劉小佑 許友軍 鄭玉軍

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碩士生《泛函分析》課程教學(xué)的幾點(diǎn)建議

劉小佑1許友軍1鄭玉軍2

（1.南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，湖南 衡陽 421001；2.湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199）

《泛函分析》是數(shù)學(xué)類碩士生的一門非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程。論文從科研經(jīng)歷及教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，就地方工科類本科高校中應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士生的《泛函分析》課程教學(xué)進(jìn)行了討論，并提出了幾點(diǎn)有利于提高該課程教學(xué)效果的建議。

泛函分析；專業(yè)基礎(chǔ)課；教學(xué)改革

1　引　言

泛函分析是從變分法、積分方程、微分方程、逼近論和理論物理的研究中發(fā)展起來的一個數(shù)學(xué)分支。它綜合地運(yùn)用分析、代數(shù)和幾何的方法，研究無窮維線性拓?fù)淇臻g和這類空間之間的各種映射的一般性質(zhì)[1]。作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，泛函分析在20世紀(jì)四五十年代就已經(jīng)成為一門理論完備、內(nèi)容豐富的學(xué)科。在其發(fā)展的過程中，它與其他學(xué)科相互滲透，廣泛應(yīng)用于幾何、拓?fù)洹⑽⒎址匠?、?jì)算數(shù)學(xué)、最優(yōu)化理論等數(shù)學(xué)分支中，還廣泛應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子場論以及工程技術(shù)等諸多專業(yè)領(lǐng)域。因此泛函分析被當(dāng)今科學(xué)界喻為“20世紀(jì)的微積分”?？紤]到其具有如此的重要性，有關(guān)泛函分析的相關(guān)課程自然成為高校數(shù)學(xué)系本科生和數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的學(xué)位基礎(chǔ)課程之一。其實(shí)自從上世紀(jì)五十年代以來，泛函分析就一直是世界各國高校數(shù)學(xué)系學(xué)生必修的一門非常重要的基礎(chǔ)課程。

泛函分析課程內(nèi)容的高度抽象化使得學(xué)生在學(xué)習(xí)它的過程中感到很難，另一方面老師在教的時候有時也會感到難于表達(dá)自己的內(nèi)心想法。這兩方面的原因?qū)е逻@門課程的教學(xué)效果通常很難讓人滿意。有鑒于此，為了提高該課程的教學(xué)效果，高校從事該課程教學(xué)的許多一線教師都對該課程的學(xué)與教進(jìn)行了研究，并在有些方面給出了積極的教學(xué)建議[2-6]。

2　現(xiàn)狀分析

在本小節(jié)，作者以南華大學(xué)最近幾年的實(shí)際情況為基礎(chǔ)，并在調(diào)研了幾所同級別的地方工科類本科高校后，指出了目前地方工科類高校中數(shù)學(xué)碩士生泛函分析課程教學(xué)中所面臨的一些問題。這些問題主要體現(xiàn)在以下幾個方面：一、招生規(guī)模相對較小（通常學(xué)生人數(shù)在幾個到十幾個左右）；二、課程教學(xué)課時數(shù)相對較少；三、教學(xué)方式相對單一，主要是傳統(tǒng)的黑板講授方式；四、不同于國家重點(diǎn)高校，地方高校師資力量和生源質(zhì)量相對較弱。以上這些不足導(dǎo)致一些在別的學(xué)校可行的教學(xué)方式或方法在該類高校中不具有可行性，比如分組討論、研討式教學(xué)等等。正因?yàn)槿绱?，我們不能一味地照搬其它高校的成熟的教學(xué)方法，而是應(yīng)探索符合本校校情的教學(xué)方法。

3　教學(xué)建議

作為數(shù)學(xué)類碩士生必修的專業(yè)基礎(chǔ)課程之一，課程泛函分析在學(xué)生的培養(yǎng)過程中其重要性不言而喻。在某種意義上可以說，泛函分析教學(xué)效果的好壞直接關(guān)系到學(xué)生科研能力的培養(yǎng)以及學(xué)生將來繼續(xù)深造的競爭力。

在這一小節(jié)，針對上面提到的目前我們在該課程教學(xué)中所存在的問題，我們將以最近幾年來該課程的教學(xué)實(shí)踐為基礎(chǔ)，對如何提高泛函分析課程的教學(xué)效果提出以下幾點(diǎn)建議。我們的教學(xué)實(shí)踐表明，這些建議是有效的。至少能提高學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣，并且能讓學(xué)生不懼怕該課程。下面逐條說明。

3.1教學(xué)內(nèi)容的選擇

由于部分學(xué)生是相近專業(yè)調(diào)劑過來的，雖然也有部分本科是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，但其所在的學(xué)校只開設(shè)了64學(xué)時的《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程，而不是用足夠的課時開設(shè)《實(shí)變函數(shù)》和《泛函分析》這兩門課程。這在一定程度上導(dǎo)致部分學(xué)生的泛函分析基礎(chǔ)較薄弱，而且學(xué)生入學(xué)時水平參差不齊。鑒于這種情況，我們在選擇教學(xué)內(nèi)容的時候就不能偏難以防不利于基礎(chǔ)相對較差的學(xué)生學(xué)習(xí)。但反過來也不能太容易，比如選擇過多的與本科內(nèi)容重復(fù)的東西放在教學(xué)計(jì)劃里，這會讓基礎(chǔ)較好的學(xué)生覺得乏味。在這個方面，文獻(xiàn)[1]相對來說做得比較好，其內(nèi)容難易適中。另外，對于那些幾乎沒有泛函基礎(chǔ)的學(xué)生，我們則可以在學(xué)生復(fù)試確認(rèn)可被錄取后，就給他們推薦本科泛函分析教材以供其自己在假期間學(xué)習(xí)。這樣做有利于這部分學(xué)生在開學(xué)時跟上進(jìn)度。

