張大鵬， 雷勇軍

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

基于非局部理論的黏彈性地基上歐拉梁自由振動(dòng)特性分析

張大鵬， 雷勇軍

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

基于非局部黏彈性理論，針對(duì)非局部阻尼歐拉梁在非局部黏彈性地基上的振動(dòng)特性問題進(jìn)行研究。首先通過引入廣義Maxwell黏彈性模型、速度相關(guān)型外阻尼模型以及非局部黏彈性地基模型，建立了歐拉梁的振動(dòng)控制方程。然后利用傳遞函數(shù)方法得到了不同邊界條件下歐拉梁固有頻率及相應(yīng)模態(tài)振型的封閉解。通過與文獻(xiàn)中已有研究結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證了所建模型的正確性，并在此基礎(chǔ)上分析了歐拉梁非局部參數(shù)、黏彈性參數(shù)、地基非局部參數(shù)、剛度及長(zhǎng)度等影響因素對(duì)固有頻率的影響情況。結(jié)果表明，所建的動(dòng)力學(xué)模型及計(jì)算分析方法對(duì)解決非局部阻尼歐拉梁在非局部黏彈性地基支撐下的動(dòng)力學(xué)問題準(zhǔn)確有效。

自由振動(dòng)；非局部地基；歐拉梁；非局部彈性理論；傳遞函數(shù)方法

地基梁的振動(dòng)特性問題在民用[1-2]、航天以及納米工程[3-4]等領(lǐng)域廣泛存在，對(duì)其進(jìn)行研究具有重要的理論價(jià)值及工程意義[5]。近年來，學(xué)者針對(duì)彈性地基梁[6-11]或黏彈性地基梁[12-14]的動(dòng)力學(xué)問題開展了大量研究工作，這些研究中涉及到的地基常簡(jiǎn)化為Winkler模型[15]、Kelvin模型或Maxwell模型等。由于實(shí)際工程中地基上一點(diǎn)處的應(yīng)力不僅與該點(diǎn)狀態(tài)有關(guān)，還受整個(gè)域內(nèi)其他點(diǎn)的影響，采用Winkler等模型無法反映出地基的這種連續(xù)性特性。此外，由于微納米尺度下材料的力學(xué)性能具有明顯的尺度效應(yīng)，傳統(tǒng)的經(jīng)典力學(xué)模型在微納米領(lǐng)域存在很大的局限性[16]。非局部理論[17-18]可以很好的解決上述問題，其基本思想是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不僅與該點(diǎn)、同時(shí)與整個(gè)域內(nèi)所有點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)有關(guān)。基于該觀點(diǎn)，通過引入非局部理論與黏彈性理論，所建模型不僅可以用于分析宏觀領(lǐng)域中黏彈性地基梁的振動(dòng)特性問題，對(duì)碳納米管等納米材料的振動(dòng)特性研究也同樣有效。

WANG等[19]利用狀態(tài)矢量空間和積分求解法分析了Pasternak彈性地基上梁的撓度及自由振動(dòng)問題；AVRAMIDIS[20]則研究了Timoshenko梁在Kerr三參量彈性地基上的靜撓度問題；AYVAZ等[21]利用Vlasov模型模擬彈性地基，分析了梁在該地基上的自由振動(dòng)及各參數(shù)的影響特性；THAMBIRATNAM[22]利用有限元方法分析了不同厚度薄梁在彈性地基上的自由振動(dòng)；SUN[23]針對(duì)黏彈性地基上歐拉梁在簡(jiǎn)諧載荷激勵(lì)下的振動(dòng)問題，通過格林函數(shù)法得到了系統(tǒng)的封閉解；KIANI[24]采用非局部理論求得了任意邊界條件下粗短雙壁碳納米管在彈性地基上受軸向載荷時(shí)動(dòng)力學(xué)控制方程的解析解。就目前而言，在地基梁動(dòng)力學(xué)問題中同時(shí)考慮地基和梁兩者的黏彈性特性的研究工作還較少，而該方面能夠同時(shí)適用于宏觀領(lǐng)域和微納米領(lǐng)域的分析模型更是鮮有報(bào)道。針對(duì)這一背景，提出了本文的主要研究?jī)?nèi)容，其研究對(duì)宏觀領(lǐng)域和納米領(lǐng)域中相關(guān)問題研究及工程實(shí)踐具有一定的參考價(jià)值。

