李夢晗

(山東省濟寧市魚臺縣第一中學高二(12)班 272300)

所謂數(shù)形結合思想，即高中階段數(shù)學解題期間，利用圖形和方程式的結合，以簡化數(shù)學習題的一種方法.這種解題方法能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)字與圖形的相互分析，將其轉化為相對較為簡便的數(shù)量關系.

一、數(shù)形結合概述

數(shù)形結合簡而言之就是通過分析數(shù)學問題本身所蘊含的內(nèi)在層次和結構，梳理其中的已知條件、結論的聯(lián)系，這種分析除了具有代數(shù)含義以外，也體現(xiàn)了幾何含義.通過數(shù)學問題中各種關系的結合，將其與空間形式進行融合，在此基礎上確定解決問題的思路與方法，使數(shù)學問題得以有效解決.其本質(zhì)是使抽象性的數(shù)學語言與直觀性的圖形進行充分的融合，尤其是代數(shù)與形象圖表的結合，可以使代數(shù)問題呈現(xiàn)出幾何化的特點，使抽象問題更加形象化.

其實在高中數(shù)學中，數(shù)形結合思想的應用非常普遍，例如求解函數(shù)相關問題時，便可以建立函數(shù)模型，通過函數(shù)圖像的方式求解最終的參數(shù)取值范圍.其實也可以在求解的過程中對方程根的范圍進行求解，并且求出各數(shù)值的關系.不僅如此，數(shù)形結合也能夠使代數(shù)問題更加幾何化，通過幾何模型的方式對問題本質(zhì)進行分析，以此解決數(shù)學問題.其實也能夠?qū)缀瘟曨}中的斜率、截距進行求解，進而獲得最大值與最小值.最后，數(shù)形結合也可以用在圖形形狀與位置關系等的研究和求解上，對圖形存在的內(nèi)在聯(lián)系進行分析，并且求解出最終的結論.

二、高中數(shù)形結合解題技巧的總結與分享

1.以數(shù)轉形

因為數(shù)學圖形具有直觀、形象的特點，相較于數(shù)學語言存在非常大的優(yōu)勢，所以，高中數(shù)學知識也可以將一些抽象且求解比較難的代數(shù)問題，通過數(shù)形結合的形式轉變?yōu)閳D形問題， 以此順利地梳理出我們的解題思路.了解有效的解題方式，完成解題，從而提升我們的數(shù)學解題水平.

圖1

(2)將b視為斜率為-2,過半圓x2+y2=3(y≥0)上的點P(x，y)的直線在y軸上的截距.由圖可知，n1≤b≤n2(n1、n2分別代表直線BP1、CP2的截距).

通過例1可知，對于一些不等式問題的求解，為了能夠更加全面、快速地求解出正確答案，我們可以運用以數(shù)轉形這一方法進行求解.如此一來，不僅拓展了我們的解題思路，提高解題速度，同時也通過直觀的圖形的提高觀察能力，為思維的發(fā)散奠定基礎.

2.以形轉數(shù)

雖然圖形具有直觀、形象等多種優(yōu)勢，但是也存在一些不足，例如計算過程的準確性與推理的邏輯性.特別是一些數(shù)學問題方面，這種邏輯性和準確性就更加明顯.所以，對于這些問題，就不能只是運用圖形進行求解，以免出現(xiàn)錯誤.基于此種情況，可以通過數(shù)形結合的方式，將圖形轉變?yōu)榇鷶?shù)語言的形式，通過另一種途徑對數(shù)學問題進行求解.

例2 設函數(shù)y=f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，在區(qū)間[0,1]上的圖象為如圖2所示的線段AB，則在區(qū)間[1,2]上，f(x)=____.

解析通過題目中已經(jīng)給出f(x)在區(qū)間[0,1]的圖象，所以可以使用圖形結合和對稱變形的方式進行求解.由于y=f(x)為偶函數(shù)，由“形”對稱變換到“形”，得到函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,0]上的圖象，如下圖線段CA.由于y=f(x)是最小正周期是2的函數(shù)，再由“形”向右平移至“形”，最終獲得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,2]上的圖象，如下圖所示線段BD.f(x)=x,x∈[1,2].

圖2 圖3

A.1 B.2 C.3 D.4

圖4

此題特別好地體現(xiàn)了數(shù)形結合的作用，若只是以數(shù)的角度出發(fā)解題，可以得到m=-a和n=a,但是這一求解存在很大的難度.然而若是以形的角度出發(fā)進行解題，便可以非常直接地求出最終答案.這也就說明了當求解小題時必須要對這一思想進行重視.

由此可見，一些數(shù)學問題中求取具體值不能使用圖形進行準確求值，因此，將圖形轉變?yōu)榇鷶?shù)問題，可以使我們快速求解問題并且獲得最終答案.在這一環(huán)節(jié)當中，作為學生，需要全面考慮，綜合考慮題目中已知條件和所有可能性，只有這樣才能獲得準確的答案.

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[2]麥康玲. 數(shù)學分析思想在高中數(shù)學解題中的應用[J]. 科教文匯(下旬刊),2015(05):110-111.

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