廣西壯族自治縣凌云縣中學(xué) 黃星銘

猶太裔物理學(xué)家阿爾伯特·愛(ài)因斯坦于1915年發(fā)表《廣義相對(duì)論》；于1921年發(fā)表《狹義相對(duì)論》。起初，很多人不理解他的意思，甚至視他為瘋子。直到他的理論被世界逐一證實(shí)，他的思想才逐漸被人們所接受。

今天，我們用相對(duì)論深入分析數(shù)學(xué)空間，一可加深認(rèn)識(shí)，二可創(chuàng)新思維，不斷變式思維，拓展數(shù)學(xué)研究。

一、點(diǎn)是最基本的數(shù)學(xué)空間

“點(diǎn)”只有位置。數(shù)軸上的一點(diǎn)A與一個(gè)實(shí)數(shù)a一一對(duì)應(yīng)。相對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)A′，則要用橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y，即有序數(shù)對(duì)(x,y)才能表示出點(diǎn)A￠的位置。而相對(duì)于空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一點(diǎn)A″，則要用橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、豎坐標(biāo)z，即有序數(shù)組(x,y,z)才能表示出點(diǎn)A″的位置。相對(duì)來(lái)說(shuō)，要考察的“點(diǎn)”空間不同，所用的“維度”就不同。

“點(diǎn)”沒(méi)有大小之分。相距無(wú)窮遠(yuǎn)的兩顆宇宙星體A、B，客觀上它們均有各自的形態(tài)、面積、體積等等概念空間。然而，由于它們相距無(wú)窮遠(yuǎn)，相對(duì)來(lái)說(shuō)，兩顆宇宙星體已經(jīng)失去了輪廓形態(tài)概念，高度濃縮成兩個(gè)點(diǎn)就可以用兩點(diǎn)間的距離近似看作這兩顆星體之間的距離。顯然，如果兩顆星體的距離不夠遠(yuǎn)，它們的距離是不能這樣計(jì)算的。

二、線是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)空間

點(diǎn)動(dòng)成“線”。相對(duì)來(lái)說(shuō)，點(diǎn)A沿直線移動(dòng)至點(diǎn)B處，可記作若從點(diǎn)B沿直線移動(dòng)至點(diǎn)A處，則記作。顯然，是相反矢量，長(zhǎng)度相等，但是方向相反；一個(gè)來(lái)回，路程是2|AB|，位移卻為0?？梢?jiàn)，點(diǎn)的移動(dòng)是一種矢量運(yùn)動(dòng)。

“線”有曲直。直線是一種很簡(jiǎn)單的軌跡，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)它的軌跡方程是一次函數(shù)y＝k·x＋b，k為直線的斜率。相對(duì)來(lái)說(shuō)，像圓，橢圓，雙曲線，拋物線，螺旋線，…，這些軌跡不是直線。如果曲線整體共面，可以用平面直角坐標(biāo)系來(lái)研究它們的軌跡方程。像圓心在（0,0）、半徑為1的單位圓方程就為x2＋y2＝1；長(zhǎng)軸為4、短軸為1、焦點(diǎn)在橫軸上的橢圓方程就為x2＋4y2＝4；實(shí)軸為4、虛軸為1、焦點(diǎn)在橫軸的雙曲線方程就為x2－4y2＝4；頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦準(zhǔn)距為4、開(kāi)口向右的拋物線方程就為y2＝4x。像螺旋線，這種曲線整體經(jīng)常不共面，我們要在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)考察它，它的軌跡方程就不容易測(cè)算了。

曲線的性質(zhì)是相對(duì)而言的。函數(shù)的變化率有快有慢，像指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象呈現(xiàn)出“爆炸式”的快速增長(zhǎng)勢(shì)態(tài)，而對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖象則呈現(xiàn)出“蝸牛式”緩慢增長(zhǎng)勢(shì)態(tài)，這個(gè)變化率的極限就是函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)y￠。曲線的單調(diào)性有增有減，從左至右看指數(shù)函數(shù)y＝2x、對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖象均呈現(xiàn)出“上升”勢(shì)態(tài)，但是從右至左來(lái)看，卻呈現(xiàn)出“下降”勢(shì)態(tài)，可用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)y￠來(lái)討論單調(diào)性。曲線有凹有凸，從一側(cè)看是“凹”的，像指數(shù)函數(shù)y＝2x圖象呈現(xiàn)出“兩頭高中間低”的向下凹勢(shì)態(tài)，曲線y＝log2x呈現(xiàn)出“兩頭低中間高”的向上凹勢(shì)態(tài)，但是從曲線的另一側(cè)來(lái)看，則是“凸”的，可用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)y″來(lái)討論凹凸性。

“線”占據(jù)一定的長(zhǎng)度空間。因?yàn)辄c(diǎn)的一次矢量運(yùn)動(dòng)是不可能形成“面”的概念，最多留下“框架結(jié)構(gòu)”。

“線”沒(méi)有粗細(xì)之分。一根很長(zhǎng)很粗的鋼管，如果把它放置在我們眼前適當(dāng)遠(yuǎn)的位置，相對(duì)來(lái)說(shuō)，鋼管的“粗細(xì)”概念好像失去了，只留下“一根線”的視覺(jué)印象。