本文基于非局部理論和黏彈性理論，研究歐拉梁在黏彈性地基上自由振動(dòng)特性問題，利用傳遞函數(shù)方法(Transfer Function Method，TFM)求得一般邊界條件下歐拉梁固有頻率的封閉解，并通過算例對(duì)各主要影響因素進(jìn)行分析。

1 動(dòng)力學(xué)控制方程

本文研究對(duì)象如圖 1所示，非局部阻尼歐拉梁放置于非局部黏彈性地基上，歐拉梁左右兩端分別以xL=0和xR=L表示，地基位于[x1,x2]區(qū)域內(nèi)。下面通過建立動(dòng)力學(xué)控制方程，對(duì)非局部地基支撐下歐拉梁的振動(dòng)特性進(jìn)行分析。

圖1 基于非局部黏彈性地基的非局部歐拉梁Fig.1 A damped nonlocal Euler-Bernoulli beam resting on a nonlocal viscoelastic foundation

1.1 非局部黏彈性理論

根據(jù)Eringen提出的非局部彈性理論[25]，均勻各向同性連續(xù)介質(zhì)的非局部應(yīng)力張量tij和局部應(yīng)力張量σij關(guān)系式為

(1)

[1-(e0a)22]tij=σij

(2)

將該非局部彈性理論模型推廣到黏彈性材料中，有[27]

(3)

廣義Maxwell黏彈性模型(如圖 2所示)的松弛模量[5]為

(4)

式中：τm=ηm/Em為松弛時(shí)間，Em和ηm分別表示圖 2中的E1、E2…和η1、η2…。

圖2 廣義Maxwell黏彈性模型Fig.2 The general Maxwell model

根據(jù)Boltzmann迭加原理，黏彈性歐拉梁的本構(gòu)方程為[28]

(5)

聯(lián)立式(3)～(5)，可得非局部黏彈性歐拉梁的本構(gòu)方程為

(6)

1.2 非局部黏彈性地基模型

Winkler模型[22]中地基作用力QN(x,t)與變形w(x,t)間的關(guān)系式為

QN(x,t)=kw(x,t)

(7)

基于非局部場(chǎng)論[29]將Winkler模型推廣到非局部黏彈性地基模型[30]中，其作用力QN(x,t)表述為

(8)

式中:K(x,ξ)和C(x,ξ,t-τ)分別為彈性空間核函數(shù)和阻尼核函數(shù)。

假設(shè)阻尼核函數(shù)C(x,ξ,t-τ)在空間和時(shí)間上相互獨(dú)立，可取形式如

C(x,ξ,t-τ)=C0c(x-ξ)g(t-τ)

(9)

該模型描述了非局部黏彈性阻尼的特性。當(dāng)c(x-ξ)取δ(x-ξ)時(shí)為局部阻尼，而當(dāng)g(t-τ)=δ(t-τ)時(shí)則為黏性阻尼。其中，C0為地基阻尼系數(shù)，g(t-τ)為松弛核函數(shù)，其形式

g(t-τ)=μ0e-μ0(t-τ)

(10)

且取空間核函數(shù)c(x-ξ)為指數(shù)核函數(shù)，即

(11)

式中:μ0和α均為核函數(shù)的特征參數(shù)。

同樣，彈性空間核函數(shù)K(x,ξ)取

K(x,ξ)=K0k(x-ξ)

(12)

式中:K0為地基剛度系數(shù)，核函數(shù)k(x-ξ)與c(x-ξ)形式相同。

1.3 動(dòng)力學(xué)控制方程建立

通過受力分析，并考慮梁外非粘性阻尼力影響，地基支撐區(qū)域[x1,x2]內(nèi)的動(dòng)力學(xué)控制方程可寫為積分偏微分方程形式如

(13)

