侯雨雷， 汪 毅， 井國寧， 曾達幸， 邱雪松， 李慧劍

(1. 燕山大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

含間隙RU-RPR解耦并聯(lián)機構(gòu)混沌與沖擊現(xiàn)象

侯雨雷1， 汪 毅1， 井國寧1， 曾達幸1， 邱雪松1， 李慧劍2

(1. 燕山大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

針對含間隙機構(gòu)中的混沌與沖擊現(xiàn)象，以自主提出的RU-RPR(R為轉(zhuǎn)動副，U為虎克鉸，P為移動副)兩轉(zhuǎn)動解耦并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，考慮運動副間隙，結(jié)合Lankarani-Nikravesh接觸力模型與拉格朗日方程建立間隙機構(gòu)動力學(xué)模型，分析不同的驅(qū)動速度和摩擦因數(shù)對機構(gòu)中混沌現(xiàn)象與沖擊的影響，同時探討機構(gòu)的穩(wěn)定性與沖擊現(xiàn)象的關(guān)系，并分析增設(shè)彈簧對機構(gòu)動力學(xué)特性的影響。研究結(jié)果表明，改變驅(qū)動速度與摩擦因數(shù)時，沖擊現(xiàn)象仍然存在，而機構(gòu)可以由混沌運動變?yōu)橹芷谶\動，穩(wěn)定性增強；機構(gòu)的穩(wěn)定性與沖擊現(xiàn)象并沒有必然的聯(lián)系，且增加彈簧可以顯著的減弱機構(gòu)中的沖擊程度。

并聯(lián)機構(gòu)；間隙；動力學(xué)；混沌；沖擊

隨著機械產(chǎn)品日益朝著高速、重載、高精度的目標發(fā)展，對機構(gòu)動態(tài)性能的要求也越來越高，而不可避免的運動副間隙的影響愈發(fā)引起眾多學(xué)者和工程界的重視。并聯(lián)機構(gòu)的獨特優(yōu)勢及其廣泛應(yīng)用已為業(yè)界認可，作為多維的強非線性系統(tǒng)，并聯(lián)機構(gòu)包含著豐富的動力學(xué)特性，其能否適應(yīng)更高的作業(yè)條件要求而繼續(xù)得以應(yīng)用并發(fā)展，將取決于動力學(xué)這一關(guān)鍵問題的解決程度。

目前，很多學(xué)者對含間隙機構(gòu)的動力學(xué)建模[1-2]、動態(tài)特性[3-6]、混沌現(xiàn)象[7-10]、實驗分析[11]等，已經(jīng)進行了深入而廣泛的研究。時兵等[12]針對大型重載機構(gòu)虛擬樣機中的間隙旋轉(zhuǎn)鉸，基于間隙矢量模型對一汽輪機閥門機構(gòu)進行仿真計算，分析鉸間隙、制造和裝配誤差等因素對機構(gòu)動力學(xué)特性的影響。BAI等[13]采用一種混合接觸力模型分析含間隙機構(gòu)的磨損。RAHMANIAN等[8]繪制了含間隙曲柄滑塊機構(gòu)隨間隙尺寸變化的分岔圖。魏曉輝等[14]分析了裝配間隙對起落架收放機構(gòu)的影響，并提出了改進設(shè)計。余躍慶等[15]針對運動副間隙引起的并聯(lián)機器人定位誤差，探討了運動副間隙誤差引起的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)誤差的變化規(guī)律，并提出優(yōu)化補償方法。趙剛練等[16]研究了含空間圓柱副間隙的動力學(xué)建模方法，并分析了圓柱副間隙對其他構(gòu)件的動態(tài)特性的影響。王庚祥等[17]對含空間球面副間隙對新型減振平臺4-SPS/CU并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)性能影響進行研究，分析球面副間隙對該并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)特性及驅(qū)動力的影響。趙寬等[18]分析了含間隙的曲柄滑塊機構(gòu)在考慮運動副間隙、摩擦力及系統(tǒng)參數(shù)具有隨機性時的動力響應(yīng)問題。

混沌是非線性動力系統(tǒng)所特有的且普遍存在的現(xiàn)象，混沌現(xiàn)象在有些情況下于機構(gòu)性能有利，而在有些情況下將產(chǎn)生不良的影響，導(dǎo)致本來認為無論如何是安全和穩(wěn)定的系統(tǒng)失靈，為工程系統(tǒng)的響應(yīng)和可靠性增加了不確定因素。對并聯(lián)機構(gòu)進行混沌現(xiàn)象辨識，進而體現(xiàn)于動態(tài)設(shè)計中并實現(xiàn)有效的控制，對機構(gòu)動態(tài)特性的優(yōu)劣具有關(guān)鍵性的作用。

