張瑞琦

(安徽省明光市第三中學(xué) 239400)

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，經(jīng)常和函數(shù)，不等式，方程，微積分，極限方面結(jié)合形成比較綜合的題目，而且也經(jīng)常涉及到分類(lèi)討論和等價(jià)轉(zhuǎn)換等重要的思想方法和數(shù)學(xué)基本技能.在每年的高考中有關(guān)數(shù)列問(wèn)題都是必考的考點(diǎn)，也是重點(diǎn).數(shù)列求和問(wèn)題是一個(gè)技巧性強(qiáng)，靈活度大，方法多的模塊，高考若要取得好分?jǐn)?shù)，學(xué)好數(shù)列是必須的.本文對(duì)高中階段一般數(shù)列的求和方法進(jìn)行了歸納和總結(jié).

一、公式法

思路分析直接用公式求和.

二、分組求和法

分組求和法就是將數(shù)列的項(xiàng)分成二組，而這兩組往往是常數(shù)或是等差(比)數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和方法分別求和，然后再合并，從而得到該數(shù)列的和.

將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得

當(dāng)a≠1時(shí)，

三、裂項(xiàng)相消法

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.

四、錯(cuò)位相減法

這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

例4 已知數(shù)列{bn}(n∈N*)是遞增的等比數(shù)列，且b1+b3=5,b1b3=4.

若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n+2,數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn.

解anbn=(n+2)·2n-1，所以

Sn=3·20+4·21+5·22+…+(n+2)·2n-1,

2Sn=3·21+4·22+5·23+…+(n+2)·2n.

所以Sn=(n+1)·2n-1.

五、倒序相加法

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1+an).

例5 求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解設(shè)S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°①,

將①式右邊反序得S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°②.

又因?yàn)?sinx=cos(90°-x),sin2x+cos2x=1,

得2S=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin289°+cos289°)=89,

∴S=44.5.

六、猜想歸納法

七、極限求和

當(dāng)數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列，這就是我們高等數(shù)學(xué)要學(xué)的一個(gè)重要組成部分——級(jí)數(shù)，那它的和怎么求呢？下例是分子，分母由多項(xiàng)式組成的分式的極限，這類(lèi)問(wèn)題往往與數(shù)列求和、求積相聯(lián)系，一般應(yīng)先對(duì)極限式子變形，再運(yùn)用極限法則求極限.

例7 計(jì)算：

上文提到的幾種類(lèi)型是我們?cè)诟咧须A段最常見(jiàn)的幾種基本類(lèi)型，在做題的時(shí)候要根據(jù)題目的具體特征選擇合適的方法轉(zhuǎn)化為這幾種簡(jiǎn)單的形式求解.數(shù)列作為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)之間的銜接點(diǎn)與函數(shù)，方程還有不等式之間都有著很緊密的聯(lián)系，所以這類(lèi)問(wèn)題自然就成為高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容.對(duì)于數(shù)列這類(lèi)問(wèn)題，本文只是做了一點(diǎn)簡(jiǎn)要的歸納，希望對(duì)同學(xué)們的高考復(fù)習(xí)備戰(zhàn)有所幫助.

[1] 葉鋒.淺談數(shù)列的求和[M].成都：成都教育出版社，2006.

[2] 廣冬雁,李居強(qiáng),劉利琴.數(shù)列求和十法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版)，2002(18).