怎樣的數(shù)學觀點、數(shù)學思想方法？

圖3

文獻1給出如下的幾何證法.

證明：即證明正方形的邊和對角線是不可公度的.假設情況相反，那么就存在一個線段AP（如圖3），使得正方形ABCD的對角線AC和邊AB都是AP的整數(shù)倍，也就是說，AC和AB關(guān)于AP是可公度的.在AC上，截取CB1=AB，作CA的垂線B1C1.不難證明C1B= C1B1=AB1.于是AC1=AB-AB1和AB1關(guān)于AP是可公度的.但是，AC1和AB1是尺寸比原來的正方形的一半還要小的一個正方形的對角線和邊.由此可知，重復上述過程足夠多次，最后我們就能得到一個正方形，它的對角線ACn和邊AB1關(guān)于AP是可公度的，并且ACn＜AP.這是矛盾的，原問題得證.

上述證明方法即歸謬法.如果把幾何語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言來表示，就會發(fā)現(xiàn)這與費馬的無限遞降法有異曲同工之妙，費馬曾利用無限遞降法作出許多重要的發(fā)現(xiàn)，他的一生為我們留下了許多重要的定理與猜想，為數(shù)學與自然科學的發(fā)展作出了重要的貢獻.

德國哲學家叔本華說過：“記錄在紙上的思想就好像沙上行走者的足跡，我們也許能看到他所走過的路徑，但如果要知道他在路上究竟看到了什么，則必須用我們的眼睛.”像文獻1，作者“不局限于歷史，著眼于思考與創(chuàng)新”，在每一講的最后，都精心設計了相關(guān)的習題，讀者閱讀和思考的過程，就是在領會數(shù)學家如何創(chuàng)造數(shù)學的基礎上自己再創(chuàng)造數(shù)學的過程，有助于我們更好地回歸知識的源頭，獲得對思想過程的重要認識，看到數(shù)學家在發(fā)明、發(fā)現(xiàn)中的經(jīng)典方法，體會問題是數(shù)學發(fā)展的關(guān)鍵，促進解題能力有效提高.

二、結(jié)束語

數(shù)學應該是一個充滿樂趣并令人感到興奮的學科，教科書作為一種需要理解和解釋的正式文本，需要教師抓住蘊藏在教材中的核心概念和思想方法，將數(shù)學知識的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為利于學生理解的教育形態(tài)，培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng).數(shù)學教師教學水平的高低，首當其沖體現(xiàn)在對教學內(nèi)容的把握上.高水平的教師，在教教材顯性知識的同時，能挖掘出其背后的隱性知識，教一些別人教不出來的內(nèi)容，這些不易教的隱性知識，就是數(shù)學的本質(zhì)［6］.

數(shù)學歷史文化中蘊含著豐富的課程資源［4］，利用數(shù)學史知識可以激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的數(shù)學精神，啟發(fā)學生的人格成長，預見學生的認知發(fā)展，指導并豐富教師的課堂教學，促進學生對數(shù)學的理解和對數(shù)學價值的認識，構(gòu)筑數(shù)學與人文之間的橋梁等［7］.作為數(shù)學教師，掌握一定的數(shù)學史知識，有助于深入體會和理解數(shù)學內(nèi)容所反映的思想、精神，進一步打開視野，在教學中善于抓住數(shù)學的核心概念和思想方法，在傳授知識的同時，揭示數(shù)學知識所蘊含的科學方法和理性思維過程，使課堂閃爍著思維的火花，促進學生學科素養(yǎng)的形成和提高.

1.H·伊夫斯著，歐陽絳等譯.數(shù)學史上的里程碑［M］.北京：北京科學技術(shù)出版社，1990.

2.章建躍.理解數(shù)學是教好數(shù)學的前提［J］.數(shù)學通報，2015，54（1）.

3.歐陽絳.數(shù)學方法溯源［M］.大連：大連理工大學出版社，2008.

4.徐章韜，顧泠沅.面向教學的學科知識之課程資源開發(fā)——以數(shù)學學科為例［J］.教育發(fā)展研究，2014（12）.

5.張景中.數(shù)學與哲學［M］.大連：大連理工大學出版社，2008.

6.李祎.高水平數(shù)學教學到底該教什么［J］.數(shù)學教育學報，2014，23（6）.

7.汪曉勤.HPM的歷史淵源［J］.數(shù)學教育學報，2003，12（3）.