●廖生濤 (仙桃市教育科學(xué)研究院 湖北仙桃 433000)

基于課程標(biāo)準(zhǔn) 關(guān)注知識(shí)聯(lián)系
——對(duì)一道中考試題命制的回顧與反思

●廖生濤 (仙桃市教育科學(xué)研究院 湖北仙桃 433000)

綜合題是中考試卷中區(qū)分度較高的題型，多從知識(shí)的聯(lián)系與思想方法的運(yùn)用等角度考查學(xué)生的能力.一道綜合試題的命制，大致需要經(jīng)歷確定思路、學(xué)習(xí)借鑒、基于角色互換的打磨等過(guò)程.了解綜合題的命制過(guò)程，有利于改善例、習(xí)題的教學(xué)方式.

代數(shù)綜合；命題過(guò)程；考試效度

湖北省仙桃市、潛江市、天門市和江漢油田多年來(lái)堅(jiān)持中考聯(lián)合命題，試卷被稱為“三市一企”卷或江漢卷.筆者作為2016年江漢卷數(shù)學(xué)命題組成員之一，負(fù)責(zé)了其中一道代數(shù)綜合題的命制，現(xiàn)將該題命制時(shí)的所思所想與各位同行分享.

1 試題及解答

圖1

2)若拋物線C2的頂點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，求p的值及拋物線C2的解析式；

3)若直線l沿y軸向下平移q個(gè)單位長(zhǎng)度后與第2)小題中的拋物線C2存在公共點(diǎn)，求3-4q的最大值.

解 1)-2

p=2-(-2)=4.

因?yàn)閽佄锞€C2與拋物線C1開口大小相同，開口方向相反，所以拋物線C2的解析式為

3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,2)，把點(diǎn)M,N的坐標(biāo)代入y=kx+b，可得

3x2-6x+8-2q=0,

從而

Δ=(-6)2-4×3×(8-2q)≥0,

解得

2 試題命制過(guò)程

2.1 根據(jù)雙向細(xì)目表，確定命題思路

根據(jù)《考試說(shuō)明》，命題組制定了雙向細(xì)目表，對(duì)本題的基本定位是：在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域進(jìn)行知識(shí)的適度綜合，著眼于初、高中數(shù)學(xué)知識(shí)銜接，立足思維價(jià)值的高度設(shè)置問(wèn)題情境，以區(qū)分不同學(xué)習(xí)水平層次的學(xué)生.方程、函數(shù)與不等式是中學(xué)階段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的核心知識(shí)，關(guān)注學(xué)生可持續(xù)發(fā)展，與初、高中思維方式的銜接，本題的命題思路確定為：以二次函數(shù)為載體，檢測(cè)學(xué)生對(duì)所學(xué)過(guò)知識(shí)(函數(shù)、方程及不等式)之間關(guān)聯(lián)的理解能力， 凸顯對(duì)數(shù)形結(jié)合、模型等數(shù)學(xué)思想的考查[1].

2.2 學(xué)習(xí)借鑒，命制初稿

正所謂“他山之石，可以攻玉” .筆者廣泛查找近幾年各地中考試卷中類似的考題，認(rèn)真分析其解答，就考查的知識(shí)點(diǎn)及考查方式選定了2道參照試題.

圖2

例1 拋物線y1=ax2+bx+c(其中a≠0)圖像的一部分如圖2所示，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1，3)，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(4，0)，直線y2=mx+n(其中m≠0)與拋物線交于點(diǎn)A，B，下列結(jié)論：① 2a+b=0；②abc>0；③方程ax2+bx+c=3有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(-1，0)；⑤當(dāng)1

( ).

A.①②③ B.①③④

C.①③⑤ D.②④⑤

(2015年山東省日照市數(shù)學(xué)中考試題第12題)

1)求二次函數(shù)的解析式.

2)若一次函數(shù)y=kx+6的圖像與二次函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3，m)，求m和k的值.

3)設(shè)二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)B，C(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè))，將二次函數(shù)的圖像在點(diǎn)B，C間的部分(含點(diǎn)B和點(diǎn)C)向左平移n(其中n>0)個(gè)單位后得到的圖像記為G，同時(shí)將第2)小題中得到的直線y=kx+6向上平移n個(gè)單位.請(qǐng)結(jié)合圖像回答：當(dāng)平移后的直線與圖像G有公共點(diǎn)時(shí)，n的取值范圍.

