江蘇省高郵中學(xué) 朱 俊

凝視不動量，探究導(dǎo)數(shù)問題中的“變”與“不變”

江蘇省高郵中學(xué) 朱 俊

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值進(jìn)而求最值，再通過最值解決數(shù)學(xué)中的其他問題，是高考中的一種常見題型。導(dǎo)數(shù)問題中的“變”一般變的是函數(shù)表達(dá)式中的常數(shù)字母，它是相對于自變量而言的常數(shù)，但又是變化著的常數(shù)，它的變化會影響函數(shù)式，使函數(shù)式具有不同的性質(zhì)和特征；“不變”指的是字母、參量變化過程中的不變性質(zhì)，或者是不變的函數(shù)值，盡管參量字母變化時，函數(shù)性質(zhì)發(fā)生了質(zhì)的改變，但還是有某些“性質(zhì)點”是不變的，而這些“不變”的條件很有可能是我們解決問題的突破口。在實際解題中，很多時候我們不一定非要通過復(fù)雜的討論和運算，才能弄清楚參量和函數(shù)的關(guān)系，適時地觀察、猜想和驗證能夠幫助我們得到一些必需的隱含條件，從而進(jìn)一步完善和優(yōu)化解題過程，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性，給我們柳暗花明又一村的感覺。

點評：本題為試卷最后一道大題的第二問，難度中等，審題過程中是一個非常重要的切入口，表明對應(yīng)的就是函數(shù)的最小值點，并在討論的過程中抓住這一關(guān)鍵就能夠幫助我們舍棄很多不必要的討論和計算過程。因此，在拿到較復(fù)雜的函數(shù)式時，靜心凝視，抓住關(guān)鍵，或許能發(fā)現(xiàn)很多“變幻莫測”中的不變量，并因地制宜，克敵制勝。

點評：本題為試卷倒數(shù)第三道大題，重點考查了對導(dǎo)數(shù)這個工具的應(yīng)用和理解，但同時也注重了對個人能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查。先通過作差將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，遇到較復(fù)雜的導(dǎo)函數(shù)時應(yīng)平復(fù)心情，“靜心凝視”關(guān)鍵條件和數(shù)學(xué)表達(dá)式，不要忽視一些固有的、不變的性質(zhì)和信息，比如單調(diào)性、特殊值等，往往有意外收獲。

點評：本題為一道填空題，因為不需要嚴(yán)格的論證過程，因此選擇數(shù)形結(jié)合，借助圖像來尋找答案。通過導(dǎo)函數(shù)來刻畫未知復(fù)雜函數(shù)圖象是一種非常常見和典型的填空題型，單調(diào)性和支撐點是畫圖的關(guān)鍵，如果導(dǎo)函數(shù)形式較為復(fù)雜，阻礙我們前進(jìn)，我們必須“靜心凝視”，發(fā)現(xiàn)并把握住圖形和導(dǎo)函數(shù)的固有特征，找到這樣一個突破口，再結(jié)合左增右減，得到大致圖像，下面就迎刃而解了。

[1]劉玉娟．從觀察中發(fā)現(xiàn)——解導(dǎo)數(shù)綜合題的銳利工具[J]．文理導(dǎo)航，2011（1）：40-40．

[2]徐進(jìn)勇．觀察法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用創(chuàng)作說明[J]．?dāng)?shù)學(xué)微課1009，2015-2-18．