☉安徽無(wú)為縣劉渡中心學(xué)校 丁浩勇

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)彰顯幾何直觀*

☉安徽無(wú)為縣劉渡中心學(xué)校 丁浩勇

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力越來(lái)越受到人們的重視.所謂幾何直觀，就是利用幾何圖形的直觀性來(lái)描述和分析問(wèn)題.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》）的課程內(nèi)容中已經(jīng)明確了幾何直觀是數(shù)學(xué)課程中的十大核心概念之一.為什么要注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀呢？《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》告訴我們，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是呈現(xiàn)幾何直觀的有力工具.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，不但可以操作和變換直觀圖形，而且能將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀形象化，提示問(wèn)題的本質(zhì)，有利于學(xué)生更好地解決問(wèn)題.

隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，現(xiàn)代信息技術(shù)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的順利開展提供了必備的物質(zhì)條件和技術(shù)保障.充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，是提高數(shù)學(xué)課堂質(zhì)量的一種行之有效的途徑.

一、借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)幾何直觀揭示問(wèn)題的本質(zhì)屬性

在解決某些代數(shù)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)其中隱含的數(shù)量關(guān)系，導(dǎo)致問(wèn)題很難解決.在這種情況下，可以利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)問(wèn)題的幾何意義，通過(guò)幾何直觀提示問(wèn)題的本質(zhì)屬性，從而達(dá)到問(wèn)題的順利解決.

案例1：借助幾何圖形研究函數(shù)問(wèn)題.

實(shí)驗(yàn)操作：（1）如圖1，打開幾何畫板軟件，繪制一條長(zhǎng)為10的線段AB，過(guò)A點(diǎn)在線段AB的上方作長(zhǎng)為2的垂線段CA，過(guò)B點(diǎn)在線段AB的下方作長(zhǎng)為4的垂線段DB.在線段AB上任取一點(diǎn)P，連接CP、DP.度量AP及CP+DP的值.

圖1

（2）在線段AB上移動(dòng)點(diǎn)P，觀察CP+DP的大小變化.當(dāng)CP+DP取最小值時(shí)，固定其位置，觀察AP的值.

（3）若AP=x，則CP、DP如何用x表示出來(lái)？

實(shí)驗(yàn)評(píng)析：案例1設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，巧妙地把求函數(shù)最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求兩條線段的長(zhǎng)之和的最小值問(wèn)題，通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作演示，線段之和的最小值直觀、形象地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，這樣學(xué)生解決問(wèn)題就輕而易舉了.正如數(shù)學(xué)家拉格朗日所說(shuō)：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄.但是，當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從而以快速的步伐走向完善.”因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要善于開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，把理性思維直觀呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生感悟幾何直觀，幫助學(xué)生建立空間觀念，讓學(xué)生學(xué)習(xí)看得見摸得著的數(shù)學(xué)，達(dá)到數(shù)形完美結(jié)合，使數(shù)學(xué)課堂回歸本真.

二、借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)幾何直觀突出問(wèn)題的幾何背景

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，有些抽象的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)公式，對(duì)邏輯思維能力相對(duì)薄弱的初中學(xué)生來(lái)說(shuō)理解起來(lái)比較困難，但是我們可以充分利用信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)演示問(wèn)題的幾何背景，突出問(wèn)題的幾何意義，讓學(xué)生借助幾何直觀優(yōu)化對(duì)數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)公式的理解.

案例2：借助幾何圖形研究平方差公式的幾何背景.

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的特殊情形，運(yùn)用平方差公式能簡(jiǎn)化對(duì)兩個(gè)整式的和與兩個(gè)整式的差相乘的運(yùn)算問(wèn)題.為了便于學(xué)生更好理解公式，可以借助多媒體設(shè)計(jì)幾何圖形利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)公式進(jìn)行直觀解釋.

實(shí)驗(yàn)操作：（1）圖2是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD，現(xiàn)沿它的一個(gè)頂點(diǎn)割去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，得到一個(gè)六邊形BCDEFG，如圖3.六邊形BCDEFG的面積是多少？

（2）沿著GF所在的直線將六邊形BCDEFG分割成兩個(gè)長(zhǎng)方形，再把兩個(gè)長(zhǎng)方形按照?qǐng)D4所示的方式拼在一起得到長(zhǎng)方形BDEG.長(zhǎng)方形BDEG的面積又可以怎樣表示？

（3）上述兩種方法表示的面積有什么關(guān)系？

（4）你能從中得到什么關(guān)系式？

實(shí)驗(yàn)評(píng)析：通過(guò)圖形拼割的操作實(shí)驗(yàn)，利用圖形面積的唯一性逐步呈現(xiàn)平方差公式的幾何背景.問(wèn)題（1）引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)割補(bǔ)法求出六邊形的面積是a2-b2；問(wèn)題（2）通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示圖形的分割與重組，引導(dǎo)學(xué)生得出重新拼成的長(zhǎng)方形面積是（a+b）（a-b）；問(wèn)題（3）啟發(fā)學(xué)生思考在圖形的分割和重新組合過(guò)程中其面積是否會(huì)發(fā)生變化；問(wèn)題（4）引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)面積的不變性得出平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛.數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微.形數(shù)結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非.切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”本例通過(guò)生動(dòng)、形象的圖形拼割實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生體會(huì)平方差公式的幾何意義，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系和統(tǒng)一，不僅可以幫助學(xué)生有效地記住平方差公式，還可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)平方差公式的直觀理解.