(2012年北京市數(shù)學(xué)中考試題第23題)

例1綜合考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，結(jié)論⑤要求利用圖像直接判斷給定區(qū)間內(nèi)2個(gè)函數(shù)值的大小，以圖像法、數(shù)形結(jié)合思想等函數(shù)核心內(nèi)容為靶向.例2以待定系數(shù)法、拋物線的對(duì)稱性、圖像在坐標(biāo)系內(nèi)的變換為考查內(nèi)容，將直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題作為甄別點(diǎn)，以中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系、思維方式的銜接、學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)能力為靶向.通過(guò)學(xué)習(xí)借鑒，筆者將二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，以圖像法解不等式、坐標(biāo)系內(nèi)圖像變換、一元二次方程根的判別式與圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系為考查內(nèi)容，命制了如下初稿：

2)求拋物線C2的解析式；

3)若直線l向右平移q個(gè)單位長(zhǎng)度后與第2)小題中拋物線C2存在公共點(diǎn)，求6q-5的最小值.

2.3 研讀課標(biāo)與教材，精心打磨試題

體現(xiàn)區(qū)分度的試題面向的是學(xué)有余力的學(xué)生，但是也只能是適度拔高，考查的知識(shí)點(diǎn)要在課本上找到源頭、看到影子.為確保試題具有良好的檢測(cè)功能及教學(xué)導(dǎo)向功能，筆者認(rèn)真研讀了《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和要求，以及本地使用的人教版教材對(duì)該知識(shí)的呈現(xiàn)方式，對(duì)試題作了2次大的調(diào)整.

對(duì)于二次函數(shù)圖像在坐標(biāo)系內(nèi)的變換，課本例題直接呈現(xiàn)的是y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k之間的關(guān)系，揭示二次項(xiàng)系數(shù)相同的二次函數(shù)圖像可通過(guò)平移互相轉(zhuǎn)化[2].在習(xí)題中有意識(shí)地引導(dǎo)部分學(xué)有余力的學(xué)生，通過(guò)比較y=ax2與y=-ax2圖像之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到通過(guò)以x軸為對(duì)稱軸作變換可相互得到.因此，筆者認(rèn)為將拋物線以原點(diǎn)為中心作對(duì)稱變換要求過(guò)高，于是將試題作了第1次修改，對(duì)題干及第2)小題的表述作如下變化：

1)略;

2)若拋物線C2的頂點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，求p的值及拋物線C2的解析式;

3)略.

再次審視試題，對(duì)于第3)小題中直線l的平移，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的平移時(shí)，我們往往只對(duì)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)作了定量分析，而對(duì)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)沒(méi)有具體要求.考慮到大多數(shù)學(xué)生解決此問(wèn)題時(shí)，勢(shì)必要有一次轉(zhuǎn)換，使得解題過(guò)程較為繁瑣，因此將直線運(yùn)動(dòng)的參照物由x軸改為y軸，簡(jiǎn)化運(yùn)算，適當(dāng)增加由一次函數(shù)性質(zhì)求最大值，試題難度保持不變.這樣試題第3)小題如文首所示.

3 試題測(cè)試效度

從試題的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)看，第1)～3)小題的難度系數(shù)分別為0.92，0.76，0.17，試題的整體難度系數(shù)為0.37，區(qū)分度為0.80，是一道難度合適、區(qū)分度合適的綜合題，較好地起到了檢測(cè)與甄別的作用.

從考生答卷分析，圖像法解不等式普遍完成較好，確定拋物線C2的解析式有頂點(diǎn)式和一般式的不同解法出現(xiàn).值得一提的是，在求3-4q的最大值時(shí)，出現(xiàn)了參考答案預(yù)設(shè)之外的解法：

-6x2-12x-13=3-4q.

當(dāng)x=-1時(shí)，-6x2-12x-13有最大值為-7，故3-4q的最大值為-7.

答題過(guò)程中，學(xué)生的主要錯(cuò)誤有：1)求p的值及拋物線C2的解析式，沒(méi)有將拋物線C1轉(zhuǎn)換成y=a(x-h)2+k形式后，根據(jù)翻折確定a，h，k的值，不能得出正確結(jié)論；2)部分考生錯(cuò)誤理解為：當(dāng)直線l向下平移到過(guò)拋物線C2的頂點(diǎn)時(shí)，3-4q取到最大值．

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要強(qiáng)化學(xué)科的整體性，教學(xué)中要善于幫助學(xué)生理解知識(shí)之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系.中考試題的選拔功能與教學(xué)導(dǎo)向功能兼而有之，應(yīng)堅(jiān)持以基礎(chǔ)知識(shí)的交匯處、思想方法的交織處和能力層次的交叉處為著眼點(diǎn)，以初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)為載體，考查學(xué)生的學(xué)科能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M] .北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 林群.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)(9年級(jí)上冊(cè))[M].北京：人民教育出版社，2014.

2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

3)如果α∥β，m?α，那么m∥β；

4)如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.

其中正確的命題有______(請(qǐng)?zhí)顚懰姓_命題的編號(hào)).