三、面是線運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)空間

線動(dòng)成“面”。在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，若把橫軸x沿縱向無(wú)限平移，就形成“水平面xoy”；若把橫軸x沿豎直方向無(wú)限平移，就形成“豎直面xoz”；若把曲線y=x2若豎直方向無(wú)限平移，就留下一個(gè)“凹槽的拋物面”；“球面”也是一個(gè)曲面。顯然，“面”分“平面”或“曲面”。“平面”是無(wú)限平直延展的，沒(méi)有大??；然而，存在封閉的“曲面”，像籃球、排球等球面。

“面”沒(méi)有厚薄之分。長(zhǎng)100米、高3米、厚2米的長(zhǎng)方體墻面矗立在我們的跟前，相對(duì)來(lái)說(shuō)，它的正視圖是一個(gè)“長(zhǎng)100米、寬3米的長(zhǎng)方形”，側(cè)視圖是一個(gè)“長(zhǎng)2米、寬3米的長(zhǎng)方形”，俯視圖是一個(gè)“長(zhǎng)100米、寬2米的長(zhǎng)方形”，不管視角如何，失去了“厚度”概念。

“面”是實(shí)心的?！熬€”的直線運(yùn)動(dòng)是無(wú)數(shù)個(gè)“點(diǎn)”的矢量運(yùn)動(dòng)，它們占據(jù)了一定的面積空間，顯然“面”不是空心的。像三角形，平行四邊形，梯形，圓，扇形，…，這些平面區(qū)域的面積可直接套用公式，計(jì)算難度不大。

四、體是面運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)空間

面旋動(dòng)成“體”，造就了柱體，錐體，臺(tái)體，球體，…，這些簡(jiǎn)單多面體有旋轉(zhuǎn)軸。由若干個(gè)柱體、錐體、臺(tái)體、球體等等簡(jiǎn)單多面體組合得空間組合體。一個(gè)“體”必須要用三維空間來(lái)刻畫。

“體”有凹凸之分。凸多面體的任意一個(gè)側(cè)面無(wú)限延展，“體”均在這個(gè)平面的同一側(cè)，像簡(jiǎn)單多面體、由簡(jiǎn)單多面體組合得空間組合體均是凸多面體。若把“體”的一個(gè)側(cè)面無(wú)限延展，“體”不在這個(gè)平面的同一側(cè)，它是凹多面體。若在柱體、錐體、臺(tái)體、球體等等簡(jiǎn)單多面體內(nèi)挖出部分簡(jiǎn)單幾何體，則余下部分是凹多面體。

“體”它們是實(shí)心的?！懊妗钡囊苿?dòng)是無(wú)數(shù)個(gè)“點(diǎn)”的矢量運(yùn)動(dòng)，占據(jù)了一定的宇宙立體空間。像柱體、錐體、臺(tái)體、球體…等規(guī)則空間幾何體的體積容易計(jì)算，可以套用公式。像V柱體＝底面積X高；V錐體＝底面積X高÷3；V球體＝ 而V臺(tái)體＝[上底面積＋上底面積與下底面積的幾何平均數(shù)＋下底面積]X高÷3。

組合體的體積可先分割成若干個(gè)柱體、錐體、臺(tái)體、球體等規(guī)則空間幾何體，再進(jìn)行計(jì)算它們的體積總和。

定義在有界閉區(qū)域R上的正值連續(xù)函數(shù)f(x,y) 為曲頂?shù)那斨w的體積V，通常要“無(wú)窮分割”?“近似替代求面積”?“精確求面積和”?“求極限”，由二重積分測(cè)算出曲頂柱體的體積V。

在立體空間或空間的一部分V上分布著某一種物理量，V就構(gòu)成一個(gè)“場(chǎng)”。像物體的溫度場(chǎng)，大氣壓力場(chǎng)，空間的引力場(chǎng)，液體的速度場(chǎng)，能量場(chǎng)，…。一般來(lái)說(shuō)，“場(chǎng)”可分為兩類，第一類是數(shù)量場(chǎng)，像密度場(chǎng)，溫度場(chǎng)，…；第二類是向量場(chǎng)，像引力場(chǎng)，速度場(chǎng)，…。盡管每種場(chǎng)都有各自的物理特性，但是在數(shù)量關(guān)系上各類場(chǎng)都有相同的數(shù)學(xué)形式。數(shù)量場(chǎng)f(x,y,z)在點(diǎn)P（x,y,z）的梯度表為grad(P)，即數(shù)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)向量場(chǎng)。在溫度場(chǎng)中，熱是由溫度高處流向溫度低處，沿著梯度相反方向流動(dòng)最快。在電勢(shì)場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度E等于電勢(shì)的梯度grad(U)，但是二者方向相反。然而，我們對(duì)“場(chǎng)”認(rèn)識(shí)是初步的，尚需不斷研究它們的共性。

總之，用相對(duì)論審視數(shù)學(xué)空間，可以推動(dòng)數(shù)學(xué)的拓展，深刻認(rèn)識(shí)宇宙空間。