梁維高

數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的簡(jiǎn)明、概括的反映，是用數(shù)學(xué)語言揭示事物的共同屬性及本質(zhì)屬性的思維形式。認(rèn)知心理學(xué)把數(shù)學(xué)概念定義為“符號(hào)所代表的具有標(biāo)準(zhǔn)共同屬性的對(duì)象、事物、情境或性質(zhì)”，這里的符號(hào)主要指具有一般意義的詞。例如，看到“圓”這個(gè)詞，人們首先從生活中想到具體的圓的表象，然后從中抽象出圓的概念。世界上并不存在這種離開具體圓的抽象圓，這時(shí)“圓”這個(gè)詞就代表了一個(gè)概念。概念通常包括四個(gè)方面：概念的名稱、定義、例子和屬性。以概念“圓”為例，詞“圓”是概念的名稱；“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓”是概念的定義；符合定義特征的具體圖形都是“圓”的例子，稱為正例，否則叫反例；“圓”的屬性有：是平面圖形、封閉的、存在一個(gè)圓心、圓心到圓上各點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)（半徑）等。

一、概念的特征

從概念學(xué)習(xí)心理角度看，概念學(xué)習(xí)具有以下幾個(gè)方面的特征：

1.概念發(fā)展的抽象性。數(shù)學(xué)概念的形成有兩種基本抽象方式：一般化抽象，即減少概念的限制，使其適用于更規(guī)范的情景；如圓、直線、平面等數(shù)學(xué)概念。分離式抽象，即通過將概念與背景相分離而達(dá)到抽象的目的。數(shù)學(xué)中的大多數(shù)概念都是一般化抽象的結(jié)果，分離式抽象一般只出現(xiàn)在一些由定義給出的概念中。

2.概念表征的多元性。所謂表征是用某一種形式，將事物或想法重新表現(xiàn)出來，以達(dá)到交流的目的。以函數(shù)表征為例，在韜爾的研究中，函數(shù)概念在兩個(gè)維度上具有“豐富的聯(lián)系”：其一是表示方式，其二是表示水平。首先，函數(shù)是一個(gè)多面的對(duì)象，表現(xiàn)方式包括作為形式概念的函數(shù)符號(hào)（ y=f（x）），作為通俗概念的函數(shù)機(jī)；既有代數(shù)的特征（函數(shù)解析式），數(shù)的特征（函數(shù)的列表表示），又有幾何特征（函數(shù)圖像）。其次，從認(rèn)知水平上看，函數(shù)概念還涉及前程序、程序、過程、對(duì)象和過程性概念五個(gè)層次。

3.概念理解的層次性。加涅在20世紀(jì)60年代就提出學(xué)習(xí)階層的概念，他指出學(xué)習(xí)活動(dòng)有其合理的次序存在，較簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)為較復(fù)雜的學(xué)習(xí)預(yù)備條件。數(shù)學(xué)概念、原理原則及運(yùn)算技巧等的學(xué)習(xí)均有一定的先后順序及學(xué)習(xí)階層順序。斯根普把直接由感知得到的概念稱為初級(jí)概念，由初級(jí)概念再抽象之后得到的概念稱為二級(jí)概念，他強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)新概念之前，必先學(xué)習(xí)這概念用到的先前概念。

4.概念聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)性。數(shù)學(xué)概念具有廣泛的聯(lián)系，既包括概念與其背景的聯(lián)系，又包括概念之間的聯(lián)系；既有橫向的聯(lián)系，又有縱向的聯(lián)系。對(duì)數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)的研究主要涉及三個(gè)方面，一是核心概念的析取。在一個(gè)概念系統(tǒng)中，有一些概念處于核心位置，其他概念或者由它生成，或者都與它有密切的聯(lián)系。二是研究相關(guān)概念的形成、組織和表征，使心理發(fā)生學(xué)成為很有意義的研究途徑。三是概念的系統(tǒng)程度是評(píng)價(jià)學(xué)生概念理解的一條重要指標(biāo)。

二、概念的同化

在教學(xué)中利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以定義方式直接提出概念，并揭露其本質(zhì)屬性，由學(xué)生主動(dòng)地與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相聯(lián)系學(xué)習(xí)和掌握概念的方式，叫做概念同化。高中數(shù)學(xué)概念多建立在小學(xué)和初中概念基礎(chǔ)之上，采用螺旋上升方式進(jìn)行深化表征。概念同化以學(xué)生的間接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)語言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念，因而在教學(xué)方法上多直接呈現(xiàn)定義，與奧蘇貝爾的“有意義的接受學(xué)習(xí)”方法基本一致。由于數(shù)學(xué)概念具有多級(jí)抽象的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)新概念在很大程度上依賴舊概念及原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此概念同化的學(xué)習(xí)方式在高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中更適用。