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

分析 對(duì)于命題1)，滿足條件的2個(gè)平面α和β還可能平行或相交，因此命題1)錯(cuò)誤；對(duì)于命題2)，由n∥α可知在平面α內(nèi)至少存在1條與n平行的直線,即n∥l，則由m⊥α知m⊥l,從而m⊥n，因此命題2)正確；對(duì)于命題3)，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理知命題正確；對(duì)于命題4)，因?yàn)閙∥n，所以m,n與平面α所成的角相等，與平面β所成的角也相等，又由α∥β知這4個(gè)角相等，因此正確.故答案為2),3),4).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線面位置關(guān)系.辨析空間直線、平面間的平行或垂直關(guān)系，此類問(wèn)題的解答可從3個(gè)方面考慮：1)以周圍實(shí)物(如教室、書桌)為載體，構(gòu)造相應(yīng)的線、面，利用排除法確定試題的答案；2)聯(lián)系所學(xué)過(guò)的公理、定理、定義、推論，通過(guò)比較條件與結(jié)論進(jìn)行判斷；3)聯(lián)想相關(guān)的幾何體，如正方體、正四面體等，將所給的直線與平面間關(guān)系置于這些幾何體中進(jìn)行觀察與判斷.

2 三視圖問(wèn)題

圖1

例2 如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為

( )

C.90 D.81

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

分析 解決本題的關(guān)鍵是將所給的三視圖還原為空間幾何體，由所給的三視圖可知該幾何體是斜四棱柱.

故選B.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于給出幾何體的三視圖，求其體積或表面積的題目,關(guān)鍵在于要還原出空間幾何體，并能根據(jù)三視圖的有關(guān)數(shù)據(jù)和形狀推斷出空間幾何體的線面關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)，至于體積或表面積的求解套用對(duì)應(yīng)公式即可.高考命題主要有以下幾種形式：從幾何體到三視圖、從三視圖到幾何體、從三視圖到證明計(jì)算.

3 組合體的“接”“切”問(wèn)題

例3 在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是

( )

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題第1題)

分析 在Rt△ABC中，由AB⊥BC，AB=6，BC=8,得AC=10，故Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑為

故選B.

點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵是求出球的半徑.解答本題特別要注意該三棱柱的底面內(nèi)切圓的直徑與高的關(guān)系，若忽視這一點(diǎn)，容易把球看作該三棱柱的內(nèi)切球，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論.

4 空間位置關(guān)系證明以及空間角、體積等計(jì)算

例4 如圖2，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°．

1)證明:平面ABEF⊥平面EFDC；

2)求二面角E-BC-A的余弦值．

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

圖2 圖3

分析 1)證明面面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，由已知條件可得AF⊥EF，AF⊥DF,從而由面面垂直的判定定理可證.2)如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥EF交EF于點(diǎn)G，以G為原點(diǎn)、分別以射線GF,GD為x,z軸的正半軸、以過(guò)G與AF平行的直線為y軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,從而確定各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面BCE與平面ABCD的法向量，接著求出法向量夾角的余弦值，最終求出二面角的余弦值.

證明 1)由已知條件可得AF⊥EF，AF⊥DF.因?yàn)镈F∩EF=F，所以AF⊥平面EFDC，又AF?平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.

設(shè)平面BCE的法向量為m=(x1,y1,z1)，平面ABCD的法向量為n=(x2,y2,z2).由

得

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系證明以及求二面角.在解決空間距離與空間角問(wèn)題時(shí)，有時(shí)可以采用幾何法，有時(shí)可以采用向量法，可以結(jié)合題目的條件加以選擇.而往往采用向量法解決問(wèn)題時(shí)思路比較簡(jiǎn)單，是常用的方法，但是要會(huì)根據(jù)題意建立合適的坐標(biāo)系.

5 翻折問(wèn)題

1)證明：D′H⊥平面ABCD；

2)求二面角B-D′A-C的正弦值.

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

圖4 圖5

分析 1)要證明D′H⊥平面ABCD，可轉(zhuǎn)化為證明D′H⊥EF和D′H⊥OH.而D′H⊥EF可由菱形的性質(zhì)證明，D′H⊥OH可根據(jù)條件利用勾股定理計(jì)算證明.

2)如圖5,以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)、以射線HF,HD,HD′分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過(guò)求平面ABD′和平面ACD′的法向量所成的角進(jìn)行求解.

OH=1,D′H=DH=3,

于是

D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,

故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，OH∩EF=H，因此D′H⊥平面ABCD.