三、借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)幾何直觀轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表現(xiàn)形式

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的載體，它是由數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)、數(shù)學(xué)圖形等經(jīng)過(guò)人腦加工改進(jìn)的科學(xué)語(yǔ)言.數(shù)學(xué)語(yǔ)言主要有三種表現(xiàn)形式，即文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言.

有的數(shù)學(xué)問(wèn)題是由文字語(yǔ)言描述的，表述雖然簡(jiǎn)潔，但其高度的抽象性也給學(xué)生理解帶來(lái)一定的困難，不利于問(wèn)題的解決.如果我們把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為用直觀的圖形語(yǔ)言來(lái)呈現(xiàn)，這樣會(huì)便于學(xué)生觀察與聯(lián)想，有益于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決.

案例3：借助幾何直觀研究解方程（組）的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.

我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩(shī)：我問(wèn)開店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.試問(wèn)房客各幾何？

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：本題是由七言律詩(shī)的形式呈現(xiàn)的，文字雖然精練，但不利于學(xué)生尋找其中的等量關(guān)系.為了便于學(xué)生理解題意，可以將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成圖形語(yǔ)言，讓學(xué)生在直觀中明晰.

實(shí)驗(yàn)操作：（1）當(dāng)一房住七客時(shí)，如圖5，畫一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD，其中長(zhǎng)度AB表示實(shí)有房間數(shù)，高度AD表示每個(gè)房間里住的房客數(shù).增加幾個(gè)房間眾客可以全部入??？如圖6，延長(zhǎng)AB至E，使BE=1，作長(zhǎng)方形AEFD.長(zhǎng)方形AEFD的面積與眾客人數(shù)有什么關(guān)系？

（2）當(dāng)一房住九客時(shí)，如圖7，在圖6的基礎(chǔ)上畫長(zhǎng)方形AGHM，其中長(zhǎng)度AG表示實(shí)有房間數(shù)，高度AM表示每個(gè)房間里住的房客數(shù).則DM等于多少？AB比AG大多少？

（3）由眾客人數(shù)的不變性可知長(zhǎng)方形GEFN的面積與長(zhǎng)方形DNHM的面積有什么關(guān)系？

（4）由（3）可知AG的值是多少？則實(shí)有房間數(shù)（AB的值）是多少？眾客數(shù)是多少？

實(shí)驗(yàn)評(píng)析：案例3用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度表示房間數(shù)，用長(zhǎng)方形的寬度表示每個(gè)房間的住客數(shù)，從而長(zhǎng)方形的面積賦予的含義就是眾客的人數(shù).這樣根據(jù)面積的不變性得出房間數(shù)和房客數(shù)就非常容易.正如數(shù)學(xué)家斯蒂恩所說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么，思維就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法.”因此，我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要善于進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，靈活地把用文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言描述的抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為形象化、簡(jiǎn)單化的圖形語(yǔ)言，為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題開辟一條嶄新的途徑.

四、借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)幾何直觀賦予數(shù)值幾何意義

心理學(xué)家皮亞杰根據(jù)兒童的認(rèn)知理論將兒童的認(rèn)知分為四個(gè)階段，即感知運(yùn)動(dòng)期、前運(yùn)算思維期、具體運(yùn)算思維期和形式運(yùn)算思維期.初中學(xué)生的認(rèn)知開始從第三階段過(guò)渡到第四階段，其思維形式剛剛擺脫思維內(nèi)容，思維的深度和廣度非常匱乏.針對(duì)學(xué)生的這一特征，對(duì)一些較難理解的數(shù)量關(guān)系，如果能通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方法，借助幾何圖形使這些數(shù)量關(guān)系直觀形象化，那么就很容易找到解決問(wèn)題的方法.

案例4：借助幾何直觀比較實(shí)數(shù)的大小問(wèn)題.

實(shí)驗(yàn)操作：（1）打開幾何畫板軟件，如圖8，繪制一個(gè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1的8×6的網(wǎng)絡(luò)圖.

（2）在網(wǎng)絡(luò)圖內(nèi)分別繪制線段AB、BC、CD、AD.線段AB、BC、CD、AD的長(zhǎng)度分別是多少？

圖8

（3）AB+BC+CD與AD有什么大小關(guān)系？

實(shí)驗(yàn)評(píng)析：本例通過(guò)構(gòu)造特定長(zhǎng)的線段來(lái)表示對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，利用幾何直觀非常容易解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)家克萊因指出，“數(shù)學(xué)不是依靠于邏輯，而是依靠正確的直觀，數(shù)學(xué)的直觀就是對(duì)概念、證明的直接把握.”因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要善于培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)造圖形來(lái)解決問(wèn)題的意識(shí)，逐步形成一種遇到抽象性的數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，會(huì)主動(dòng)運(yùn)用幾何直觀的思維方式展開數(shù)學(xué)思考.

總之，幾何直觀不僅是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，也是一種思考問(wèn)題的能力和技巧，更是一種數(shù)學(xué)的思維方式.教學(xué)中，要充分利用信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，適時(shí)呈現(xiàn)幾何直觀，使抽象思維同形象思維結(jié)合起來(lái)，突出問(wèn)題的主要線索，充分展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，從而達(dá)到順利解決問(wèn)題的目的.

1.中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：人民教育出版社，2011.

2.丁浩勇.利用信息技術(shù)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中開展概念教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（4）.

3.丁浩勇.利用信息技術(shù)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想［J］.數(shù)學(xué)通訊（教師刊），2016（6）.

*本文系基金項(xiàng)目：安徽省教育信息技術(shù)研究“十二五”規(guī)劃2015年立項(xiàng)課題“現(xiàn)代教育技術(shù)環(huán)境下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究”（AH2015056）的研究成果.