張麗玉

華東師范大學數學系 (200241)

以退求進解答一道代數題*

張麗玉

華東師范大學數學系 (200241)

數學大師華羅庚曾說：“先足夠地退，退到我們容易看清楚問題的地方，看透了，鉆深了，然后再上去.這是學好數學的一個訣竅.”下面通過一道代數題的解答來說明以退求進的解題策略.

原題在14、24、34、…、20174之間用加減號連接，求能得到的最小的非負整數.

面對這么一道題，可能一時不知道如何動筆.我們可以問自己：“見過類似的，但稍簡單的題目嗎？”也許見過，也許沒見過.如果沒見過，我們又可以問自己：“我能對這道題目特殊化嗎？”比如次數小一些，比如項數少一些.下面我們就從較小次數出發(fā)，逐步解決原題.

鋪墊題一：在1、2、3、…、2017之間用加減號連接，求能得到的最小的非負整數.

這個非常簡單，易知每四個連續(xù)正整數用加減號連接可以得到0，這樣我們通過適當地添加加減號可以得到的最小的非負整數為1，比如1+2-3-4+5+6-7-8+9+…+2014-2015-2016+2017=1.

鋪墊題二：在12、22、32、…、20172之間用加減號連接，求能得到的最小的非負整數.

仿照鋪墊題一，四個連續(xù)正整數的平方用加減號連接還可以得到0嗎？驗證一下22-32-42+52=4.可惜了，未能得到0，但不要氣餒，接下來再驗證后面四個連續(xù)正整數的平方，62-72-82+92=4.這樣一來我們有 22-32-42+52-62+72+82-92=0.任意八個連續(xù)正整數的平方用加減號連接都可以得到0嗎？事實上，這個結論是正確的，證明如下：設n為第一個正整數，則n2-(n+1)2-(n+2)2+(n+3)2-(n+4)2+(n+5)2+(n+6)2-(n+7)2=0.由于2017被8除余1，于是我們保留12，其余的每八個湊成0，可以得到的最小的非負整數為1.

鋪墊題三：在13、23、33、…、20173之間用加減號連接，求能得到的最小的非負整數.

仿照鋪墊題二，我們首先驗證一些特殊情況，比如23-33-43+53-63+73+83-93=-48，103-113-123+133-143+153+163-173=-48，于是16個連續(xù)正整數的立方用加減號連接可以得到0.事實上任意16個連續(xù)正整數的立方用加減號連接都可以得到0.證明如下：設n為第一個正整數，則n3-(n+1)3-(n+2)3+(n+3)3-(n+4)3+(n+5)3+(n+6)3-(n+7)3=-48，(n+8)3-(n+9)3-(n+10)3+(n+11)3-(n+12)3+(n+13)3+(n+14)3-(n+15)3=-48，于是n3-(n+1)3-(n+2)3+(n+3)3-(n+4)3+(n+5)3+(n+6)3-(n+7)3-(n+8)3+(n+9)3+(n+10)3-(n+11)3+(n+12)3-(n+13)3-(n+14)3+(n+15)3=0.由于2017被16除余1，于是我們保留13，其余的每16個湊成0，可以得到的最小的非負整數為1.

下面我們可以向原題進攻了.我們可以大膽猜想每32個數可以湊成0.對n4-(n+1)4-(n+2)4+(n+3)4-(n+4)4+(n+5)4+(n+6)4-(n+7)4-(n+8)4+(n+9)4+(n+10)4-(n+11)4+(n+12)4-(n+13)4-(n+14)4+(n+15)4進行計算，經過耐心的計算可以得到結果為1536.這說明每16個數可以得到1536，從而每32個數可以得到0.由于2017被32除余1，于是我們保留14，其余的每32個湊成0，可以得到的最小的非負整數為1.

我們還可以趁勝追擊，對于5次方，每連續(xù)64個可以湊成0.事實上完全正確，這個我已經證明，過程略.對于6次方，猜想每連續(xù)128個可以湊成0，…，更一般的，對于k次方，猜想每連續(xù)2k+1個可以湊成0，這些有待于給出一般性的證明.

上海市核心數學與實踐重點實驗室課題(項目編號：13x2260400).作者為2014級博士生.