尚慧琳， 張 濤， 文永蓬

(1. 上海應用技術大學 機械工程學院，上海 201418； 2. 上海工程技術大學 城市軌道交通學院，上海 201620)

參數(shù)激勵驅(qū)動微陀螺系統(tǒng)的非線性振動特性研究

尚慧琳1， 張 濤1， 文永蓬2

(1. 上海應用技術大學 機械工程學院，上海 201418； 2. 上海工程技術大學 城市軌道交通學院，上海 201620)

對于一類典型的切向梳齒驅(qū)動型微陀螺,建立兩自由度、具有剛度立方非線性和參數(shù)激勵驅(qū)動的微陀螺系統(tǒng)動力學模型?？紤]主參數(shù)共振和1∶1內(nèi)共振的情況，利用多尺度法獲得周期解的解析形式，并利用分岔理論，得到Hopf分岔條件，結(jié)合數(shù)值模擬系統(tǒng)的動力學響應，揭示系統(tǒng)參數(shù)對驅(qū)動和檢測模態(tài)振幅和分岔行為的影響機制。研究結(jié)果表明，在1∶1內(nèi)共振和較大的載體角速度下，激勵頻率的變化容易引起微陀螺振動系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)解、振幅跳躍現(xiàn)象和概周期響應等復雜動力學行為。

微陀螺；靜電力；主參數(shù)共振；多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象；振幅跳躍現(xiàn)象

靜電驅(qū)動微陀螺是建立在微納米技術基礎上的靜電微慣性傳感器，是微機電系統(tǒng)(MEMS)的重要器件, 也是目前發(fā)展最快的MEMS產(chǎn)品之一[1-2]。其功能是測量運動物體的旋轉(zhuǎn)速度或旋轉(zhuǎn)角以應用于慣性導航，驅(qū)動和檢測方式分別為MEMS領域廣泛采用的靜電驅(qū)動和電容檢測，具有廣泛的應用前景[3]。

從20世紀80 年代后期開始，全世界各國相繼開展了對靜電驅(qū)動微陀螺的研究，熱點集中在微陀螺的穩(wěn)定性和高精度方向[4-5]。早期采用的靜電驅(qū)動微陀螺動力學模型為集總參數(shù)系統(tǒng)模型，即兩自由度線性振動系統(tǒng)模型，考慮線性阻尼和剛度，以及簡諧激勵靜電力，通過直接求解線性常微分方程研究微陀螺振動特性。然而，微尺度效應使得靜電驅(qū)動微陀螺出現(xiàn)了許多宏觀機械結(jié)構不具備的新的物理現(xiàn)象和特征，如力的非線性(靜電力[6-8]、彈性力和粘性力)，阻尼和剛度非線性、以及多場耦合等因素[9]。在設計中采用忽略這些非線性因素的系統(tǒng)模型，容易因無法準確描述微慣性傳感器的振動特性而造成微陀螺檢測的不準確[10]。為此，越來越多的國內(nèi)外學者開始關注微陀螺的建模和非線性振動特性研究[11-16]。羅躍生[11]考慮靜電吸引力和干擾力對硅微型梳狀線振動驅(qū)動式陀螺儀建立了活動質(zhì)量中心在動系中運動的兩自由度微分方程模型。KENIG等[12]考慮剛度非線性和參數(shù)激勵靜電力，建立了微陀螺兩自由度振動系統(tǒng)，數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在高維混沌。FRANCESCO等[13]針對一類音叉振動式微機械陀螺的振動模態(tài)建立了具有非線性壓膜阻尼，立方非線性剛度的單自由度振動系統(tǒng)，通過數(shù)值仿真和實驗研究發(fā)現(xiàn)隨著驅(qū)動電壓的變化，驅(qū)動模態(tài)會發(fā)生概周期振動和多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。李欣業(yè)等[14]建立了簡諧激勵靜電力、驅(qū)動和檢測方向均具有三次剛度非線性的微陀螺系統(tǒng)，分析了主共振解的穩(wěn)定性,數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，并提出利用時滯反饋的方法來抑制系統(tǒng)Hopf分岔。盛平等[15]針對一類梳齒驅(qū)動型微陀螺建立了具有三次剛度非線性和參數(shù)激勵靜電力的單自由度驅(qū)動模態(tài)振動系統(tǒng)模型，發(fā)現(xiàn)梳齒電容非線性因素會造成諧振頻率的漂移。文永蓬等[16]研究驅(qū)動和檢測微彈性梁的非線性剛度對微陀螺輸出的影響，發(fā)現(xiàn)微陀螺振動系統(tǒng)的檢測靈敏度和帶寬呈反比關系；微彈性梁的非線性剛度會使得載體角速度與檢測輸出呈非線性關系。

