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        排列組合的常用方法

        2017-03-07 05:47:20鄭國(guó)鵬
        新課程·教師 2017年12期
        關(guān)鍵詞:組合方法

        鄭國(guó)鵬

        摘 要:排列組合是高考的重要內(nèi)容,它是概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ),廣泛運(yùn)用于概率統(tǒng)計(jì)的計(jì)算當(dāng)中,且在日常生活中也有重要的實(shí)際意義。在近些年的高考數(shù)學(xué)試卷中,考查比例越來(lái)越高,所以掌握排列的常用方法十分必要。主要講述有關(guān)排列組合的常用方法。

        關(guān)鍵詞:排列;組合;方法

        一、特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮法

        例如:1名教師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念,若老師不排在兩端,則共有不同的排法多少種?

        解:法1:先考慮特殊元素“老師”有A1

        3種排法,再把4名學(xué)生排在余下4個(gè)位置有A4

        4種,共有A1

        3·A4

        4=72種

        法2:先考慮特殊位置“兩端”,即從4名學(xué)生中選2人排在兩端有A2

        4種,再把剩下兩名學(xué)生和老師排在其他3個(gè)位置有A3

        3種,共有A2

        4·A3

        3=72種

        二、相鄰問(wèn)題用捆綁法

        例如:5人排成一排,其中甲乙必須排在一起,有幾種排法?

        解:把甲乙兩人捆綁看成一個(gè)大元素,與其他三人組成4個(gè)元素全排列有A4

        4種,其中甲乙兩人內(nèi)部排列有A2

        2種,共A4

        4·A2

        2種。

        三、不相鄰問(wèn)題用插空法

        例如:5人排成一排,其中甲乙不排在一起,有幾種排法?

        解:要求不相鄰的甲乙兩人先不排,其他3人先排有A3

        3種,再把甲乙兩人插在3人組成的4個(gè)空檔中有A2

        4種,共有A3

        3·A2

        4種。

        四、定序問(wèn)題用除法

        例如:5人排成一排,其中甲、乙、丙三人排序一定,有幾種排法?

        解:如果沒(méi)有要求排序一定,則有A5

        5種,其中包含有甲、乙、丙三人的全排列A3

        3種,而甲、乙、丙三人一定的排序只是A3

        3其中的一種,即只占,所以共有A5

        5·=種

        (此種問(wèn)題歸結(jié)為用沒(méi)要求時(shí)的全排列種數(shù)除以要求定序的個(gè)數(shù)的全排列種數(shù)。)

        五、正難則反法(也叫間接法、排除法)

        例如:5個(gè)唱歌節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目,要排成一個(gè)節(jié)目單,要求前四個(gè)節(jié)目中要有舞蹈,有幾種排法?

        解:本題若直接考慮則情況比較多,可從反面考慮,即先求出前四個(gè)節(jié)目中沒(méi)有舞蹈的排法種數(shù)有A4

        5·A4

        4種,而沒(méi)任何要求的排法種數(shù)有A8

        8種,所以共有A8

        8-A4

        5A4

        4種。

        六、組合中的平均分組問(wèn)題

        1.全部平均分組問(wèn)題

        例如:6個(gè)人分成3組,每組2人有幾種分法?

        解:=15種。若改為分成2組,每組3人,則有種,應(yīng)多體會(huì)。

        2.部分平均分組問(wèn)題

        例如:6名運(yùn)動(dòng)員分配到4所學(xué)校擔(dān)任教練,每校至少一人,則分配方法有幾種?

        解:6名運(yùn)動(dòng)員分到4所學(xué)校去做教練,每校至少一人,有以下兩類情形:

        第一類:4所學(xué)校分到的運(yùn)動(dòng)員各有3、1、1、1人,這樣的分法一共有:(C3

        6·)·A4

        4=480種;

        第二類:4所學(xué)校分到的運(yùn)動(dòng)員各有2、2、1、1人,這樣的分法一共有:(·)·A4

        4=1080種;

        根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得:6名運(yùn)動(dòng)員分到4所學(xué)校去做教練,每校至少一人,有480+1080=1560種分法。

        (以上兩類情形中均采用“先分組后排列”的思想方法,即6個(gè)人先分成4組再把這4組分到學(xué)校,其中分組時(shí)出現(xiàn)了部分平均分組,處理方法跟全部平均分組類似。)

        七、組合中的隔板法(此法適用于沒(méi)有區(qū)別的元素的分配問(wèn)題,常見(jiàn)的有名額分配、相同小球的分配等)

        例1.20個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子,每盒至少一球,有幾種放法?

        解:先把20個(gè)小球排成一排,由于球都是相同的,所以只有一種排法;再在20個(gè)小球之間的19個(gè)空檔中插入3個(gè)隔板,有C3

        19種不同插法。所以共有C3

        19種放法。

        例2.20個(gè)相同小球放入4個(gè)不同的盒子,有幾種放法?

        解:本題與上題的區(qū)別是每個(gè)盒子不一定都放球,此時(shí)也可以用隔板法。將20個(gè)小球與將要插入的3個(gè)隔板看成23個(gè)元素,放在23個(gè)位置上。問(wèn)題簡(jiǎn)化為在23個(gè)位置上選出3個(gè)位置放隔板,其他20個(gè)位置都放球,有C3

        23種不同放法。

        例3.20個(gè)相同小球放入4個(gè)編號(hào)分別為1、2、3、4的盒子,要求每盒中的球數(shù)要大于其編號(hào)數(shù),有幾種放法?

        解:先在4個(gè)盒子中放入與其編號(hào)相同數(shù)目的小球,因?yàn)樾∏蚨枷嗤?,所以只有一種放法,還剩下10個(gè)小球,此時(shí)再利用隔板法將剩下的10個(gè)小球放入4個(gè)盒子中(此時(shí)要求每個(gè)盒子都要再放球)有C3

        9種,所以共有C3

        9種。

        例4.20個(gè)相同小球放入4個(gè)編號(hào)分別為1、2、3、4的盒子,要求每盒中的球數(shù)不小于其編號(hào)數(shù),有幾種放法?

        解法1:先在4個(gè)盒子中放入與其編號(hào)相同數(shù)目的小球,因?yàn)樾∏蚨枷嗤灾挥幸环N放法,還剩下10個(gè)小球,此時(shí)再利用隔板法將剩下的10個(gè)小球放入4個(gè)盒子中(此時(shí)沒(méi)有要求每個(gè)盒子都要再放球)有C3

        13種,所以共有C3

        13種。

        解法2:先在編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子中分別放入0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)小球,因?yàn)樾∏蚨枷嗤?,所以只有一種放法,還剩下14個(gè)小球,此時(shí)再利用隔板法將剩下的14個(gè)小球放入4個(gè)盒子中(此時(shí)要求每個(gè)盒子都要再放球)有C3

        13種,所以共有C3

        13種。

        編輯 張珍珍

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