在間隙機構(gòu)中，運動副元素之間的分離碰撞將產(chǎn)生沖擊現(xiàn)象，嚴重的沖擊會導(dǎo)致機構(gòu)的運動精度降低，加劇磨損，對機構(gòu)產(chǎn)生破壞，降低機構(gòu)的使用壽命?，F(xiàn)有的文獻中，含間隙機構(gòu)動態(tài)性能的分析已經(jīng)比較普遍，而針對引起間隙機構(gòu)動態(tài)性能惡化的沖擊現(xiàn)象卻鮮有學(xué)者進行深入的研究。

機構(gòu)的穩(wěn)定性是指機構(gòu)保持原有運動狀態(tài)的能力。當(dāng)給定機構(gòu)的驅(qū)動為周期性時，如果機構(gòu)處于周期運動狀態(tài)，則機構(gòu)是穩(wěn)定的，而如果機構(gòu)處于混沌運動狀態(tài)，則機構(gòu)是不穩(wěn)定的。運動副的間隙會造成機構(gòu)運動的不確定性，機構(gòu)的動態(tài)特性在某種條件下會劇烈地變化，而且呈現(xiàn)出混沌特性[19]。OLYAEI等[19]通過某種控制方法使機構(gòu)由混沌狀態(tài)變成不混沌狀態(tài)，從而使機構(gòu)由不穩(wěn)定狀態(tài)變成穩(wěn)定狀態(tài)。ZHANG等[4]對含多間隙的平面并聯(lián)機構(gòu)進行動力學(xué)建模，分析了載荷、運動速度和運動軌跡對機構(gòu)穩(wěn)定性的影響。王威等[20]以平面四桿機構(gòu)為例研究了間隙與干摩擦對機構(gòu)運行穩(wěn)定的影響。

本文即在此背景下，以含間隙RU-RPR解耦并聯(lián)機構(gòu)[21]為研究對象，利用Lankarani-Nikravesh接觸力模型計算法向接觸力，將修正的Coulomb摩擦力法則嵌入到切向接觸力的計算過程中，應(yīng)用拉格朗日方程建立間隙機構(gòu)動力學(xué)模型，采用變步長四階龍格庫塔法予以數(shù)值求解，辨識解耦并聯(lián)機構(gòu)非線性動力學(xué)中的混沌現(xiàn)象，分析不同的因素對機構(gòu)中混沌與沖擊現(xiàn)象的影響，探討機構(gòu)的穩(wěn)定性與混沌現(xiàn)象間關(guān)系，并分析增設(shè)彈簧對機構(gòu)沖擊現(xiàn)象的影響，以期對并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)研究有所深化，為研制高效、高速和穩(wěn)定的并聯(lián)裝備提供理論依據(jù)與技術(shù)支撐。

1 轉(zhuǎn)動副間隙中的接觸力分析

(1)

其單位矢量為

n=e/e

(2)

圖1 轉(zhuǎn)動副間隙模型Fig.1 Gap model of the rotation pair

(3)

式中:Ri、Rj分別為軸承與軸的半徑。

式(3)兩邊對時間求導(dǎo)，可得碰撞點速度為

(4)

將碰撞點的相對速度投影到碰撞平面的切向和法向平面，可得相對的法向速度vn和切向速度vt，其標量形式為

(5)

式中:切向矢量t可以通過將n逆時針旋轉(zhuǎn)90°獲得。

軸承和軸的穿透深度為

δ=e-c

(6)

式中:c為半徑間隙，且c=Ri-Rj。當(dāng)δ為正值時，軸承與軸接觸，反之，軸承與軸沒有接觸。

碰撞過程中必然產(chǎn)生碰撞力，導(dǎo)致一定的沖擊、振動，從而對機構(gòu)的性能造成不利影響。因此，采用一種合適的接觸力模型來估算碰撞過程中的碰撞力非常重要。本文選用Lankarani-Nikravesh接觸力模型[22]，該模型既考慮了碰撞過程中的能量損失，又較全面地考慮了碰撞體的材料屬性、局部彈性變形以及碰撞速度等信息[23]，廣泛用于含間隙機構(gòu)的動力學(xué)分析。軸對軸承的法向接觸力的表達式為

