江蘇省泰興中等專業(yè)學(xué)校 朱 芹

關(guān)于曲線拐點(diǎn)定義的比較分析

江蘇省泰興中等專業(yè)學(xué)校 朱 芹

對拐點(diǎn)的幾種定義進(jìn)行了比較分析。

拐點(diǎn)；定義；導(dǎo)數(shù)；凹凸性

曲線的拐點(diǎn)是微積分中的一個(gè)重要概念，但許多教材中關(guān)于拐點(diǎn)的定義并不一致，有些文獻(xiàn)對此觀點(diǎn)不一，分歧還較大，本文對拐點(diǎn)的幾種定義逐一進(jìn)行辨析。

一、拐點(diǎn)的定義

1．教材中關(guān)于拐點(diǎn)的第一種定義

同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編《高等數(shù)學(xué)》（第五版）：“一般地，設(shè)在區(qū)間I上連續(xù)，是I的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線在經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，曲線的凹凸性改變了，那么就稱是這曲線的拐點(diǎn)?！?/p>

上述兩個(gè)定義是一致的，都著重于拐點(diǎn)的幾何特性，即在拐點(diǎn)左右近旁一側(cè)為凹，另一側(cè)為凸，而對拐點(diǎn)處本身只要求連續(xù)，對其可導(dǎo)性、是否存在切線并不作要求。

2．教材中關(guān)于拐點(diǎn)的第二種定義

3．教材中關(guān)于拐點(diǎn)的第三種定義

在第三種定義中，一個(gè)點(diǎn)是拐點(diǎn)的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)處必須可導(dǎo)（切線存在，但不是垂直切線）。

焦曙光所著《拐點(diǎn)的定義及拐點(diǎn)與極端點(diǎn)的不重合性》一文中沿用了《辭?！罚?989年版）中拐點(diǎn)的定義：“拐點(diǎn)，亦稱扭轉(zhuǎn)點(diǎn)。當(dāng)光滑曲線在其上一點(diǎn)P的附近落在曲線在該點(diǎn)的切線兩旁時(shí)，稱點(diǎn)P為曲線的拐點(diǎn)。曲線在拐點(diǎn)的一旁為凹，在另一旁為凸?！痹谶@個(gè)定義中“光滑曲線”成為曲線拐點(diǎn)存在的必要條件，由此本文認(rèn)定拐點(diǎn)的第一種定義不嚴(yán)密，并修改為“光滑曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)”。

4．拐點(diǎn)三種定義的比較分析

以上拐點(diǎn)的三種定義，對拐點(diǎn)都有共性認(rèn)識(shí)：（1）曲線在拐點(diǎn)處連續(xù)；（2）拐點(diǎn)是曲線凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)；（3）函數(shù)在拐點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。分歧之處在于對拐點(diǎn)這一點(diǎn)的條件限制各不相同：①不要求拐點(diǎn)處存在切線；②在拐點(diǎn)處必須存在切線，即拐點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)有限或?yàn)闊o窮大；③函數(shù)在拐點(diǎn)處必須可導(dǎo)。自①至③對拐點(diǎn)處的限制條件逐步增強(qiáng)。

這三種定義見諸于眾多的數(shù)學(xué)教材教參中，呈混亂之態(tài)，讓學(xué)生在對有關(guān)命題進(jìn)行判斷時(shí)感到無所適從，如“函數(shù)的極值點(diǎn)一定不是該函數(shù)曲線的拐點(diǎn)，拐點(diǎn)也一定不是函數(shù)的極值點(diǎn)”，不同定義背景下該命題的真值是不一樣的。即便在同一本教參中，也有對拐點(diǎn)定義認(rèn)識(shí)不到位而造成結(jié)論的矛盾，趙振海所著《關(guān)于拐點(diǎn)的定義》中列舉了《新編高等數(shù)學(xué)題解》（上冊）中的一個(gè)例子：“判斷：①拐點(diǎn)與極值點(diǎn)不能在同一點(diǎn)取到（√）；②若為拐點(diǎn)，則在處曲線必有切線（×）?！奔热徽J(rèn)定②為假命題，應(yīng)該依據(jù)的是拐點(diǎn)的第一種定義，在此定義下①也應(yīng)該是假命題。

拐點(diǎn)定義的混亂之態(tài)由此可見一斑，對拐點(diǎn)建立統(tǒng)一的定義顯得十分必要。當(dāng)然，以上三種定義并不一定要如作者焦曙光所述去做孰對孰錯(cuò)之分，概念的不同主要源于產(chǎn)生的背景和原因各異。本文以為第一種定義很好地刻畫了拐點(diǎn)的幾何特性，至于拐點(diǎn)處是否存在有限導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)為無窮大，只是描述了拐點(diǎn)橫坐標(biāo)的數(shù)值分析特性，而拐點(diǎn)在曲線描繪中所起的關(guān)鍵作用還在于其是“凹凸區(qū)間分界點(diǎn)”這一幾何特性，從這個(gè)角度看采用第一種定義為宜，并可簡述為“連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)”。

依據(jù)這個(gè)定義，可以得到關(guān)于拐點(diǎn)的幾個(gè)結(jié)論：

1.曲線在拐點(diǎn)處可能沒有切線，曲線的拐點(diǎn)和極值點(diǎn)可能是同一點(diǎn)；

2.若曲線在某點(diǎn)存在切線，則該點(diǎn)不可能同為拐點(diǎn)和極值點(diǎn)。

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（上冊，第五版）[M]．北京：高等教育出版社，2002：149．

[3]華東師范大學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)分析（上）[M]．北京：高等教育出版社，1990．

[4]B．A．卓里奇．?dāng)?shù)學(xué)分析（第一卷，第4版）[M]．北京：高等教育出版社,2006：222．

[5]劉玉璉，傅沛仁，林玎等．?dāng)?shù)學(xué)分析講義（上冊，第四版）[M]．北京：高等教育出版社，2003：265．

[6]焦曙光．拐點(diǎn)的定義及拐點(diǎn)與極值點(diǎn)的不重合性[J]．工科數(shù)學(xué)，2002（3）：87-89．

[7]趙振海．關(guān)于拐點(diǎn)的定義[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2002（3）：25-26．

[8]梁開福．極值點(diǎn)與拐點(diǎn)關(guān)系的研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)理論與應(yīng)用，1999（4）：30-31．