地基支撐區(qū)域外[xL,x1)∪(x2,xR]上的動(dòng)力學(xué)控制方程為

(14)

(15)

式中WIV及WII分別表示W(wǎng)對(duì)x的四次和二次偏導(dǎo)。

在區(qū)域[xL,x1)∪(x2,xR]上動(dòng)力學(xué)控制方程化為

(16)

1.4 動(dòng)力學(xué)控制方程簡(jiǎn)化

首先對(duì)地基支撐區(qū)域內(nèi)的振動(dòng)控制方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。令式(15)分別對(duì)x求一次偏導(dǎo)和兩次偏導(dǎo)，可得

(18)

聯(lián)立式(15)和式(18)，可消去動(dòng)力學(xué)控制方程式(15)中的積分項(xiàng)，得

(19)

式(19)的求解需要6個(gè)邊界條件，而相容性條件僅給出了其中4個(gè)。另2個(gè)邊界條件可利用上述積分偏微分方程給出。將x=x1代入式(15)和式(17)，并聯(lián)立兩式，可得

(20)

同理，當(dāng)x=x2時(shí)可得

(21)

地基支撐外區(qū)域[xL,x1)∪(x2,xR]內(nèi)的振動(dòng)控制方程式(16)可化為

(22)

歐拉梁在x=xL和x=xR處應(yīng)滿足一定的邊界條件。當(dāng)端部為固支或簡(jiǎn)支時(shí)，其位移邊界條件可由位移直接給出。而當(dāng)端部自由時(shí)，則需給出力邊界條件，其彎矩和剪力表達(dá)式分別為

(23)

(24)

2 傳遞函數(shù)法求解

對(duì)于一維以及可簡(jiǎn)化為一維的均勻、線性分布參數(shù)系統(tǒng)，傳遞函數(shù)法可給出精確、封閉解析解，對(duì)于其他問題也能給出高精度的近似解或半數(shù)值解析解[31]。

2.1 地基支撐區(qū)域內(nèi)

為求解振動(dòng)控制方程特征值，首先定義狀態(tài)向量

(25)

式中

(26)

(27)

利用狀態(tài)向量可將式(19)寫為狀態(tài)方程形式

(28)

(29)

式中

(30)

狀態(tài)方程(28)的解可寫為

(31)

(32)

同時(shí)根據(jù)式(20)和式(21)有

b1(ω)Tη1(ω)=0，b2(ω)Tη2(ω)=0

(33)

其中

(34)

由式(32)及(33)，可得

E(ω)η1(ω)=0

(35)

將E(ω)中元素重新組合，可表達(dá)為

(36)

式中:E1(ω)為2×4階矩陣，E2(ω)為2×2階矩陣。由式(25)和式(35)可得

v(x1,ω)=-E2(ω)-1E1(ω)u(x1,ω)

(37)

結(jié)合式(32)，可得

u(x2,ω)=T(ω)u(x1,ω)

(38)

式中

(39)

2.2 全梁的特征值求解

振動(dòng)控制方程式(22)寫成狀態(tài)方程形式

(40)

式中

(41)

采用如上文相似方法，通過式(40)可以得到轉(zhuǎn)換矩陣。歐拉梁的邊界條件可表示為

M(ω)uL(ω)+N(ω)uR(ω)=0

(42)

式中:ηL(ω)=η(xL,ω)，ηR(ω)=η(xR,ω)，M(ω)和N(ω)為梁的邊界條件選擇矩陣[31]。利用轉(zhuǎn)換矩陣，ηR(ω)可用ηL(ω)表示，即

uR(ω)=TR(ω)T(ω)TL(ω)uL(ω)

(43)

其中，T(ω)由式(39)確定，且

(44)

(45)

將式(43)代入邊界條件(42)中，可得系統(tǒng)的特征方程為

det[M(ω)+N(ω)TR(ω)T(ω)TL(ω)=0

(46)

通過求解特征方程(46)便可得到系統(tǒng)特征值。若ωj為其特征值，則對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型為