(8)

(9)

式中:cf為摩擦因數(shù)；v0、v1為給定的速度界限。

該法則可以防止切向接觸力的方向突變，從而有利于數(shù)值積分的穩(wěn)定。

軸對軸承的碰撞力可表示為

(10)

式中: fix、fiy分別為軸對軸承的碰撞力在X方向和Y方向上的分量。

2 含間隙RU-RPR解耦并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)建模

2.1 RU-RPR解耦并聯(lián)機構(gòu)組成

RU-RPR兩轉(zhuǎn)動解耦并聯(lián)機構(gòu)如圖2所示，該機構(gòu)由定平臺、動平臺以及連接兩平臺的兩條支鏈組成，從定平臺到動平臺，第一條分支鏈依次由轉(zhuǎn)動副和虎克鉸相連，第二條分支鏈依次由轉(zhuǎn)動副、移動副和轉(zhuǎn)動副相連。其中，第二條分支中移動副的移動方向垂直于該分支兩個轉(zhuǎn)動副的軸線，兩分支中與固定平臺相連的兩轉(zhuǎn)動副軸線相互平行且與虎克鉸的一條軸線平行，虎克鉸的另一條軸線與第二分支中與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副軸線重合。

圖2 RU-RPR兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)組成示意圖Fig.2 Composition schematic of RU-RPR 2-DOF rotational parallel mechanism

在定平臺上固連定坐標系O-XYZ，其中，坐標原點O為與連線中點在定平臺平面的投影，Z軸豎直向上，Y軸與和定平臺相連的兩轉(zhuǎn)動副A、D軸線垂直并指向A；在動平臺上固連動坐標系o-xyz，其中，坐標原點o建立在動平臺幾何中心，y軸和分支2中與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副的軸線共線，方向指向虎克鉸，z軸與動平臺平面垂直，方向向上。機構(gòu)處于初始位置時，AB與BC共線。

以RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)第一分支的轉(zhuǎn)動副A和第二分支與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副C作為主動副，θ與γ分別表示轉(zhuǎn)動副A、轉(zhuǎn)動副C的旋轉(zhuǎn)角度；α與β分別表示動平臺繞動坐標系的z軸和y旋轉(zhuǎn)角度。

θ、γ為輸入角度，而α和β為輸出角度。顯見，θ與α一一對應(yīng)，而γ與β也是一一對應(yīng)關(guān)系，所以，RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)繞y軸和z軸的兩轉(zhuǎn)動自由度即兩轉(zhuǎn)動互不影響。因此，在研究轉(zhuǎn)動副D處的間隙時，可暫不考慮機構(gòu)繞y軸的轉(zhuǎn)動，而只考慮動平臺繞z軸(鉛垂方向)的轉(zhuǎn)動，故可將RU-RPR解耦并聯(lián)機構(gòu)視作一個平面四桿機構(gòu)，其等效機構(gòu)簡圖如圖3所示。

圖3 含間隙RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)等效機構(gòu)簡圖Fig.3 Schematic diagram of equivalent agencies of RU-RPR parallel mechanism with clearance

2.2 含間隙RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)運動分析

如圖3所示，針對等效的含間隙RU-RPR解耦并聯(lián)機構(gòu)建立平面坐標系X′O′Y′，并對后續(xù)動力學(xué)分析所需相關(guān)參數(shù)定義如下：l1、θ1、J1分別表示桿AB的長度、轉(zhuǎn)角以及對轉(zhuǎn)動連接副A的轉(zhuǎn)動慣量；l2、ls2、θ2、m2、Js2分別表示桿BC的長度、質(zhì)心B0距運動副B的距離、轉(zhuǎn)角(與X′軸正向的夾角)、質(zhì)量以及對自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量；m3、ls3、Js3分別表示桿CE的質(zhì)量、質(zhì)心C0與C之間的距離以及對自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量；m4、ls4、Js4分別表示桿DE的質(zhì)量、質(zhì)心D0距運動副E的距離以及對自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量；l表示CD之間的距離，l5表示機架的長度；x,y分別表示間隙(圖中小圓表示軸，大圓表示軸承)的橫向、縱向分量，即軸和軸承間的橫向、縱向相對位移分量。

由于間隙的存在，此時該四桿機構(gòu)有三個自由度。設(shè)定機構(gòu)的廣義坐標為：桿AB的轉(zhuǎn)動角度θ1，軸銷與軸承橫向相對位移x，軸銷與軸承的縱向相對位移y。通過引進擾動坐標，建立含間隙解耦并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)模型。