然而，以上研究大多采用的靜電力模型仍為簡諧力激勵,也少見關于振幅跳躍現(xiàn)象機制的研究報道。事實上，無論平行板電容型靜電驅(qū)動還是切向梳齒驅(qū)動，其靜電力都分別與動、靜極板的間距或交疊面積有關，因此應主要體現(xiàn)為參數(shù)激勵驅(qū)動。此外，振幅跳躍現(xiàn)象在宏觀結(jié)構振動系統(tǒng)中非常常見，相關機理研究較多[17-21]，如研究Duffing系統(tǒng)中振幅跳躍現(xiàn)象的機制[18-19]和振幅跳躍現(xiàn)象在雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)的應用[20-21]，而在微陀螺振動系統(tǒng)中其行為機制卻未被深入理解。事實上，振幅跳躍現(xiàn)象對微陀螺的穩(wěn)定性和精度有著不容忽視的影響：振幅跳躍現(xiàn)象的出現(xiàn)意味著載體角速度稍有變動，微陀螺檢測模態(tài)就會發(fā)生振幅突變，這是一種全局失穩(wěn)行為，對應載體角速度和檢測模態(tài)振幅之間的線性關系不復存在，即微陀螺的測量穩(wěn)定性和精度遭到破壞。因此本文針對一類切向梳齒驅(qū)動型振動式微陀螺建立參數(shù)激勵振動系統(tǒng)模型，分析設計參數(shù)和驅(qū)動參數(shù)對驅(qū)動和檢測模態(tài)響應的影響規(guī)律，尤其是引起振幅跳躍和概周期振動等復雜運動的機制，從而為靜電驅(qū)動微陀螺的設計和應用提供一定的理論依據(jù)。

1 動力學建模

圖1 切向梳齒驅(qū)動型振動式微陀螺結(jié)構Fig.1 Structure of a non-interdigitated comb-finger actuated vibratory micro-gyroscope

圖2 切向梳齒驅(qū)動型振動式微陀螺簡化模型Fig.2 Simplified model of a non-interdigitated comb-finger actuated vibratory micro-gyroscope

當微陀螺的載體繞Z軸以恒定角速度Ωz轉(zhuǎn)動時，考慮彈性元件自身的質(zhì)量遠遠小于振動元件質(zhì)量m，忽略不計，可采用兩自由度集總參數(shù)系統(tǒng)模型來描述微陀螺在X-Y平面內(nèi)的振動特性?？紤]圖1中微陀螺的真空封裝環(huán)境，空氣阻尼與真空度有關，因此空氣阻尼相對較小，其非線性因素可以被忽略，可假設驅(qū)動和檢測方向阻尼均為線性，Cx,Cy分別為驅(qū)動和檢測方向的線性阻尼系數(shù)；為充分考慮微梁剛度的非線性，設Kx1,Ky1分別為驅(qū)動和檢測方向的線性剛度系數(shù)，Kx3,Ky3分別為驅(qū)動和檢測方向的立方非線性剛度系數(shù)。利用拉格朗日方程，可建立常見的微陀螺分析模型：

Fa(X,t)=-(r1X+r3X3)V2(t)

(2)

式中:r1和r3分別為線性和非線性靜電常數(shù)，與驅(qū)動梳齒電容的設計參數(shù)，如齒數(shù)和幾何分布直接相關；V(t)為驅(qū)動電壓，為時間t的函數(shù)，為了方便研究參數(shù)激勵的影響，并充分考慮交流電壓的作用，這里將驅(qū)動電壓表示為

(3)

式中:VA為交流電壓幅值，ω0為頻率。

為了簡化動力學模型(1)，設

(4)

對式(1)進行整理，得到

(5)

考慮在驅(qū)動和檢測方向上Ky3=Kx3,Cy=Cx，則系統(tǒng)式(5)成為

(6)

其物理參數(shù)取值如表1所示[6]。

表1 微陀螺物理參數(shù)值

2 動力學分析

本節(jié)主要求解和分析系統(tǒng)(6)的周期響應。首先，考慮系統(tǒng)的主參數(shù)共振和1∶1內(nèi)共振情況，設

(7)

式中:σ1和σ2分別為驅(qū)動和檢測方向的調(diào)諧參數(shù)，0<ε?1。對變量重新標度如下：

(8)

則系統(tǒng)(6)成為

X″+X=ε2γ2X+2εγY′-εμX′-εkX3-εσ1X+
(εβ1X+εβ3X3)(1+cos(2T))

Y″+Y=ε2γ2Y-2εγX′-εμY′-εkY3-εσ2Y

(9)

