【摘要】建立和求解模型的過程有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識(shí)，對他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。由于低年級學(xué)生受自身年齡特征、認(rèn)知原點(diǎn)和思維特點(diǎn)的制約，教師教學(xué)時(shí)可以從創(chuàng)設(shè)情境、動(dòng)手操作入手，讓學(xué)生在逐步深入的活動(dòng)中多維感悟、逐步明晰并內(nèi)化模型思想，從而有效地促進(jìn)他們思維的發(fā)展，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】逐步深入；多維感悟；建模；有余數(shù)的除法

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）09-0059-03

【作者簡介】迮恒良，江蘇省高郵實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇高郵，225600）教務(wù)處副主任，高級教師，高郵市優(yōu)秀教育工作者，高郵市教育科研先進(jìn)個(gè)人，揚(yáng)州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

新課標(biāo)明確指出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識(shí)。模型思想對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要，是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中必須滲透的數(shù)學(xué)思想之一。筆者曾執(zhí)教蘇教版二下《有余數(shù)的除法》，在教學(xué)中，筆者以引導(dǎo)學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)“余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系”為載體，逐步滲透數(shù)學(xué)模型思想，在市級小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽中獲得了好評，現(xiàn)分享如下：

片段一：創(chuàng)設(shè)情境，在分類中初識(shí)模型

1.創(chuàng)設(shè)情境，巧分金箍棒。

師：孫悟空有一件神奇的寶貝——金箍棒，你們想要嗎？現(xiàn)在孫悟空變出10根金箍棒，打算分給小朋友們。如果你是孫悟空，打算每人分幾根金箍棒？

生1：我想每人分2根。

師：可以分給幾個(gè)人？怎樣列式？

生1：可以分給5個(gè)人，用10÷2=5（人）。

師：還可以怎么分？如何列式？

生2：還可以每人分5根，用10÷5=2（人）。

師：除了這兩種方法，還可以每人分幾根？能分幾個(gè)人呢？

生3：還可以每人分3根，可以分給3個(gè)人，最后還多1根。

師：是這樣嗎？自己動(dòng)手，用小棒擺一擺。

教師指名學(xué)生到黑板上來擺一擺。

師：如果每人分3根，剩下的1根還夠分給一個(gè)人嗎？

生：這1根不夠分了。

師：還可以每人分幾根？

生：還可以每人分4根。

師：如果每人分4根，結(jié)果又會(huì)怎樣呢？先想一想，再用小棒擺一擺，最后把你的想法跟同桌說一說。

學(xué)生動(dòng)手操作，全班匯報(bào)，課件演示。

師：如果每人分4根，剩下的2根也不夠分了。

2.列式計(jì)算，規(guī)范寫法。

師：每人分2根和5根，我們已經(jīng)會(huì)列式了。如果每人分3根，你會(huì)用除法算式表示嗎？在作業(yè)紙上試一試。

學(xué)生獨(dú)立嘗試，展示結(jié)果，教師指名學(xué)生說想法。

生：10÷3=3；10÷3=3（人），還剩下1根；10÷3=3（人）……1（根）。

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，統(tǒng)一格式并板書：10÷3=3（人）……1（根）。

師：你知道這個(gè)算式表示什么意思嗎？如果每人分4根，你也能像這樣列式嗎？

同桌互說，教師指名學(xué)生說。教師板演，說明算式的含義。

3.算式分類，初識(shí)模型。

師：仔細(xì)觀察，你能把這幾種分法分分類嗎？你是怎么想的？

生：第一種和第四種分法是一類，都正好分完；另外兩種是一類，都沒分完，有剩余。

教師引入新課并板書課題：有余數(shù)的除法。

通過學(xué)生喜愛的神話人物——孫悟空引入新課，讓學(xué)生在自主分金箍棒的過程中，在已有等分物體經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，自然列出以前學(xué)過的表內(nèi)除法算式，為新課的學(xué)習(xí)做好鋪墊。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生思考還可以每人分幾根、分給幾個(gè)人，在不能整除時(shí)，讓學(xué)生想一想、擺一擺并參照整除算式嘗試寫出有余數(shù)的除法算式，讓創(chuàng)造的種子在學(xué)生的心田萌芽。在規(guī)范格式后，通過觀察、比較這些算式，讓學(xué)生進(jìn)行分類，初步感知有余數(shù)的除法的算法模型，理解余數(shù)及有余數(shù)的除法的含義，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主構(gòu)建知識(shí)的空間。

