趙思迪 董冰冰 張 冰

(石家莊第二中學(xué) 河北 石家莊 050043)

一類時(shí)間和位移約束的變加(減)速運(yùn)動(dòng)問題的求解

趙思迪 董冰冰 張 冰

(石家莊第二中學(xué) 河北 石家莊 050043)

列車運(yùn)動(dòng)模型常分為單質(zhì)點(diǎn)和多質(zhì)點(diǎn)兩類，出于簡化問題目的，采用單質(zhì)點(diǎn)模型針對列車區(qū)間運(yùn)行控制問題中的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行了分析.列車的牽引和制動(dòng)力是列車運(yùn)行控制的輸入變量，而位移和速度是列車的狀態(tài)變量，狀態(tài)約束是線路限速和區(qū)間時(shí)間.首先根據(jù)最小能耗運(yùn)行策略確定列車運(yùn)行方式，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；其次，基于軟件Matlab數(shù)值求解列車距離--速度的關(guān)系，并繪制相應(yīng)計(jì)算曲線.

變加(減)速運(yùn)動(dòng) 時(shí)間和位移約束 列車區(qū)間運(yùn)行 分段函數(shù) 數(shù)值求解 Matlab編程

1 引言

在物理課程學(xué)習(xí)中，變加速運(yùn)動(dòng)占據(jù)重要的位置，特別是對變加(減)速運(yùn)動(dòng)時(shí)間、位移問題的求解.當(dāng)考慮運(yùn)動(dòng)物體受牽引力、空氣阻力和摩擦阻力等非線性力作用時(shí)，通過定量分析就顯得異常復(fù)雜，并且很難得到解析表達(dá)式.同時(shí)變速運(yùn)動(dòng)控制將是未來節(jié)能的關(guān)鍵所在.軌道交通是我國最常見的交通方式(如地鐵等)，其中的列車運(yùn)行是一種非常典型的變速運(yùn)動(dòng).列車在站間運(yùn)行時(shí)會(huì)根據(jù)線路條件、自身特性、前方線路狀況計(jì)算出一個(gè)限制速度.列車運(yùn)行過程中不允許超過此限制速度.在限制速度的約束下列車通常包含4種運(yùn)行工況：牽引、巡航、惰行和制動(dòng)，如圖1所示.

圖1 列車站間運(yùn)行曲線

牽引階段：列車加速，發(fā)動(dòng)機(jī)處于耗能狀態(tài).

巡航階段：列車勻速，所受合力為零，列車需要牽引還是需要制動(dòng)取決于它當(dāng)時(shí)受到的總阻力.

惰行階段：列車既不牽引也不制動(dòng)，運(yùn)行狀態(tài)取決于受到的總阻力，發(fā)動(dòng)機(jī)不耗能.

制動(dòng)階段：列車減速，發(fā)動(dòng)機(jī)不耗能.如果列車采用再生制動(dòng)技術(shù)，此時(shí)可以將動(dòng)能轉(zhuǎn)換為電能反饋回供電系統(tǒng)供其他用電設(shè)備使用，例如其他正在牽引的列車或者本列車的空調(diào)等.

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)，對列車牽引過程計(jì)算分析,可總結(jié)出有利于節(jié)能的列車運(yùn)行工況:運(yùn)行時(shí)間一定時(shí)，列車以勻速牽引運(yùn)行克服的基本阻力功最小;列車以最大加速度加速可減小加速過程中的基本阻力功;列車以最大制動(dòng)能力制動(dòng)有利于節(jié)能;列車制動(dòng)前惰行以降低制動(dòng)前的運(yùn)行速度,有利于減少列車動(dòng)能的損失;下坡時(shí)盡可能利用列車的勢能,盡量避免或減少下坡道調(diào)速制動(dòng).這些節(jié)能原則在一定限制條件下可以實(shí)施.對于在起伏坡道上的列車運(yùn)行,盡可能利用列車勢能和盡量減少列車動(dòng)能損失是節(jié)能操縱優(yōu)化的重點(diǎn).

本文針對某一地鐵運(yùn)行區(qū)間，考慮區(qū)間限速、坡度、曲線線路以及非線性阻力等因素來分析列車運(yùn)行操縱規(guī)律，求解列車在時(shí)間和速度約束下運(yùn)行距離和速度的關(guān)系.