三、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知障礙

1.在感知階段的主要信息解讀障礙：數(shù)學(xué)語言在識(shí)別、理解和轉(zhuǎn)換上存在障礙。這些障礙導(dǎo)致學(xué)生不能很好地理解概念的定義、術(shù)語和符號(hào)，因而不能很好地對(duì)信息編碼。

2.在理解階段的主要障礙：（1）對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性模糊不清，對(duì)同一概念的不同表達(dá)形式缺乏概括和理解，使原認(rèn)知概念無法同化新知識(shí)；（2）對(duì)鄰近概念辨別不清，不明確該概念與上概念、下概念的聯(lián)系和區(qū)別，新知識(shí)不能整合到原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中。

3.在應(yīng)用階段的主要障礙：（1）對(duì)同一概念的不同表達(dá)方式不能靈活轉(zhuǎn)換；（2）在概念中不能全面滲透數(shù)學(xué)思想和方法。

四、突破高中生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)認(rèn)知障礙的策略

1.克服學(xué)生數(shù)學(xué)語言障礙對(duì)策：創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，強(qiáng)化學(xué)生在數(shù)學(xué)概念中在文字語言、圖形語言與符號(hào)語言之間靈活轉(zhuǎn)換，重視關(guān)鍵詞語及符號(hào)的講述，滲透集合和邏輯思想并弄清對(duì)象間的聯(lián)系。

2.運(yùn)用變式教學(xué)突出概念的本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解概念：數(shù)學(xué)概念是抽象的，任何一個(gè)具體材料是數(shù)學(xué)概念的特例而不是數(shù)學(xué)概念的全部，如果沒有對(duì)具體材料進(jìn)行變形，導(dǎo)致學(xué)生把數(shù)學(xué)概念集中在事物的偶然的、表面的特征上。因此為了使學(xué)生正確理解和運(yùn)用概念，必須使學(xué)生具有各種不同的直觀經(jīng)驗(yàn)，尤其教師的講解不能限定在教科書的標(biāo)準(zhǔn)圖形和符號(hào)上，而要采用各種不同的形式，變換它的位置、大小及不同符號(hào)表示，舉反例、做變式等。教師還應(yīng)加強(qiáng)對(duì)概念的進(jìn)一步分析，講清內(nèi)涵與外延，溝通知識(shí)的內(nèi)在關(guān)系，分清舊知識(shí)的區(qū)別與聯(lián)系。如分析異面直線的概念，讓學(xué)生理解“不同在任何一個(gè)平面的兩條直線”與“在兩個(gè)平面的兩條直線”，對(duì)定義逐字逐句加以推敲。讓學(xué)生理解概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，新概念要納入舊概念體系，必須對(duì)新舊概念進(jìn)行比對(duì)，及時(shí)溝通概念間的聯(lián)系，抓好對(duì)同類概念的比較、鄰近概念的比較和同一概念不同表達(dá)方式的比較。

3.培養(yǎng)學(xué)生的概括能力。高中生有較強(qiáng)的認(rèn)知能力和高中數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律，適當(dāng)啟發(fā)點(diǎn)撥，指導(dǎo)學(xué)生從個(gè)別情形入手，分步概括，力求抽象出一般原則，達(dá)到最終求解的目的。

4.讓學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師要熟悉學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并通過適當(dāng)?shù)氖侄螏椭鷮W(xué)生建構(gòu)缺少的觀念，明晰模糊的概念，強(qiáng)化其穩(wěn)定性。創(chuàng)設(shè)良好的問題情境，讓學(xué)生明白將要學(xué)到什么知識(shí)或者具備什么能力，從而主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，制造認(rèn)知沖突，打破學(xué)生的心理平衡，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生積極進(jìn)入新知識(shí)學(xué)習(xí)，主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。突出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，如配方法、換元法、待定系數(shù)法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等數(shù)學(xué)方法；實(shí)驗(yàn)觀察、猜想、類比、推理、分析、綜合、抽象等數(shù)學(xué)思想。注意整體性教學(xué)：注意知識(shí)組塊的教學(xué)，把新知識(shí)納入原知識(shí)模塊中整體考慮，使新知識(shí)和原有知識(shí)相聯(lián)系，并把有聯(lián)系的知識(shí)重新組成一個(gè)大的知識(shí)組塊。