對無間隙四桿機構(gòu)，有如下的封閉方程

(11)

式中:θ20為無間隙機構(gòu)中BC桿轉(zhuǎn)角，l0為無間隙機構(gòu)中CD桿的長度，cθ1=cosθ1，sθ1=sinθ1，其余類似。

對D處含一個間隙的四桿機構(gòu)，有如下封閉方程

(12)

利用擾動坐標法，含間隙機構(gòu)的轉(zhuǎn)角均由無間隙機構(gòu)的轉(zhuǎn)角加上一個小擾動角構(gòu)成，桿長度由無間隙機構(gòu)的長度加上一個小的擾動長度構(gòu)成。于是有

(13)

將式(13)代入式(12)中，根據(jù)三角公式和等價無窮小概念化簡，可得

(14)

聯(lián)立式(11)和式(14)，得

(15)

則式(15)可簡化為

(16)

整個RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的動能T及勢能V分別為

(17)

式中:F=Js2+m2ls22+Js3+m3l22+Js4+m3ls32+m4ls42，G=m3l1l2+m2l1ls2。

拉格朗日函數(shù)為

L=T-V

(18)

進而，拉格朗日運動方程可表示為

(19)

式中:Qj表示非保守系統(tǒng)中對應(yīng)廣義坐標qj的廣義力，可以表示為

(20)

式中:Fi和Mi分別為作用在物體i質(zhì)心的外力、外力矩，ri、φi分別為物體i質(zhì)心的移動位移和轉(zhuǎn)動角度。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，需要加強對數(shù)學(xué)課程的策略改革，創(chuàng)新教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生積極進行學(xué)習(xí)活動，鼓勵學(xué)生進行自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，促進學(xué)生素質(zhì)能力的培養(yǎng)。

由式(20)，廣義力可以表示為

(21)

將式(18)、式(21)代入式(19)，可得

(22)

(23)

式中:

3 含間隙RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)數(shù)值仿真

機構(gòu)中軸承與軸之間存在碰撞與非碰撞兩種狀態(tài)，而在分析每次碰撞的初始碰撞速度及碰撞面的方向時，精確的檢測出碰撞點至關(guān)重要。已知軸承與軸發(fā)生碰撞的條件為

δ(tn)δ(tn+1)≤0

(24)

則在時間間隔tn與tn+1之間至少發(fā)生一次碰撞。碰撞時間非常短暫，故為保證計算效率與精度，采用變步長四階龍格庫塔法進行數(shù)值積分，當(dāng)碰撞深度大于積分誤差時，積分步長設(shè)定為前一個步長的一半，重新計算直至滿足誤差要求，本文借鑒文獻[25]中的方法來控制步長。

式(23)包含兩個二階非線性方程，采用變步長四階龍格庫塔法予以求解。機構(gòu)桿件形狀參見圖2，多選用長方形和圓柱形，其材料為45鋼，則可得到RU-RPR機構(gòu)相關(guān)參數(shù)如下：

l1=130 mm，l2=308 mm，ls2=154 mm，ls3=80 mm，ls4=54 mm，l5=524 mm，J1=7.351×10-3kg·mm3，Js2=6.160×10-2kg·mm3，Js3=5.772×10-3kg·mm3，Js4=3.008×10-3kg·mm3，m2=8.516 kg，m3=1.161 kg，m4=1.405 kg。

機構(gòu)動力學(xué)仿真參數(shù)如表1所示，機構(gòu)初始時桿OB與桿BC共線，機構(gòu)驅(qū)動角速度為ω=10π rad/s。選取計算了2個周期的仿真結(jié)果，機構(gòu)碰撞深度、接觸力和軸心軌跡分別如圖4(a)、圖4(b)和圖4(c)所示；圖4(d)為機構(gòu)Poincare映射圖，計算了500個映射點。Poincare映射[8]可以方便地進行混沌辨識。Poincare映射上的一個點及少數(shù)離散點、閉合曲線、成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點分別表示系統(tǒng)的周期運動、擬周期運動和混沌運動。