為得到系統(tǒng)(9)的近似周期響應，設方程的攝動解形式為

式中:T0=T為快變時間尺度，T1=εT為慢變時間尺度。采用多尺度法對系統(tǒng)進行攝動，為使驅(qū)動和檢測模態(tài)位移解不出現(xiàn)久期項，對比(ε0)和(ε1)系數(shù)，得到

(11)

和

(12)

對應式(12)右側(cè)為零，可得到關于驅(qū)動和檢測模態(tài)振幅a1,b1和相位角ψ1,ψ2的方程

(13)

消去式(13)中的ψ1和ψ2，可得到微陀螺系統(tǒng)關于振幅a1和b1的分岔方程

(14)

由式(11)和(14)即可確定系統(tǒng)(9)的近似周期解。以下分析解的穩(wěn)定性。若周期解對應的特征方程

λ4+2μλ3+g2λ2+g1λ+g0=0

(15)

具有正實部的根，則該周期解不穩(wěn)定，其中

(16)

因此，周期解產(chǎn)生Hopf分岔的臨界條件為式(15)有一對純虛根。在此設這對純虛根λ=±iφ，代入(15)式，分離實虛部并化簡，得到：

φ4-g2φ2+g0=0, -2μφ2+g1=0

(17)

由式(17)消去φ，則得到周期解產(chǎn)生Hopf分岔的系統(tǒng)參數(shù)條件，即

(18)

3 系統(tǒng)參數(shù)對響應的影響

本節(jié)主要討論各系統(tǒng)參數(shù)對微陀螺振動系統(tǒng)的驅(qū)動和檢測模態(tài)響應的影響。根據(jù)上節(jié)的式(10)和(13)可得到各系統(tǒng)參數(shù)所引起驅(qū)動和檢測模態(tài)的響應曲線，其中周期解支的穩(wěn)定性判斷可根據(jù)式(15)和(16)，Hopf分岔點由(18)式得到。解析分析結(jié)果由數(shù)值模擬系統(tǒng)動力學響應進行驗證。

給定載體的角速度，取ε=0.01，則驅(qū)動和檢測方向的幅頻響應如圖3和圖4所示。由圖3和4可知，系統(tǒng)在共振點附近響應幅值較大，對應輸出信號會比較明顯，有利于檢測。其中虛線部分代表近似周期解的失穩(wěn)區(qū)域，很明顯，失穩(wěn)區(qū)域是幅頻特性曲線上多解情況的中間解支，即幅頻特性曲線上兩個垂直切線點之間的虛曲線部分。在圖3中，當σ1在2.40～3.08區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)出現(xiàn)多解和跳躍現(xiàn)象；在圖4中，當σ2在-2.47～-1.13區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)解和跳躍現(xiàn)象，數(shù)值模擬也驗證了該現(xiàn)象，從圖上可以看出一次近似解與數(shù)值模擬結(jié)果非常吻合。根據(jù)圖3和4，當σ1>0和σ2<0時，即主參數(shù)共振條件下，當驅(qū)動模態(tài)固有頻率ω1，激勵頻率ω0和檢測模態(tài)固有頻率ω2滿足ω1>ω0/2>ω2時，系統(tǒng)可能出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)解和振幅跳躍現(xiàn)象。另外，在系統(tǒng)參數(shù)引起振幅跳躍現(xiàn)象之前，驅(qū)動模態(tài)固有頻率的設計對檢測模態(tài)振幅影響非常微弱(見圖3(b))；類似地，檢測模態(tài)固有頻率對驅(qū)動模態(tài)振幅的影響也非常微小(見圖4(a))。

圖3 σ2=-1,γ=0.18時系統(tǒng)(9)的幅頻響應 Fig.3 Amplitude-frequency responses of the system (9) for σ2=-1 and γ=0.18

圖4 σ1=2,γ=0.18時系統(tǒng)(9)的幅頻響應Fig.4 Amplitude-frequency responses of the system (9) for σ1=2 and γ=0.18

圖5 σ1=2和σ2=-1時載體角速度對振動響應的影響Fig.5 Effects of the angular rate of substrate on the vibrating responses for σ1=2 and σ2=-1