2 列車動(dòng)力學(xué)模型及其約束條件

2.1 列車動(dòng)力學(xué)模型

列車在運(yùn)行過程中，實(shí)際受力狀態(tài)非常復(fù)雜.采用單質(zhì)點(diǎn)模型是一種常見的簡化方法.單質(zhì)點(diǎn)模型將列車視為單質(zhì)點(diǎn)，列車運(yùn)動(dòng)符合牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)定律，如圖2所示.其受力可分為4類：重力G在軌道垂直方向上的分力與受到軌道的托力抵消，列車牽引力F，列車制動(dòng)力B和列車運(yùn)行總阻力W.

圖2 單質(zhì)點(diǎn)列車模型受力分析示意圖

本文選取一實(shí)例進(jìn)行具體的力學(xué)建模，具體參數(shù)如下：列車質(zhì)量194.295 t，列車能提供的最大加、減速度為±1 m/s2.列車由A站到B站，全程距離為1 354 m，限定運(yùn)行時(shí)間為110 s，線路區(qū)間限速和坡度如圖3所示.

圖3 A站至B站區(qū)間限速和坡度情況

(1)列車牽引力F

列車牽引力F是由動(dòng)力傳動(dòng)裝置產(chǎn)生的,與列車運(yùn)行方向相同,驅(qū)動(dòng)列車運(yùn)行并可由司機(jī)根據(jù)需要調(diào)節(jié)的外力.針對本文實(shí)際工況，參照相關(guān)文獻(xiàn)，列車實(shí)際輸出牽引力(kN)有如下形式

F(v)=μFFmax(v)

(1)

式中，μF是列車實(shí)際輸出有效功率系數(shù)，F(xiàn)max是最大牽引力，與列車速度有關(guān)，表達(dá)形式如下

Fmax(v)=203 0

(2)

Fmax(v)=-0.002 032v3+0.492 8v2-

42.13v+1 343 51.5

(3)

式中，v是列車速度.

(2)列車運(yùn)行總阻力

列車總阻力是指列車與外界相互作用引起與列車運(yùn)行方向相反、一般是阻礙列車運(yùn)行的、不能被司機(jī)控制的外力.按其形成原因可分為基本阻力和附加阻力.

1)基本阻力

列車的基本阻力是列車在空曠地段沿平直軌道運(yùn)行時(shí)所受到的阻力.該阻力是由于機(jī)械摩擦，空氣摩擦等因素作用而產(chǎn)生的固有阻力.具體可分為5部分：車軸軸承間摩擦阻力、輪軌間滾動(dòng)摩擦阻力、輪軌間滑動(dòng)摩擦阻力、沖擊阻力、氣動(dòng)阻力.因此，基本阻力與許多因素有關(guān)，它主要取決于機(jī)車、車輛結(jié)構(gòu)和技術(shù)狀態(tài)、軸重，以及列車運(yùn)行速度等，同時(shí)又受線路情況、氣候條件影響.由于這些因素極為復(fù)雜，而且相互影響，實(shí)際應(yīng)用中很難用理論公式進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算，通常采用以下經(jīng)驗(yàn)公式來表示基本阻力系數(shù)w0(N/kN)

w0(v)=2.031+0.062 2v+0.001 807v2

(4)

2)附加阻力

列車由于在附加條件下(通過坡道、曲線、隧道)運(yùn)行所增加的阻力叫做附加阻力.附加阻力主要考慮坡道附加阻力和曲線附加阻力.附加阻力系數(shù)有如下形式，

w1=wi+wc

(5)

式中，wi是單位坡道阻力系數(shù)(N/kN)，一般取wi=i，i為線路坡度(‰)，wc是列車的曲線阻力系數(shù)，主要取決于軌道線路的曲率半徑，我國軌道交通一般取600.

綜上，列車運(yùn)行總阻力可按照如下公式計(jì)算

(6)

式中，W是總阻力，M是列車質(zhì)量，g為重力加速度.

(3)列車制動(dòng)力B

制動(dòng)力B是由制動(dòng)裝置引起的、與列車運(yùn)行方向相反的、司機(jī)可根據(jù)需要控制其大小的外力.其 表達(dá)式如下

B(v)=μBBmax(v)

(7)

式中，μB為實(shí)際輸出的制動(dòng)加速度與最大加速度的百分比，Bmax是最大制動(dòng)力，與列車速度有關(guān)，表達(dá)形式如下

Bmax(v)=166×1030

(8)

(9)

式中，v是列車速度.

