江蘇省蘇州平江中學(xué)校 高 旻

數(shù)學(xué)抽象：提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

江蘇省蘇州平江中學(xué)校 高 旻

“數(shù)學(xué)抽象”是第一核心素養(yǎng)，且數(shù)學(xué)本質(zhì)上研究的就是抽象問題，數(shù)學(xué)發(fā)展的基本思想也是抽象的。為了達(dá)到讓初中與高中更好銜接的目的，筆者認(rèn)為在初中階段就應(yīng)該逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐來談?wù)劇皵?shù)學(xué)抽象”的內(nèi)涵及初中階段如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

數(shù)學(xué)抽象有四個(gè)方面的具體表現(xiàn)：形成數(shù)學(xué)概念；形成數(shù)學(xué)命題與模型；形成數(shù)學(xué)方法與思想；形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系等。下面通過幾個(gè)教學(xué)實(shí)例闡述如何在課堂中培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”的能力。

一、在新授課中創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生抽象出問題共性，形成數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，它是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心。概念的形成過程就是對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、概括的過程。譬如，“函數(shù)”的概念，就是實(shí)際問題中兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行抽象的結(jié)果；“分式”的概念，是分?jǐn)?shù)符號(hào)化的結(jié)果，是對(duì)分?jǐn)?shù)特殊屬性的一般描述，是利用類比方法抽象出的結(jié)果。

案例1：蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)（下）分式概念教學(xué)。

上課開始，老師先給出下列問題，請(qǐng)學(xué)生解答。

問題1：如果某市人口總數(shù)為a人，綠地面積為bm2，那么該市人均擁有綠地 m2。（答案：）

問題3：如果兩塊面積為a公頃、b公頃的棉田分別產(chǎn)棉花m千克、n千克，那么這兩塊棉田平均每公頃產(chǎn)棉花 千克。（答案：）

問題4：計(jì)算：4x3y2÷x3y3= 。（答案：）

有什么共同特征？它們與整式有什么區(qū)別？學(xué)生會(huì)得出一些結(jié)論：這些式子的分母都含有字母，它們不是整式，與分?jǐn)?shù)類似等。從上述實(shí)際和純數(shù)學(xué)問題情境中抽象出分式概念：用A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么代數(shù)式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。

本節(jié)課是分式的一節(jié)概念引入課，從整個(gè)章節(jié)來說，學(xué)習(xí)分式是解決實(shí)際問題的需求和數(shù)學(xué)發(fā)展自生的結(jié)果，分式是分?jǐn)?shù)符號(hào)化的結(jié)果，通過用字母表示數(shù)把分?jǐn)?shù)和分式聯(lián)系起來，滲透具體與抽象、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)中，筆者認(rèn)為要為學(xué)生準(zhǔn)備典型、豐富的具體實(shí)例，設(shè)計(jì)、歸納具體實(shí)例的共性，抽象出本質(zhì)特征，并概括出數(shù)學(xué)概念。

二、在實(shí)驗(yàn)課中歸納提煉，引導(dǎo)學(xué)生抽象出問題規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)建模就是對(duì)實(shí)際問題通過抽象化得到模型的方法解決問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課是一種以問題解決為驅(qū)動(dòng)的學(xué)習(xí)方式，讓數(shù)學(xué)建?？刹僮骰?，能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)與發(fā)展。在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，學(xué)生通過操作、交流、思考，對(duì)數(shù)學(xué)概念、法則進(jìn)行抽象建構(gòu)（即數(shù)學(xué)建模），經(jīng)歷問題情境、構(gòu)建模型、問題解決的過程，幫助學(xué)生獲得數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)論歸納提煉，得到一般的數(shù)學(xué)結(jié)論。譬如在七年級(jí)學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)，可以做一些簡(jiǎn)單的測(cè)量實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在活動(dòng)過程中建立方程模型，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力。

案例2：蘇科版《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》七年級(jí)（下）測(cè)量硬幣的厚度與質(zhì)量。

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：相同的5角硬幣若干、相同的1元硬幣若干、尺子、天平等。

(2)加強(qiáng)國內(nèi)外機(jī)構(gòu)在綠色金融控制方面的合作。 在“一帶一路”的大環(huán)境下，我們有著很多的機(jī)會(huì)，利用與國際相關(guān)機(jī)構(gòu)合作，以國際金融風(fēng)險(xiǎn)控制的高標(biāo)準(zhǔn)。通過不斷學(xué)習(xí)國內(nèi)外綠色金融發(fā)展的新成果、新思路和新理念。根據(jù)雄安的產(chǎn)業(yè)特征，借鑒發(fā)達(dá)國家的相關(guān)規(guī)則與標(biāo)準(zhǔn)制定綠色金融法律制度，對(duì)于金融監(jiān)管部分評(píng)估與測(cè)度，達(dá)成金融環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)評(píng)級(jí)能夠規(guī)范操作的目標(biāo)。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟：

