盧 平

(江蘇省蘇州市吳江汾湖高級中學(xué) 215211)

一、問題的引出

筆者在數(shù)列教學(xué)中曾經(jīng)給出過這樣的例題：

例1 等差數(shù)列{an}中，若a8=0，則等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a15-n(n<15，n∈N*)成立.那么，在等比數(shù)列{bn}中，若b10=1，則會(huì)有什么樣的等式成立呢？

解 因?yàn)閍8=0，因此ak+a16-k=2a8=0(k∈N*,k≤5).所以a1+a2+…+an=(a1+a2+…+a15-n)+(a16-n+a17-n+…+an-1+an).設(shè)S=a16-n+a17-n+…+an-1+an①,則S=an+an-1+…+a17-n+a16-n②.由①+②，得2S=(2n-15)(a16-n+an)=0，所以S=0，所以a1+a2+…+an=a1+a2+…+a15-n.類似地，在等比數(shù)列{bn}中，因?yàn)閎10=1，從而有bkb20-k=1(k∈N*,k≤9).所以b1·b2·…·bn=(b1·b2·…·b19-n)·(b20-n·b21-n·…·bn-1·bn)=b1·b2·…·b19-n.

二、課堂教學(xué)中的“意料之外”

上述問題的設(shè)計(jì)、分析與解題步驟都一目了然，但在課堂教學(xué)的實(shí)施過程中卻產(chǎn)生了意料之外的問題.

1．意料之外的錯(cuò)誤

教師呈現(xiàn)問題之后請甲乙兩同學(xué)上黑板解題得到以下答案：甲：b1b2…bn=b1b2…b19-n(n∈N*,n<19).乙：b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n+17(n∈N*，n<19).

甲同學(xué)在隨后的答案解釋中基本能夠達(dá)到教師的要求，但乙同學(xué)卻給出了將等比數(shù)列{bn}看出了等差數(shù)列{bn}的回答.

此時(shí)，丙同學(xué)舉手說自己看錯(cuò)題后得出的答案與乙又有不同，他得到了b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n+2n-19(n∈N*，n<19).

這時(shí)丁同學(xué)舉手表態(tài)：乙做錯(cuò)了，假如等差數(shù)列{bn}是常數(shù)列1，n=1時(shí)等式不成立.

2．將錯(cuò)就錯(cuò)的收獲

學(xué)生的一個(gè)意料之外的錯(cuò)誤引來了眾多學(xué)生的共同討論，此時(shí)，教師如果將學(xué)生錯(cuò)誤簡單歸結(jié)為審題不夠仔細(xì)而結(jié)束他們的討論，學(xué)生的探究興趣與思維也就會(huì)因此而終止.筆者面對這種情況提出了以下問題：

例2 等差數(shù)列{bn}中，若b10=1，會(huì)有什么樣的等式能夠成立呢？應(yīng)該怎樣思考？前面的答案都對嗎？為什么？

課堂上隨機(jī)生成的問題使得學(xué)生很快便進(jìn)入了思考的狀態(tài).教師在學(xué)生進(jìn)行一定的思考之后請乙同學(xué)解釋其思考問題的過程.

乙同學(xué)：根據(jù)已知條件可以看出，例1中的等式是等差數(shù)列某一項(xiàng)為0時(shí)得到的，假如問題中的數(shù)列也為等差數(shù)列，區(qū)別在于b10=1而不是b10=0，因此，假設(shè)有新的數(shù)列{cn}并使cn=bn-1，因此c10=0，后續(xù)解題過程可以采用例1中的方法.

同學(xué)們覺得乙同學(xué)與丙同學(xué)解題時(shí)采取的方法是一致且有道理的，不過兩位同學(xué)最終給出的答案卻并不一致，乙同學(xué)此時(shí)突然發(fā)現(xiàn)自己在計(jì)算時(shí)發(fā)生了錯(cuò)誤導(dǎo)致答案沒有正確呈現(xiàn)，而丙同學(xué)做對了.

解題步驟如下：構(gòu)造數(shù)列{cn}并使cn=bn-1，則數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，由c10=0，所以c1+c2+…+cn=c1+c2+…+c19-n，由cn=bn-1得b1-1+b2-1+…+bn-1=b1-1+b2-1+…+b19-n-1，化簡，得b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n+2n-19(n∈N*，n<19).