片段二：動(dòng)手拼搭，在操作中感知模型

課件演示用4根同樣長的小棒擺1個(gè)正方形的過程。

師：像這樣單獨(dú)擺，8根同樣長的小棒可以擺幾個(gè)正方形？怎樣列式？

生：4根小棒可以擺1個(gè)正方形，8根小棒就可以擺2個(gè)正方形，列式是8÷4=2（個(gè)）。

師：照這樣擺正方形，用12根、13根、14根、15根、16根同樣長的小棒，分別可以擺幾個(gè)正方形呢？

學(xué)生在組內(nèi)動(dòng)手?jǐn)[小棒，再全班交流。

教師課件出示擺的結(jié)果和算式：12÷4=3（個(gè)）；13÷4=3（個(gè)）……1（根）；14÷4=3（個(gè)）……2（根）；15÷4=3（個(gè)）……3（根）；16÷4=4（個(gè)）。

低年級學(xué)生以動(dòng)作、形象思維為主，也有一定的邏輯思維能力。教學(xué)時(shí)，教師通過用不同根數(shù)的小棒擺正方形的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生多維探究余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系。從擺一個(gè)正方形需要4根同樣長的小棒入手，引導(dǎo)學(xué)生想象用8根同樣長的小棒擺正方形的過程，讓學(xué)生在腦海中形成“單獨(dú)擺”的印跡，再讓學(xué)生深入思考用12～16根同樣長的小棒擺正方形的情況，并用小棒驗(yàn)證自己的想法，使學(xué)生從純粹的操作逐步向先思考再操作、驗(yàn)證過渡，在操作中直觀感知有余數(shù)的除法的模型。

片段三：放飛想象，在推理中感悟模型

師：哪位同學(xué)不操作就能知道用13根小棒可以擺3個(gè)正方形，還剩1根？

生：12根小棒正好可以擺3個(gè)正方形，13根比12根多1根，1根小棒不能擺一個(gè)正方形。

師：說得真好。你能照樣子說說用14根、15根小棒擺正方形的情況嗎？

師：想一想，為什么用15根小棒擺正方形余數(shù)是3，而用16根小棒擺沒有余數(shù)？

生：用15根小棒擺正方形，余下3根小棒，16根比15根多1根，3+1=4（根），4根小棒又正好可以擺一個(gè)正方形，所以用16根小棒擺正方形沒有余數(shù)。

師：如果繼續(xù)擺下去，結(jié)果可能會(huì)怎樣？選擇一個(gè)你喜歡的根數(shù)，先想一想能擺幾個(gè)正方形，還剩幾根，再列出算式。

學(xué)生自主思考，列式計(jì)算，小組內(nèi)交流想法，全班匯報(bào)。教師有選擇地板書部分算式。

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察，想一想，像這樣擺正方形，如果有剩余，可能余幾根？為什么？

生：可能是1根、2根或3根，因?yàn)橛?根、2根或3根都擺不成一個(gè)正方形。

師（圈出算式中的除數(shù)和余數(shù)）：比較一下這些算式中的除數(shù)和余數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：除數(shù)是4時(shí)，余數(shù)可能是1、2、3，都比4小。