2.2 列車運(yùn)行策略

列車運(yùn)行策略是在列車運(yùn)行計(jì)算方法的基礎(chǔ)上,根據(jù)實(shí)際需要對列車運(yùn)行方式進(jìn)行假設(shè)所建立的自動(dòng)化計(jì)算模型.列車運(yùn)行工況是根據(jù)列車運(yùn)行策略，所釆用的列車牽引、巡航、惰行和制動(dòng)過程的組合方式.由此可見,列車運(yùn)行工況的選擇取決于列車所釆用的運(yùn)行策略.

2.2.1 列車運(yùn)行策略

根據(jù)列車運(yùn)行過程對能耗和時(shí)間的具體要求,列車運(yùn)行策略有3種:最快速度運(yùn)行策略、最小能耗運(yùn)行策略和綜合優(yōu)化運(yùn)行策略,具體如圖4所示.

圖4 列車運(yùn)行策略示意圖

(1)最小耗能運(yùn)行策略

最小能耗運(yùn)行策略是列車基于節(jié)能原則的運(yùn)行方式,大量研究表明,列車能耗最小的運(yùn)行原則為:加速過程釆用最大牽引力加速,中間運(yùn)行過程保持巡航運(yùn)行和盡可能惰行,進(jìn)站過程釆用最大制動(dòng)力.另外,在運(yùn)行時(shí)間充裕的情況下, 列車運(yùn)行速度越低、波動(dòng)越小,能耗越低.因此,列車最小能耗運(yùn)行策略可描述為:在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，以最大牽引力加速至經(jīng)濟(jì)速度(vj)(列車以經(jīng)濟(jì)速度運(yùn)行,單位時(shí)間的能耗最小)，然后以此速度巡航運(yùn)行至惰行轉(zhuǎn)換點(diǎn),在時(shí)間不足時(shí),列車惰行至制動(dòng)點(diǎn),然后采用最大制動(dòng)力制動(dòng),在時(shí)間充裕時(shí),可采用惰行至終點(diǎn)(如圖4中A-J1-J2-B曲線).

(2)最快速度運(yùn)行策略

最快速度運(yùn)行策略是列車在運(yùn)行全程中最大程度發(fā)揮牽引和制動(dòng)能力,確保列車以最短時(shí)間完成整個(gè)運(yùn)行過程.因此,列車最快速度運(yùn)行策略為:列車在牽引過程采用最大牽引力,制動(dòng)過程采用最大制動(dòng)力,中間過程速度達(dá)到最大限速后,保持最大限速(vL)巡航運(yùn)行(圖4中曲線A-L1-L2-B曲線).

(3)綜合優(yōu)化運(yùn)行策略

綜合優(yōu)化運(yùn)行策略是在結(jié)合上述兩種策略的基礎(chǔ)上,綜合考慮列車運(yùn)行能耗和速度的優(yōu)化策略.列車在實(shí)際運(yùn)行中只采取節(jié)時(shí)或節(jié)能運(yùn)行策略是不現(xiàn)實(shí)的,需要采用一種考慮多種因素的綜合優(yōu)化運(yùn)行策略.列車在運(yùn)行過程中,一方面,可以通過調(diào)節(jié)牽引加速度和制動(dòng)減速度,改變列車運(yùn)行時(shí)間;另一方面,列車在運(yùn)行至經(jīng)濟(jì)速度后,應(yīng)盡量保持以該速度巡航運(yùn)行和惰行,以降低能耗(如圖4中A-S1-S2-B曲線).

根據(jù)本文所選取實(shí)例特點(diǎn)(線路距離短、直線，且定時(shí)等)，故選取第一種最小能耗運(yùn)行策略，從而建立如下計(jì)算模型.

2.2.2 數(shù)學(xué)建模

T=Tacc+Tcru+Tco+Tbra=

(m+n+p+q)Δt=110 s

(10)

(1)根據(jù)所選列車運(yùn)行策略，4種運(yùn)行工況分析

1)列車牽引階段

根據(jù)牛頓第二定律可得

(11)

根據(jù)已知列車最大加(減)速度為±1 m/s2，可得

得

μ1=0.976 56

(12)

根據(jù)式(2)、(3)有

(13)

aacc(v)=-0.000 010 213 15v3+

0.002 458 819 7v2-0.212 373 96v+

6.729 812 9 51.5≤v≤80 km/h

(14)

由于這類變加速運(yùn)動(dòng)是多種分段函數(shù)問題, 解析求解難度很大，一般采用數(shù)值求解.因此首先利用中間插值可得第k時(shí)間段內(nèi)，平均加速度值為

(15)

式中m是自然數(shù)，以下k,n,p,q都是自然數(shù).

