——對一道圓錐曲線題的再思考

謝 麗

(江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(xué) 212000)

一、案例分析

例 已知圓O:x2+y2=4,點Q是直線x=4上一個動點，過點Q向圓O作切線，切點分別為A,B.

(1)證明：直線AB經(jīng)過定點P，并求出定點P的坐標(biāo)；

(2)在(1)中，設(shè)直線AQ,PQ,BQ的斜率分別為k1,k2,k3.

證明：k1-2k2+k3為定值.

1.概念本質(zhì)不清，思維方向不明：無的放矢

分析 第(1)題的考點是求直線所過定點問題，直線方程如何表示，假設(shè)哪個參數(shù)，目標(biāo)是什么？如何確立思路？通過一系列有針對性的問題，幫助學(xué)生自行找出思維的突破口，即用某個參數(shù)表示出直線的方程，然后再研究所過定點.

解析過程 (1)連接AC,BC則A,C,B,Q四點共圓，此圓設(shè)為圓M,QC為此圓M的直徑,AB為圓M與圓C的公共弦，設(shè)Q(4,t),則圓M的方程為x(x-4)+y(y-t)=0即x2+y2-4x-ty=0①.

又圓C的方程為x2+y2=4 ②.

將①減去②，即有公共弦AB所在的直線方程為 4x+ty=0.從而有動弦AB所在的直線經(jīng)過定點P，且定點P的坐標(biāo)為(1,0).

2.抽象思維能力缺乏，數(shù)學(xué)意識淡?。很P躇不前

對于第(2)問學(xué)生選擇了很多不同的解答方法，但是大部分都由于計算量太大而放棄了.數(shù)學(xué)問題較抽象，數(shù)學(xué)教與學(xué)逐步從具體到抽象，從“混而不錯”中找到問題解決不了的關(guān)鍵因素，“追根溯源”，從而找到突破口.在教與學(xué)的過程中不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力.比如(2)的解題過程中：

以上這些步驟很多學(xué)生都是可以達(dá)成的，如下的計算就有些力不從心了：

下面的計算就很有玄機：目標(biāo)是要得到k1=2k2+k3為定值其中k1,k2,k3的表達(dá)形式一致，那么如果繼續(xù)通分加以化簡，就會遇到較大的計算量:

這個計算量是相當(dāng)大的，這種做法最終也因式子的繁雜無法繼續(xù)而放棄了.那那如何找到簡化計算的突破口呢?

在教學(xué)過程中這一步其實可以繼續(xù)探究一下，結(jié)論是要得到k1-2k2+k3為定值，也就是最終的結(jié)果參數(shù)都是可以抵消的.觀察一下系數(shù),k1+k3和-2k2,系數(shù)之和為0，這樣，教師就可以給學(xué)生以新的提示：

這種簡化計算的方法，是在學(xué)生已有的過程中找出突破口，讓問題的解決得到轉(zhuǎn)機.

3.思維理性不足，心理活動定式:一意孤行

在筆者備課的過程中，時常會去考慮學(xué)生已有的知識儲備以及該題與課本習(xí)題之間問題的關(guān)聯(lián)，不難發(fā)現(xiàn)，本題我們可以有更為值得探討和可以普及的方法：

故k1-2k2+k3為定值結(jié)論成立.

這種解法恰巧只用到最最基本的直線與圓的位置關(guān)系中相切的幾何意義，數(shù)形結(jié)合.通過不斷觀察，找到合適的數(shù)學(xué)模型.理性思維是學(xué)生的核心思維能力，也是組成個人數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵因素.

二、教學(xué)思考

以上例題主要反映了學(xué)生審題能力不過關(guān)，概念理解不到位，建模過程不通暢，邏輯思維不明確，思維變通不靈活等問題，歸根結(jié)底是教師沒能真正理解教材意圖，導(dǎo)致學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)任重而道遠(yuǎn).

目前，高中數(shù)學(xué)教學(xué)普遍存在快節(jié)奏、大容量、教師講得多、學(xué)生理解得少等現(xiàn)象.教師不自覺地把學(xué)生當(dāng)作知識的容器，完成自己教學(xué)進(jìn)度的工具.教學(xué)就要教思考，教體驗、教表達(dá).無論是思辨、發(fā)現(xiàn)、探究、體驗、悟錯，都不可能一蹴而就，需要我們有足夠的時間去留給學(xué)生，讓他們有機會去反思自我，展現(xiàn)自我，消化累積，在教與學(xué)的過程中靜待花開！

[1]顏勇.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)——從自主探究的維度思考[J].中國農(nóng)村教育,2016(12):56-57.

[2]張彩艷.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)探析:內(nèi)涵、價值及培養(yǎng)路徑[J]. 教育導(dǎo)刊，2017(1)：60-74.