1.測(cè)量硬幣的厚度和質(zhì)量：

（1）將10枚5角硬幣疊放在一起，用尺子量出它的厚度約為 mm，那么1枚5角硬幣的厚度約為 mm；將10枚1元硬幣疊放在一起，用尺子量出它的厚度約為 mm，那么1枚1元硬幣的厚度約為 mm。（2）用天平稱出10枚5角硬幣的質(zhì)量約為g，那么1枚5角硬幣的質(zhì)量約為 g；用天平稱出10枚1元硬幣的質(zhì)量約為 g，那么1枚1元硬幣的質(zhì)量約為 g。

2.計(jì)算硬幣的數(shù)量和總金額：

（1）將1把5角和1元硬幣混合疊放在一起，用尺子量出它的厚度。問題解決：你能分別求出有多少枚5角硬幣和1元硬幣嗎？為什么？

（2）再用天平稱出這把硬幣的質(zhì)量，此時(shí)你能分別求出5角硬幣和1元硬幣的枚數(shù)嗎？并計(jì)算出總金額。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)是為“用二元一次方程組解決問題”而設(shè)計(jì)的，首先，測(cè)量5角硬幣和1元硬幣的厚度和質(zhì)量，要求用尺子量出厚度，用天平測(cè)量質(zhì)量，注重對(duì)數(shù)據(jù)的處理和使用。其次，求出5角硬幣和1元硬幣的數(shù)量，僅僅用尺測(cè)量厚度是不夠的，還需要用天平稱出質(zhì)量，強(qiáng)化對(duì)數(shù)據(jù)的處理和使用過程，讓學(xué)生體會(huì)二元一次方程組解決實(shí)際問題的有效數(shù)學(xué)模型。

三、在習(xí)題課中巧設(shè)變式，引導(dǎo)學(xué)生抽象出問題本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)方法與思想

習(xí)題課是為了提高學(xué)生對(duì)概念與規(guī)則的理解與運(yùn)用能力，重點(diǎn)是如何通過精講精練，對(duì)條件、結(jié)論等不同角度、層次、情形、背景的變式，引導(dǎo)學(xué)生抽象問題本質(zhì)，教授學(xué)生歸納數(shù)學(xué)方法與思想。

案例3：在一節(jié)習(xí)題課教學(xué)中，出示下列問題：

請(qǐng)寫出點(diǎn)A（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 。

解答后，給出下列變式：

變式一：直線y=x+1關(guān)于x軸對(duì)稱的直線解析式是（）；關(guān)于y軸對(duì)稱的直線解析式是（）；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線解析式是（）。

變式二：拋物線y=x2+2x-1關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線解析式是（）；關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線解析式是（）；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線解析式是（）。

變式三：下列函數(shù)圖像：y=2x，y=3x2，y=5|x|中，關(guān)于x軸對(duì)稱的有（）；關(guān)于y軸對(duì)稱的有（）；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的有（）。

解答上述變式問題后，請(qǐng)同學(xué)歸納解題方法（即抽象出問題本質(zhì)，歸納出方法和思想）。通過學(xué)生的回答，歸納，有以下兩點(diǎn)：（1）這是一類求平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)、解析式對(duì)稱的問題。由于線由點(diǎn)組成，故線的對(duì)稱就是點(diǎn)的對(duì)稱問題。（2）解題流程：若關(guān)于x軸對(duì)稱，則自變量x不變，因變量y用-y代換；若關(guān)于y軸對(duì)稱，則因變量y不變，自變量x用-x代換；若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則自變量x用-x代換，因變量y用-y代換。

四、在復(fù)習(xí)課中承前啟后，引導(dǎo)學(xué)生抽象出概念結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)體系

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中由于概念不清，知識(shí)主線不通等教學(xué)現(xiàn)象大量存在，造成了學(xué)生只會(huì)機(jī)械地解題，而不清楚題目背后實(shí)際蘊(yùn)藏著知識(shí)概念的框架結(jié)構(gòu)。因此教師在新授課結(jié)束后，需要幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念與知識(shí)的體系。復(fù)習(xí)課是對(duì)所學(xué)知識(shí)的溫故與整合，不僅要教會(huì)學(xué)生解題，還要教學(xué)生歸納數(shù)學(xué)方法、抽象概念結(jié)構(gòu)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)不再是獨(dú)立的知識(shí)，而讓數(shù)學(xué)知識(shí)能形成相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)體系。

案例4：在一節(jié)復(fù)習(xí)《一次函數(shù)》章節(jié)的課上，給出下列例題：

例1 一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像如圖1所示，則由圖象可知關(guān)于x的方程kx+b=0的解為（）。

（簡(jiǎn)析：該題把一次函數(shù)與一元一次方程聯(lián)系在一起，方程的解就是函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。）

例2 函數(shù)：y=kx+b（k≠0）的圖像如圖1所示，則kx+b＞0的解集為（）。