(47)

式中

(48)

3 算例分析

表1給出了簡(jiǎn)支邊界條件下歐拉梁在非局部彈性地基上的固有頻率。從表中可以看出，不同非局部參數(shù)α下本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[1]中的有限元解以及文獻(xiàn)[34]中的解析解吻合較好，驗(yàn)證了本文所建模型及計(jì)算方法的正確性。

表2給出了不同邊界條件下全彈性地基和黏性地基上局部彈性歐拉梁(τd=τ0=0)的前四階固有頻率。從表中可以看出，各階固有頻率在懸臂、簡(jiǎn)支和固支條件下受邊界連接剛度影響而依次遞增，且彈性地基和黏性地基的非局部參數(shù)α對(duì)各階頻率影響較小。同時(shí)可以看出，當(dāng)?shù)鼗Ｐ蛷膹椥宰優(yōu)檎承詴r(shí)，系統(tǒng)固有頻率出現(xiàn)了虛部，且由于地基剛度K0減小為0，導(dǎo)致了各階固頻實(shí)部明顯減小。下面在兩端簡(jiǎn)支邊界條件下對(duì)歐拉梁及地基各參數(shù)的具體影響特性進(jìn)行分析。

表1 簡(jiǎn)支邊界條件下歐拉梁固有頻率(Hz)對(duì)比(K0=16.55 MN/m2，C0=0)

表2 各邊界條件下不同α?xí)r歐拉梁固有頻率(Hz)對(duì)比

不同地基非局部參數(shù)α下前兩階復(fù)固有頻率比Rei/ReiL0和Imi/ReiL0隨歐拉梁非局部參數(shù)e0a/L的變化曲線如圖 3所示，其中Rei和Imi分別為第i階復(fù)固有頻率的實(shí)部和虛部，ReiL0為局部歐拉梁在局部地基上的第i階固有頻率實(shí)部。從圖3(a)和(c)分析可知，各階復(fù)固有頻率虛部隨歐拉梁非局部參數(shù)e0a/L的增大有小幅減小，且地基非局部參數(shù)對(duì)其影響可忽略。對(duì)圖3(b)和(d)分析，復(fù)固有頻率實(shí)部隨歐拉梁非局部參數(shù)的增大而有所減小，且各地基非局部參數(shù)α下變化曲線近似平行；增大地基非局部參數(shù)α可使固頻實(shí)部有所增大，且增大幅度隨α的增大而明顯減小。同時(shí)相對(duì)一階固有頻率而言，歐拉梁非局部參數(shù)e0a/L對(duì)二階固有頻率的影響程度更大。地基非局部參數(shù)α對(duì)固有頻率實(shí)部的影響從圖 4中亦可看出。圖 4給出了全地基和半地基支撐下非局部歐拉梁前兩階復(fù)固有頻率實(shí)部隨地基非局部參數(shù)α的變化曲線。從圖中可以看出，前兩階固有頻率均隨α的增大而增大，且增大幅度逐漸減小，同時(shí)一階固有頻率對(duì)α的影響敏感度明顯高于二階。另外，相對(duì)二階固有頻率，地基長(zhǎng)度對(duì)一階固有頻率具有較大影響，在全地基支撐下一階固有頻率迅速增大并趨于局部地基狀態(tài)，而半地基時(shí)相對(duì)增大速度較慢。

圖3 不同α下前兩階固有頻率隨e0a/L的變化情況Fig.3 The effect of the first two complex natural frequencies on e0a/L with different α

圖4 全地基及半地基支撐下前兩階復(fù)固有頻率實(shí)部隨α的變化情況Fig.4 The variation of the real parts of first two natural frequencies with α for fully and partially supported beam

圖5給出了不同地基剛度K0下前兩階復(fù)固有頻率隨歐拉梁松弛時(shí)間τd的變化曲線。如圖5(a)和(c)所示，前兩階固有頻率虛部與歐拉梁松弛時(shí)間τd呈線性關(guān)系，且不受地基剛度的影響。從圖5(b)和(d)中可以看出，前兩階固有頻率實(shí)部受歐拉梁松弛時(shí)間τd的影響很小，各曲線呈水平趨勢(shì)，同時(shí)增大地基剛度后各階固有頻率實(shí)部明顯增大，并且一階固有頻率受地基剛度的影響程度明顯高于二階。

