江蘇省泰興中等專業(yè)學(xué)校 朱 芹
關(guān)于曲線拐點(diǎn)定義的比較分析
江蘇省泰興中等專業(yè)學(xué)校 朱 芹
對拐點(diǎn)的幾種定義進(jìn)行了比較分析。
拐點(diǎn);定義;導(dǎo)數(shù);凹凸性
曲線的拐點(diǎn)是微積分中的一個(gè)重要概念,但許多教材中關(guān)于拐點(diǎn)的定義并不一致,有些文獻(xiàn)對此觀點(diǎn)不一,分歧還較大,本文對拐點(diǎn)的幾種定義逐一進(jìn)行辨析。
1.教材中關(guān)于拐點(diǎn)的第一種定義
同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編《高等數(shù)學(xué)》(第五版):“一般地,設(shè)在區(qū)間I上連續(xù),是I的內(nèi)點(diǎn),如果曲線在經(jīng)過點(diǎn)時(shí),曲線的凹凸性改變了,那么就稱是這曲線的拐點(diǎn)?!?/p>
上述兩個(gè)定義是一致的,都著重于拐點(diǎn)的幾何特性,即在拐點(diǎn)左右近旁一側(cè)為凹,另一側(cè)為凸,而對拐點(diǎn)處本身只要求連續(xù),對其可導(dǎo)性、是否存在切線并不作要求。
2.教材中關(guān)于拐點(diǎn)的第二種定義
3.教材中關(guān)于拐點(diǎn)的第三種定義
在第三種定義中,一個(gè)點(diǎn)是拐點(diǎn)的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)處必須可導(dǎo)(切線存在,但不是垂直切線)。
焦曙光所著《拐點(diǎn)的定義及拐點(diǎn)與極端點(diǎn)的不重合性》一文中沿用了《辭?!罚?989年版)中拐點(diǎn)的定義:“拐點(diǎn),亦稱扭轉(zhuǎn)點(diǎn)。當(dāng)光滑曲線在其上一點(diǎn)P的附近落在曲線在該點(diǎn)的切線兩旁時(shí),稱點(diǎn)P為曲線的拐點(diǎn)。曲線在拐點(diǎn)的一旁為凹,在另一旁為凸?!痹谶@個(gè)定義中“光滑曲線”成為曲線拐點(diǎn)存在的必要條件,由此本文認(rèn)定拐點(diǎn)的第一種定義不嚴(yán)密,并修改為“光滑曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)”。
4.拐點(diǎn)三種定義的比較分析
以上拐點(diǎn)的三種定義,對拐點(diǎn)都有共性認(rèn)識(shí):(1)曲線在拐點(diǎn)處連續(xù);(2)拐點(diǎn)是曲線凹凸區(qū)間的分界點(diǎn);(3)函數(shù)在拐點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。分歧之處在于對拐點(diǎn)這一點(diǎn)的條件限制各不相同:①不要求拐點(diǎn)處存在切線;②在拐點(diǎn)處必須存在切線,即拐點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)有限或?yàn)闊o窮大;③函數(shù)在拐點(diǎn)處必須可導(dǎo)。自①至③對拐點(diǎn)處的限制條件逐步增強(qiáng)。
這三種定義見諸于眾多的數(shù)學(xué)教材教參中,呈混亂之態(tài),讓學(xué)生在對有關(guān)命題進(jìn)行判斷時(shí)感到無所適從,如“函數(shù)的極值點(diǎn)一定不是該函數(shù)曲線的拐點(diǎn),拐點(diǎn)也一定不是函數(shù)的極值點(diǎn)”,不同定義背景下該命題的真值是不一樣的。即便在同一本教參中,也有對拐點(diǎn)定義認(rèn)識(shí)不到位而造成結(jié)論的矛盾,趙振海所著《關(guān)于拐點(diǎn)的定義》中列舉了《新編高等數(shù)學(xué)題解》(上冊)中的一個(gè)例子:“判斷:①拐點(diǎn)與極值點(diǎn)不能在同一點(diǎn)取到(√);②若為拐點(diǎn),則在處曲線必有切線(×)?!奔热徽J(rèn)定②為假命題,應(yīng)該依據(jù)的是拐點(diǎn)的第一種定義,在此定義下①也應(yīng)該是假命題。
拐點(diǎn)定義的混亂之態(tài)由此可見一斑,對拐點(diǎn)建立統(tǒng)一的定義顯得十分必要。當(dāng)然,以上三種定義并不一定要如作者焦曙光所述去做孰對孰錯(cuò)之分,概念的不同主要源于產(chǎn)生的背景和原因各異。本文以為第一種定義很好地刻畫了拐點(diǎn)的幾何特性,至于拐點(diǎn)處是否存在有限導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)為無窮大,只是描述了拐點(diǎn)橫坐標(biāo)的數(shù)值分析特性,而拐點(diǎn)在曲線描繪中所起的關(guān)鍵作用還在于其是“凹凸區(qū)間分界點(diǎn)”這一幾何特性,從這個(gè)角度看采用第一種定義為宜,并可簡述為“連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)”。
依據(jù)這個(gè)定義,可以得到關(guān)于拐點(diǎn)的幾個(gè)結(jié)論:
1.曲線在拐點(diǎn)處可能沒有切線,曲線的拐點(diǎn)和極值點(diǎn)可能是同一點(diǎn);
2.若曲線在某點(diǎn)存在切線,則該點(diǎn)不可能同為拐點(diǎn)和極值點(diǎn)。
[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊,第五版)[M].北京:高等教育出版社,2002:149.
[3]華東師范大學(xué).?dāng)?shù)學(xué)分析(上)[M].北京:高等教育出版社,1990.
[4]B.A.卓里奇.?dāng)?shù)學(xué)分析(第一卷,第4版)[M].北京:高等教育出版社,2006:222.
[5]劉玉璉,傅沛仁,林玎等.?dāng)?shù)學(xué)分析講義(上冊,第四版)[M].北京:高等教育出版社,2003:265.
[6]焦曙光.拐點(diǎn)的定義及拐點(diǎn)與極值點(diǎn)的不重合性[J].工科數(shù)學(xué),2002(3):87-89.
[7]趙振海.關(guān)于拐點(diǎn)的定義[J].高等數(shù)學(xué)研究,2002(3):25-26.
[8]梁開福.極值點(diǎn)與拐點(diǎn)關(guān)系的研究[J].?dāng)?shù)學(xué)理論與應(yīng)用,1999(4):30-31.