圖4(a)為軸承與軸之間的穿透深度，由圖4(a)可知，軸與軸承在分離和碰撞之間不斷變換，并非處于連續(xù)接觸的狀態(tài)。圖4(c)中軸心軌跡圖也可體現(xiàn)該特點(其中虛線圓表示軸承邊界，該圓以軸承為中心為圓心，以軸承半徑為半徑)。軸與軸承在不斷的分離與碰撞過程中，必然產(chǎn)生沖擊現(xiàn)象，而圖4(b)中高頻振蕩的接觸力曲線也印證了此現(xiàn)象，且圖4(a)中穿透深度振蕩的時間點與圖4(b)中接觸力振蕩的時間點是一致的。圖4(d)中間隙處相對位移x與相對位移y的Poincare映射為具有一定的規(guī)律的密集點，表現(xiàn)為混沌狀態(tài)。

表1 RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)仿真參數(shù)

圖4 含間隙RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)Fig.4 Dynamic responses of RU-RPR parallel mechanism with clearance

4 RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)特性參數(shù)影響分析

驅(qū)動速度以及摩擦因數(shù)是影響機構(gòu)動態(tài)性能的重要因素。如下將根據(jù)接觸力、軸心軌跡以及Poincare映射分析不同的驅(qū)動速度及不同的摩擦因數(shù)對機構(gòu)中沖擊現(xiàn)象的影響，同時探討機構(gòu)穩(wěn)定性與沖擊現(xiàn)象的相互關(guān)系。

首先依據(jù)表1所列參數(shù)，參照前述仿真方法，依次取驅(qū)動速度為2π rad/s、8π rad/s、20π rad/s、40π rad/s，所得相應(yīng)的機構(gòu)接觸力、軸心軌跡及Poincare映射分別如圖5～圖7所示。

圖5 不同驅(qū)動速度下RU-RPR機構(gòu)的接觸力Fig.5 Contact forces of RU-RPR mechanism at different driving speeds

由圖5可看出，隨著驅(qū)動速度的增加，接觸力曲線的峰值增大，意味著隨著驅(qū)動速度的增大，軸與軸承之間的穿透深度更大，軸與軸承之間的沖擊現(xiàn)象更嚴重，圖6也體現(xiàn)了該特點。

圖6 不同驅(qū)動速度下RU-RPR機構(gòu)的軸心軌跡圖Fig.6 Axle center trajectory diagrams of RU-RPR mechanism at different driving speeds

圖7表明，隨著驅(qū)動速度的增大，機構(gòu)中的混沌現(xiàn)象減弱，甚至形成周期運動，機構(gòu)的穩(wěn)定性增強。而圖6顯示出在各種驅(qū)動速度下，軸與軸承之間始終無法在整個運動階段連續(xù)接觸，即沖擊現(xiàn)象依然存在。由此說明機構(gòu)的穩(wěn)定性與沖擊現(xiàn)象并沒有必然的聯(lián)系。

其次，令驅(qū)動速度為5πrad/s，按摩擦系數(shù)依次取0.01、0.02、0.05、0.1四種情況，分析機構(gòu)接觸力、軸心軌跡及Poincare映射分別如圖8～圖10所示。

圖7 不同驅(qū)動速度下RU-RPR機構(gòu)的Poincare映射Fig.7 Poincare mapping diagrams of RU-RPR mechanism at different driving speeds

圖8 不同摩擦系數(shù)下RU-RPR機構(gòu)的接觸力Fig.8 Contact forces of RU-RPR mechanism at different friction coefficients

由圖8可知，當(dāng)摩擦系數(shù)比較小時，接觸力的峰值隨著摩擦系數(shù)的增大而增大，沖擊現(xiàn)象更為嚴重；而當(dāng)摩擦系數(shù)較大時，隨著摩擦系數(shù)增大，接觸力的峰值幾乎不變，沖擊現(xiàn)象的程度基本保持穩(wěn)定。

圖10表明，摩擦系數(shù)越大，機構(gòu)中的混沌現(xiàn)象越弱，機構(gòu)的穩(wěn)定性增強；但是軸與軸承之間的沖擊碰撞依然存在(參見圖9)，也再次說明機構(gòu)的穩(wěn)定性與沖擊現(xiàn)象間并不存在必然的聯(lián)系。

圖9 不同摩擦系數(shù)下RU-RPR機構(gòu)的軸心軌跡圖Fig.9 Axle center trajectory diagrams of RU-RPR mechanism at different friction coefficients

圖10 不同摩擦系數(shù)下RU-RPR機構(gòu)的Poincare映射Fig.10 Poincare mapping diagrams of RU-RPR mechanism at different friction coefficients