載體角速度對微陀螺振動系統(tǒng)響應的影響如圖5和圖6所示。根據(jù)圖5，對應較小的載體角速度下(即0<γ<0.110)，驅(qū)動模態(tài)振幅受載體角速度影響較小(見圖5(a))，且檢測模態(tài)振幅與載體角速度呈線性關系，斜率為2.41(見圖5(b))，這一點完全符合微陀螺的工作原理；但當載體角速度繼續(xù)增大時(0.110≤γ≤0.153)，系統(tǒng)會出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)解和振幅跳躍現(xiàn)象。在一個正的驅(qū)動方向調(diào)諧參數(shù)下，不同載體角速度對應的系統(tǒng)(9)的幅頻曲線如圖6所示，由圖6，在主參數(shù)共振情況下，在較小的載體角速度下系統(tǒng)的幅頻響應曲線是連續(xù)的，如圖6(a)中γ=0.05和γ=0.08兩條曲線，不出現(xiàn)多解和振幅跳躍現(xiàn)象；載體角速度較大時才會產(chǎn)生多解和振幅跳躍現(xiàn)象，這與圖5得到的結(jié)論相吻合，也與工程實際情況相一致。綜合圖5和圖6，微陀螺正常工作存在一定的載體角速度范圍，超出這個范圍，即使微陀螺振動系統(tǒng)的驅(qū)動和檢測模態(tài)有周期響應，仍會出現(xiàn)振幅跳躍現(xiàn)象。

圖6 σ1=2時不同載體角速度下系統(tǒng)(9)的幅頻響應Fig.6 Amplitude-frequency responses of the system (9) under different values of angular rate of substrate when σ1=2

另外，考慮載體角速度較大、驅(qū)動模態(tài)固有頻率偏離共振點，且頻率關系仍滿足ω1>ω0/2>ω2的情況。如當σ1=15,σ2=-1和γ=0.18時，系統(tǒng)的驅(qū)動和檢測模態(tài)響應見圖7。由時間歷程圖可知，系統(tǒng)發(fā)生了概周期振動。

圖7 系統(tǒng)(1)的復雜響應Fig.7 Complex response of the system (1)

4 結(jié) 論

以一類典型的切向梳齒驅(qū)動型振動式微陀螺為研究對象，建立兩自由度、具有剛度立方非線性和參數(shù)激勵的振動系統(tǒng)動力學模型，運用多尺度法和分岔理論，結(jié)合數(shù)值驗證，分析系統(tǒng)各參數(shù)對微陀螺驅(qū)動和檢測模態(tài)的影響。得到以下主要結(jié)論：

(1)主參數(shù)共振和1∶1內(nèi)共振情況下，驅(qū)動模態(tài)振幅較大，輸出信號較明顯，便于檢測。

(2)在系統(tǒng)參數(shù)引起多穩(wěn)態(tài)和振動跳躍現(xiàn)象前，驅(qū)動模態(tài)固有頻率對檢測模態(tài)振幅的影響，以及檢測模態(tài)固有頻率對驅(qū)動模態(tài)振幅的影響都非常微弱。

(3)主參數(shù)共振和1∶1內(nèi)共振的情況下，即微陀螺的驅(qū)動模態(tài)固有頻率ω1，檢測模態(tài)固有頻率ω2和激勵頻率ω0之比接近1∶1∶2時，若滿足ω1>ω0/2>ω2，那么在較大的載體角速度下，微陀螺系統(tǒng)容易出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)解和振幅跳躍現(xiàn)象；而在較小的旋轉(zhuǎn)載體角速度下，系統(tǒng)不發(fā)生多解和振幅跳躍現(xiàn)象，且檢測模態(tài)振幅與載體角速度呈線性關系，微陀螺檢測精度較高。

(4)當驅(qū)動模態(tài)固有頻率偏離主參數(shù)共振點，載體角速度的增大容易引起微陀螺振動系統(tǒng)的概周期響應。

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Nonlinear vibration behaviors of a micro-gyroscope system actuated by a parametric excitation

SHANG Huilin1, ZHANG Tao1, WEN Yongpeng2

(1.School of Mechanical Engineering, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418, China;2.College of Urban Railway Transportation, Shanghai University of EngineeringTechnology, Shanghai 201620, China)

For a typical non-interdigitated comb-finger actuated micro-gyroscope, a 2-DOF dynamic model with cubic nonlinear stiffness and parametric excitation was established. For the principal parametric resonance case and 1:1 internal resonance, the periodic solutions were obtained with the multi-scale method. Conditions of Hopf bifurcation of the periodic solutions were derived according to the theory of bifurcation. Then the dynamic responses of the system were simulated. Finally, the effect mechanism of the system’s parameters on the modal amplitudes and bifurcation behaviors was analyzed. It was shown that the variation of the excitation frequency is easy to cause various complex dynamic behaviors of the microgyroscope vibrating system, such as, multi-stable solution, amplitude jump phenomena and quasi-periodic responses under a large angular speed of the carrier and 1:1 internal resonance.

micro-gyroscope; electrostatic force; principal parametric resonance; multi-stable solution; amplitude jump phenomenon

國家自然科學基金面上項目(11472176);上海市自然科學基金(15ZR1419200)

2016-01-13 修改稿收到日期：2016-05-10

尚慧琳 女，副教授，1983年3月生

TH113.1; O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.015