筆者在準(zhǔn)確答案得出以后繼續(xù)追問學(xué)生是否還存在其他解法，學(xué)生在一定的思考之后給出了以下直接求解的方法：因?yàn)閎10=1，從而有bk+b20-k=2b10=2(k∈N*，k≤9).

所以b1+b2+…+bn=(b1+b2+…+b19-n)+(b20-n+b21-n+…+bn-1+bn)，設(shè)S=b20-n+b21-n+…+bn-1+bn①，

則S=bn+bn-1+…+b21-n+b20-n②.

由①+②，得2S=(2n-19)(b20-n+bn)=(2n-19)×2，所以S=2n-19，所以b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n+2n-19(n∈N*,n<19).

這是一種不拘泥于“ak=0”這一形式并能從本質(zhì)上進(jìn)行解題的思路.

三、課后反思

筆者在自己所料不及的學(xué)生解題錯(cuò)誤中將錯(cuò)就錯(cuò)卻收獲了意想不到的教學(xué)效果.

1．善待學(xué)生錯(cuò)誤

共同存在于課堂教學(xué)活動(dòng)中的預(yù)設(shè)和生成這對辯證對立統(tǒng)一體是課堂教學(xué)的兩翼.教師在課前應(yīng)將教學(xué)目標(biāo)的確立、重難點(diǎn)的突破等環(huán)節(jié)進(jìn)行精心的備課與預(yù)設(shè)，不過，課堂教學(xué)并不是僅僅圍繞“教”而展開的，與之相對的學(xué)生的“學(xué)”才是課堂教學(xué)中尤其重要的.學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中常常會(huì)出現(xiàn)教師預(yù)料之內(nèi)以及意料之外的錯(cuò)誤，教師怎樣發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤以及怎樣對待這些錯(cuò)誤是課堂生成中最為重要的環(huán)節(jié)，而且這一環(huán)節(jié)往往能夠體現(xiàn)教師是否能夠在教學(xué)中以人為本并尊重學(xué)生個(gè)性差異進(jìn)行教學(xué).

2．培養(yǎng)學(xué)生思維能力

如何在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思維并因此提升學(xué)生解決問題的能力是每個(gè)數(shù)學(xué)教師高度關(guān)注的問題.從以上案例中我們不難看出，問題的解決需要邏輯推理、運(yùn)算等各種基本的數(shù)學(xué)思維共同參與，類比、歸納、化歸等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用表現(xiàn)得尤為突出，性質(zhì)與方法的類比、化歸思想等都在學(xué)生的解題中得到了運(yùn)用，嚴(yán)格的邏輯推理使得數(shù)學(xué)命題得到準(zhǔn)確的判斷，反例的列舉則可以用來否定命題的正確性，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逆向思維的價(jià)值也因此得以完全展現(xiàn).

3．認(rèn)知主體始終是學(xué)生

從現(xiàn)代教育理論和后現(xiàn)代主義的角度來看待學(xué)習(xí)認(rèn)知的主體，我們不難形成以下的觀點(diǎn)：(1)平等、信任的對話是教師和學(xué)生之間應(yīng)該努力營造與建立的，教學(xué)活動(dòng)因此可以成為相互溝通與理解的雙方交流，教育的真實(shí)性、公平性才會(huì)因此受到保障；(2)采取絕對統(tǒng)一的形式開展教學(xué)在層次各異的學(xué)生群體中是不科學(xué)的，教師應(yīng)該在充分預(yù)設(shè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行生成性資源的靈活運(yùn)用以幫助和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效激發(fā)，使得學(xué)生在寬松、和諧的教育氛圍中進(jìn)行各種思維活動(dòng)，在學(xué)生思維的岔道口進(jìn)行科學(xué)的引導(dǎo)、拓展與利用，使學(xué)生思維的品質(zhì)以及教師教育教學(xué)的智慧在不斷的探索與收獲中獲得長足的發(fā)展.

[1]卓斌．例談數(shù)學(xué)教學(xué)中問題串的設(shè)計(jì)與使用[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2013(6)．

[2]高翔，張波．高中數(shù)學(xué)教師對問題串評價(jià)與編制的調(diào)查研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016(3)．