5 RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)間隙影響的控制

根據(jù)RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)動態(tài)特性參數(shù)影響分析，隨著驅(qū)動速度或摩擦系數(shù)的增大，機構(gòu)中的混沌現(xiàn)象減弱，機構(gòu)的穩(wěn)定性增強，但軸與軸承之間始終無法連續(xù)接觸，沖擊現(xiàn)象依然存在，甚至更加嚴重，而這必將降低機構(gòu)的精度、壽命等，影響其正常工作。

故此，為減少軸與軸承之間的沖擊，考慮在桿DE的質(zhì)心與機架OD的幾何中心之間增加一個彈簧，如圖11所示。設(shè)彈簧原長為Ls0，剛度系數(shù)為ks，伸長后彈簧長度為Ls，則增加彈簧后RU-RPR機構(gòu)的勢能為

(25)

圖11 增加彈簧后的RU-RPR機構(gòu)簡圖Fig.11 RU-RPR mechanism diagram after adding the spring

為了達到預(yù)期的效果，使彈簧始終處于拉伸狀態(tài)，且設(shè)定彈簧的原長為0.15 m，剛度系數(shù)為1 000 N/m，驅(qū)動速度ω=10π rad/s，其它動力學(xué)參數(shù)參照表1，仿真結(jié)果如圖12所示。由圖12(a)可知，增加彈簧后，軸與軸承之間始終連續(xù)接觸，沒有發(fā)生沖擊現(xiàn)象，圖12(b)、(c)也說明該特點。此外，對比圖12(b)與圖4(b)可知，增加彈簧后，接觸力波動趨于平緩，且最大值由6 778降為1 629，降低了76%。圖12(d)則表明增加彈簧后，機構(gòu)中的混沌現(xiàn)象消失。

圖12 增設(shè)彈簧后RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)Fig.12 Dynamic responses of RU-RPR parallel mechanism after adding spring

6 結(jié) 論

(1)利用Lankarani-Nikravesh接觸力模型、修正的Coulomb摩擦力法則和拉格朗日方程建立了含間隙RU-RPR解耦并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)模型，借助變步長四階龍格庫塔法予以求解，動力學(xué)仿真結(jié)果表明RU-RPR機構(gòu)轉(zhuǎn)動副中間隙的存在使得機構(gòu)在某種條件下存在混沌和沖擊現(xiàn)象。

(2)當(dāng)含間隙RU-RPR機構(gòu)中驅(qū)動速度、摩擦系數(shù)增大時，機構(gòu)由混沌運動變?yōu)橹芷谶\動，即機構(gòu)的穩(wěn)定性提高，而沖擊現(xiàn)象依然存在，說明機構(gòu)的穩(wěn)定性與沖擊現(xiàn)象并沒有必然的聯(lián)系，且通過增加彈簧并預(yù)緊能夠有效消除機構(gòu)中的沖擊現(xiàn)象，對高可靠性并聯(lián)裝備的設(shè)計與控制具有一定的理論參考意義和實踐應(yīng)用價值。

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Chaos andimpact phenomena of a RU-RPR decoupled parallel mechanism containing clearance

HOU Yulei1, WANG Yi1, JING Guoning1, ZENG Daxing1, QIU Xuesong1, LI Huijian2

(1. School of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China;2. Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipments and Large Structures of Hebei Province, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

For chaos and impact phenomena in a mechanism with clearance, taking a two-rotation decoupled parallel mechanism RU-RPR (R stands for a revolute pair, U stands for a Hooke joint, P stands for a translation pair) proposed independently as a study object, considering clearance existing in a kinematic pair, combining with Lankarani-Nikravesh contact force model and Lagrange equation, the dynamic equation of the mechanism was established, and its chaos and impact phenomena were studied. Then the influences of different driving speeds and friction coefficients on chaos and impact phenomena were analyzed, and the relationship between the stability of the mechanism and impact phenomenon was investigated at the same time. The influences of an additional spring on dynamic characteristics of the mechanism were analyzed. The results showed that when changing drive speed or friction coefficient, the impact phenomenon still exists, while the motion of the mechanism can be changed from chaotic motion to periodic one, the stability of the mechanism is enhanced; there is no necessary relation between the stability of the mechanism and its impact phenomenon, and the impact level can be significantly weakened by adding springs.

parallel mechanism; clearance; dynamics; chaos; impact

國家自然科學(xué)基金(51205339;51305384)；中國博士后科學(xué)基金(2013M541199)

2015-08-16 修改稿收到日期：2015-12-30

侯雨雷 男，博士后，教授，博士生導(dǎo)師，1980年生

李慧劍 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1980年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.032