2)如圖5，以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)、以射線HF,HD,HD′分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz，則

設(shè)平面ABD′的法向量為m=(x1,y1,z1)，平面ACD′的法向量為n=(x2,y2,z2).由

得

進(jìn)而

點(diǎn)評(píng) 將平面圖形折疊成立體圖形時(shí)，應(yīng)注意折疊前后哪些量發(fā)生了變化、哪些量沒(méi)有發(fā)生變化,特別應(yīng)注意尋找折疊前后沒(méi)有變化的量和關(guān)系.一般地，在翻折過(guò)程中，處于同一個(gè)半平面內(nèi)的元素是不變的，也即折疊前后始終位于折線的同側(cè)的幾何量和位置關(guān)系保持不變，這是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

6 探索存在性問(wèn)題

例6 如圖6，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F,M,N分別是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BB1上移動(dòng)，且DP=BQ=λ(其中0<λ<2).

1)當(dāng)λ=1時(shí)，證明：直線BC1∥平面EFPQ.

2)問(wèn)：是否存在λ，使平面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2014年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

圖6 圖7

1)證明 如圖7，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)、以射線DA，DC,DD1分別為x，y,z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.依題意得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,0,0),P(0,0,λ),則

于是可取n=(λ,-λ,1),同理可得平面PQMN的一個(gè)法向量為m=(λ-2,2-λ,1).

若存在λ,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角,則

m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,

即

λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0，

解得

點(diǎn)評(píng) 本題是運(yùn)用向量法求解，還可以運(yùn)用幾何法求解.運(yùn)用向量法求解的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用代數(shù)運(yùn)算求解.

7 作圖題

例7 如圖8，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E,F分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4.過(guò)點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.

1)在圖8中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫法和理由)；

2)求直線AF與平面α所成角的正弦值.

(2015年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

圖8 圖9

分析 1)結(jié)合圖形由面面平行性質(zhì)可作出所求的正方形.2)由第1)小題可知正方形的邊長(zhǎng)，然后求出各點(diǎn)的位置，通過(guò)建系將各點(diǎn)確定后，用空間向量的方法可求線面所成角的正弦值.

解 1)交線圍成的正方形EHGF如圖9所示.

2)作EM⊥AB，垂足為M,則

AM=A1E=4，EM=AA1=8.

因?yàn)樗倪呅蜤HGF是正方形，所以

EH=EF=BC=10，

從而

故

AH=10.

點(diǎn)評(píng) 近幾年的數(shù)學(xué)高考比較注重立體幾何性質(zhì)的應(yīng)用.本題新穎之處在于在立體幾何中作出一個(gè)正方形，實(shí)質(zhì)上是考查平行和垂直的基本性質(zhì)的應(yīng)用，而在求線線、線面、面面所成的角時(shí)，盡可能地將幾何問(wèn)題代數(shù)化運(yùn)算，以減少思維量.

8 與三視圖有關(guān)的綜合問(wèn)題

例8 四面體ABCD及其三視圖如圖10所示，過(guò)棱AB的中點(diǎn)E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD,DC,CA于點(diǎn)F,G,H.

1)證明：四邊形EFGH是矩形；

2)求直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值.

(2014年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

圖10 圖11

分析 在第1)小題中，先證明四邊形EFGH是平行四邊形，利用線面平行得出線線平行，便可以達(dá)到求證2組對(duì)邊分別平行的目的，即可得證四邊形EFGH是平行四邊形；再根據(jù)線線垂直得到線面垂直，從而得到EFGH中相鄰2邊垂直，最后證得EFGH是矩形.第2)小題建立合理的空間直角坐標(biāo)系，借助于空間向量來(lái)解決.線面角的正弦值，即為直線的方向向量與平面的法向量所成的余弦值的絕對(duì)值.關(guān)鍵是求平面的法向量，要先設(shè)出法向量，再根據(jù)法向量和平面內(nèi)的2個(gè)不共線向量的數(shù)量積分別為0求出法向量.

1)證明 由該四面體的三視圖可知：BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1.由題設(shè)，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，從而BC∥FG,BC∥EH,進(jìn)而FG∥EH.

同理可得EF∥AD，HG∥AD，從而EF∥HG，因此四邊形EFGH是平行四邊形.又AD⊥DC，AD⊥BD，從而AD⊥平面BDC，進(jìn)而AD⊥BC,因此EF⊥FG,故四邊形EFGH是矩形.

設(shè)平面EFGH的法向量為n=(x,y,z).因?yàn)镋F⊥AD,FG⊥BC,所以

從而

可取n=(1,1,0),于是

點(diǎn)評(píng) 與三視圖有關(guān)的綜合問(wèn)題的立體幾何大題在高考中屢屢出現(xiàn)，解決這類題的關(guān)鍵是先將所給的三視圖轉(zhuǎn)化為空間幾何體，然后用立體幾何的有關(guān)知識(shí)去解答.

2016-09-12；

2016-10-28作者簡(jiǎn)介：廖生濤(1971-)，男，湖北仙桃人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)02-38-03