圖5 不同K0下前兩階復(fù)固有頻率隨τd的變化情況Fig.5 The effect of the first two complex natural frequencies on τd with different K0

4 結(jié) 論

基于非局部黏彈性理論，本文針對(duì)黏彈性地基上黏彈性歐拉梁的自由振動(dòng)問題開展研究。首先通過引入廣義Maxwell黏彈性模型、速度相關(guān)型外阻尼模型以及非局部黏彈性地基模型，建立了用于求解該問題的動(dòng)力學(xué)控制方程及其特征方程。然后利用傳遞函數(shù)方法得到了一般邊界條件下歐拉梁動(dòng)力學(xué)控制方程的封閉解。

以放置于非局部黏彈性地基上的某非局部歐拉梁為例，驗(yàn)證了所建模型的正確性，并在此基礎(chǔ)上分析了各主要影響因素。其主要結(jié)論有：

(1)所建分析模型同時(shí)考慮了地基的黏彈性與連續(xù)性、歐拉梁的黏彈性和外阻尼影響，并通過引入非局部理論，使所建模型同時(shí)適用于宏觀領(lǐng)域和微納米領(lǐng)域；

(2)通過本文所建模型及求解方法得到的計(jì)算結(jié)果與已有文獻(xiàn)中相關(guān)結(jié)果吻合，驗(yàn)證了所建模型的正確性；

(3)各階固有頻率隨歐拉梁非局部參數(shù)的增大而減小，且所受影響程度隨固有頻率階次升高明顯增大；

(4)地基非局部參數(shù)α對(duì)各階固有頻率實(shí)部影響較大，且影響幅度隨固有頻率階次的增大而明顯增大，而對(duì)虛部的影響則很小；

(5)地基長(zhǎng)度對(duì)基頻具有較大影響，在全地基支撐下基頻迅速增大并趨于局部地基狀態(tài)，而半地基時(shí)增大速度則相對(duì)較慢；

(6)歐拉梁松弛時(shí)間對(duì)各階固有頻率實(shí)部影響很小，且與固有頻率虛部呈線性關(guān)系，而地基剛度則主要影響各階固有頻率實(shí)部，對(duì)固有頻率虛部作用很小。

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基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11402087)

Free vibration characteristics of an euler-bernoulli beam on a viscoelastic foundation based on nonlocal continuum theory

ZHANG Dapeng, LEI Yongjun

(College ofAerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

The vibration characteristics of a nonlocal damped Euler-Bernoulli beam on a nonlocal viscoelastic foundation were studied based on the nonlocal viscoelasticity theory here. The generalized Maxwell viscoelastic model, the velocity-dependent external damping model and the nonlocal viscoelastic foundation model were employed to establish the governing vibration equations of the beam system. A transfer function method was used to obtain natural frequencies and the corresponding modal shapes in a closed form for the Euler-Bernoulli beam with arbitrary boundary conditions. The proposed models were validated by comparing the obtained results with the available ones in literature. Subsequently, a detailed parametric study was conducted to examine the effects of nonlocal and viscoelastic parameters of the Euler-Bernoulli beam, and nonlocal parameters, stiffness and length of the foundation on natural frequencies of the beam system. The results demonstrated that the proposed dynamic modeling and analysis methods for dynamic characteristics of a nonlocal damped Euler-Bernoulli beam on a nonlocal viscoelastic foundation are effective and correct.

free vibration; nonlocal foundation; Euler-Bernoulli beam; nonlocal elasticity theory; transfer function method

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272348);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11302254)

2015-10-30 修改稿收到日期：2015-12-21

張大鵬 男，博士生，1989年生

雷勇軍 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1968年生 E-mail: leiyj108@nudt.edu.cn

O343

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.013