低年級學(xué)生的抽象思維能力比較弱，思考問題需要具體事物作支撐。教學(xué)時(shí)，學(xué)生由動(dòng)手操作擺正方形向在腦中自由拼搭正方形過渡，思維有了基礎(chǔ)，推理有了扶手，思維層次得到了提升。但如果只對前面幾種拼搭情況進(jìn)行腦中再現(xiàn)，并以此為根據(jù)草草地下結(jié)論和獲得模型，容易使學(xué)生養(yǎng)成武斷概括、輕易下結(jié)論的毛病。因此，教師可以放手讓學(xué)生自主選擇小棒的根數(shù)，小組合作擺正方形或在自己頭腦中擺正方形，使結(jié)論盡可能地具有普遍性，使有余數(shù)的除法的模型在學(xué)生腦海中自然形成。

片段四：拓展延伸，在概括中明晰模型思想

1.創(chuàng)設(shè)情境，巧擺五邊形。

師（課件出示圖1）：豬八戒也在用小棒擺圖形，看了他列的算式，你有什么想對他說的？

生：算式錯(cuò)了，余下的小棒不可能是7根。

師：說說你是怎么想的。

生：可以從余下的7根里分出5根擺一個(gè)五邊形，這樣擺3個(gè)五邊形后，還余下2根。

師：你能幫他改一改算式嗎？

生：17÷5=3（個(gè)）……2（根）。

師：最少再添幾根就可以再擺一個(gè)五邊形了？

生：現(xiàn)在有2根小棒，要想再擺一個(gè)五邊形，最少要添3根。

師：現(xiàn)在豬八戒準(zhǔn)備用一堆小棒來擺五邊形，如果有剩余，可能余幾根小棒？

生：可能余下1根、2根、3根或4根。

師（小結(jié)）：當(dāng)除數(shù)是5時(shí)，余數(shù)可能是1、2、3、4，都比5小。

師：如果除數(shù)是7，余數(shù)可能是幾？

生：除數(shù)是7時(shí)，余數(shù)可能是1、2、3、4、5、6。

師：比較余數(shù)和除數(shù)的大小，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：余數(shù)都比除數(shù)小。余數(shù)不可能大于或等于除數(shù)，如果余數(shù)等于除數(shù)，商就要增加1，余數(shù)就沒有了；余數(shù)大于除數(shù)就更不可能了。

2.拓展延伸，明晰模型思想。

師：孫悟空還要把一筐仙桃分給他的猴子猴孫，看?。ㄕn件出示圖2）

師：分到仙桃的猴子猴孫可能是幾只？你是怎么想的？

生：可能是5只、6只、7只、8只……現(xiàn)在余下的是4只仙桃，因?yàn)槌龜?shù)比余數(shù)大，小猴的只數(shù)一定比4大。

師：小猴至少有幾只？

生：至少有5只。

新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括。筆者再次聚焦余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系，通過思維拓展訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生充分感悟，在分析比較中概括出算式的規(guī)律，在理解事理的基礎(chǔ)上經(jīng)歷有余數(shù)的除法的模型建構(gòu)過程，使他們更深入地認(rèn)識(shí)有余數(shù)的除法的意義。數(shù)學(xué)模型建立后，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用模型去解決現(xiàn)實(shí)問題，進(jìn)一步加深他們對模型的感悟。通過創(chuàng)設(shè)首尾呼應(yīng)、童趣橫生的情境，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的數(shù)學(xué)模型來解答“小猴可能有幾只”的問題，使他們不但知其然，而且知其所以然。這樣的經(jīng)歷對學(xué)生今后研究數(shù)學(xué)問題、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益。

綜觀整個(gè)教學(xué)過程，從現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)模型，再從數(shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實(shí)問題，不斷循環(huán)，不斷完善，學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過程中獨(dú)立思考、合作交流，模型思想在他們的腦海中逐步得到內(nèi)化。當(dāng)然，在滲透數(shù)學(xué)思想的過程中，教師要善于根據(jù)學(xué)生的年齡特征、認(rèn)知原點(diǎn)、思維特點(diǎn)創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的情境，在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上滲透模型思想，這樣才能更加有效地促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，最終提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。<＼＼Ysc02＼d＼邱＼江蘇教育＼小學(xué)版＼2017＼02＼KT1.TIF>