這樣第k段平均速度(其中v0=0)和行駛距離為

vk=vk-1+akΔtk=1,2,3,…,m

(16)

(17)

式中vk,sk分別是第k段區(qū)間上的平均速度和加速度，下同.

2)列車巡航階段

(18)

3)列車惰行階段

同式(13)、(14)相同的思路可得

aco=-0.000 234 187 2v2-

0.002 239 2v-0.020 31

(19)

求解過程中采用如下形式

(20)

(21)

(22)

式中k,n,p都是自然數(shù).

4)列車制動(dòng)階段

(23)

abra=-0.000 018 07v2-0.006 22v-

0.844 968 97 0≤v≤77 km/h

(24)

abra=-0.000 685 248 913 68v2+

0.123 921 375 77v-

6.478 482 656 627 77≤v≤80 km/h

(25)

(26)

(27)

(28)

式中q都是自然數(shù).

(2)列車運(yùn)行能耗模型

牽引階段能耗

(29)

巡航階段能耗

(30)

列車的總耗能

E=Eacc+Ecru

(31)

3 數(shù)值求解

為了滿足最小能耗策略，同時(shí)考慮運(yùn)行區(qū)間較短，本文采取的運(yùn)行策略：最大加速-惰行-最大制動(dòng)[2～7]，約束條件是運(yùn)行距離為1 354 m，運(yùn)行時(shí)間為110 s，同時(shí)在各區(qū)段不得超過相應(yīng)限速.本文基于Matlab軟件進(jìn)行了優(yōu)化求解，圖5給出了運(yùn)行區(qū)間內(nèi)距離和速度的關(guān)系曲線.

圖5 A站至B站區(qū)間距離與速度關(guān)系曲線

圖5中，水平直線表示不同區(qū)間的限速情況，在0～120 m區(qū)間內(nèi)，限速55 km/h；在120～1 354 m區(qū)間內(nèi)，限速80 km/h.圖中曲線1表示了列車以最大牽引力加速到80 km/h(通過計(jì)算，加速過程中，當(dāng)達(dá)到55.5 km/h時(shí)，距離已超過120 m的距離)，然后惰行到58.5 km/h左右，最后以最大制動(dòng)力制動(dòng)的距離-速度關(guān)系.從圖中可以看出，這種運(yùn)行策略所用時(shí)間最短，僅需要91 s就可到達(dá)B站.曲線2表示了列車以最大牽引力加速到66 km/h時(shí)，然后惰行到38.5 km/h，最后以最大制動(dòng)力制動(dòng)的距離-速度關(guān)系.從圖中可以看出，這種運(yùn)行策略所用時(shí)間滿足約束要求，即運(yùn)行時(shí)間為110 s, 即為最終求解的運(yùn)行策略.曲線3表示了列車以最大牽引力加速到39.4 km/h時(shí)，然后惰行到終點(diǎn)的距離-速度關(guān)系.從圖中可以看出，這種運(yùn)行策略所用時(shí)間最長(運(yùn)行時(shí)間為311 s), 但可以看出這種運(yùn)行策略最節(jié)能.

同時(shí)，針對第二種運(yùn)行控制策略，圖6和圖7分別給出了列車在A站-B站之間運(yùn)行時(shí)，加速度與運(yùn)行距離以及速度與時(shí)間的關(guān)系曲線.

圖6 A站至B站區(qū)間距離與加速度關(guān)系曲線

圖7 A站至B站區(qū)間運(yùn)行時(shí)間與速度關(guān)系曲線

4 結(jié)論

本文基于單質(zhì)點(diǎn)模型，借助數(shù)值編程方法求解了日常生活中常見的列車區(qū)間分段變加(減)速運(yùn)動(dòng)的優(yōu)化控制問題.出于節(jié)能的目的，采用了牽引-惰行-制動(dòng)的運(yùn)行策略，繪制了滿足時(shí)間約束和距離約束的距離-速度關(guān)系曲線.通過編程計(jì)算，較好地掌握了數(shù)值求解復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的思路，為進(jìn)一步求解復(fù)雜變加速運(yùn)動(dòng)奠定了基礎(chǔ).

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趙思迪(1999- )，男，在讀高中生.

指導(dǎo)教師：張冰(1981- )，男，中教一級，主要從事中學(xué)物理教學(xué)及研究.

2016-09-12)