3.2將多媒體應(yīng)用到教學(xué)中來

在我們自己還是學(xué)生的時候，我們的老師就是利用粉筆與黑板的傳統(tǒng)方式給我們講解該課程。當(dāng)時感覺上課的老師很辛苦，老師幾乎是一直講個不停，黑板也是寫滿了擦，擦了再寫滿，如此往復(fù)很多次。眾所周知，該課程的教學(xué)中充滿了很多定義、以及定理的推導(dǎo)，很多內(nèi)容不得不書寫出來。如果只用傳統(tǒng)板書式教學(xué)，很難做到在有限的時間里兼顧好講與寫，并且還要注意到不影響教學(xué)進(jìn)度的問題。最近幾年來，多媒體教學(xué)已經(jīng)廣泛走進(jìn)了校園。大學(xué)里的教室?guī)缀醵寂溆卸嗝襟w系統(tǒng)，這是因?yàn)槎嗝襟w的應(yīng)用可以加強(qiáng)教學(xué)的生動性和直觀性。在此我們可以先把一些重要的定義、定理以及定理證明過程中的關(guān)鍵步驟提前做好PPT，另外針對一些幾何性質(zhì)較強(qiáng)的內(nèi)容，也可以提前利用數(shù)學(xué)繪圖軟件繪制好一些示意圖。這樣在正式上課時，可以通過放PPT節(jié)約大量原本用于做抄寫工作的板書時間，從而我們可以有更多的時間放在重點(diǎn)的講解上。另外一些示意圖的展示也利于學(xué)生理解抽象的空間或一些映射之間的關(guān)系。

3.3重視定理證明的講解

泛函分析中有許多重要的數(shù)學(xué)思想。由于它具有較高的抽象性，該課程中的許多重要數(shù)學(xué)思想可以應(yīng)用到其它數(shù)學(xué)問題當(dāng)中去。該課程中有很多的構(gòu)造性證明以及一些特別巧妙的證明方法。對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生來說，這些思想方法在一定的意義上講才是我們真正要學(xué)習(xí)的東西。定理證明過程的掌握，反過來有利于學(xué)生真正理解定理的內(nèi)含，特別是定理成立的條件和適用的范圍。

3.4提倡閱讀經(jīng)典英語原版參考書

對于近現(xiàn)代數(shù)學(xué)，實(shí)話實(shí)說國外大部分的研究走在我國的前面。另外有研究表明，中西方人在看待某些問題時的角度有時會有差異。試想體會不同作者對同一問題的不同描述，肯定在一定程度上有利于開闊我們自己的視野并加深對該問題的理解。其次，對外文教材的閱讀也有利于提高學(xué)生在高年級時對英語文獻(xiàn)的閱讀能力。特別是那些有志于攻讀數(shù)學(xué)博士學(xué)位的學(xué)生來說，具有較好的英語文獻(xiàn)的閱讀能力是相當(dāng)重要的。文獻(xiàn)[7]就是一本相對不錯的碩士生泛函分析教材。

以上就是我們最近幾年來教學(xué)實(shí)踐中的一些體會。當(dāng)然影響泛函分析課程教學(xué)效果的因素是多樣的且復(fù)雜的。對于該課程的教學(xué)改革的要求也會隨著時代的變化而改變，因此對該課程的教學(xué)改革也將一直在路上。

4　總　結(jié)

在文章中，我們分析了地方工科類本科高校中應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士生泛函分析課程教學(xué)中所面臨的一些問題；并從我們的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)給出了一些有利于提高該課程教學(xué)效果的建議。我們希望這些建議可以為講授這門課程的教師提供一些有用的可供參考的意見。當(dāng)然最重要的還是我們應(yīng)該以自己學(xué)校的實(shí)際情況為最基本的出發(fā)點(diǎn)，以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并讓學(xué)生保持對知識的饑餓感為目的。用這樣的方式來設(shè)計(jì)該課程的教學(xué)，則其教學(xué)效果的提高自然是水到渠成。

[1]童裕孫.研究生教學(xué)用書:泛函分析教程(第二版)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2008.

[2]彭自嘉.民族院校《泛函分析》教學(xué)改革的探索與實(shí)踐[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,(1):94-96.

[3]李延保.在高等工科院校中開設(shè)應(yīng)用泛函分析基礎(chǔ)課的體會[J].大學(xué)數(shù)學(xué),1987,(1):32-35.

[4]劉小佑,許友軍.碩士生“泛函分析”課程教學(xué)改革的幾點(diǎn)思考[J].湘南學(xué)院學(xué)報(bào),2015,(5):69-71.

[5]謝永安,黃文韜.研究生《泛函分析》課程教學(xué)探討[J].信息系統(tǒng)工程,2010,(5):129-130.

[6]李鋒杰.碩士研究生泛函分析教學(xué)探索[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2008,(25):13.

[7] J.B.Conway.泛函分析教程(第二版)[M].北京:世界圖書出版公司,2003.

（責(zé)任編校：宮彥軍）

2016－10－04

南華大學(xué)學(xué)位與研究生教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號2015JG018）；湖南省普通高等學(xué)校教育教學(xué)改革項(xiàng)目（項(xiàng)目編號JG2014B048)。

劉小佑（1983－），男，湖南耒陽人，副教授，博士，研究方向?yàn)榉蔷€性偏微分方程。

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1673-2219（2017）06-0005-02