劉劍鋒
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關(guān)于畫法幾何學中直線的跡點求解方法分析
劉劍鋒
(湖南科技學院 電子與信息工程學院,湖南 永州 425199)
文章對空間直線任意位置的跡點求解方法進行了分析和歸納,重點是從幾何學的角度對利用定比性求解側(cè)平線的跡點加以證明,為后續(xù)學習人員直接引用定比性求解直線跡點提供理論依據(jù)。
跡點;側(cè)平線;定比性;求解
跡點是指直線和投影面的交點。直線和水平投影面的交點稱為水平跡點,和正面投影的交點稱為正面跡點,和側(cè)面投影的交點稱為側(cè)面跡點,分別用M、N、S表示。在《畫法幾何及機械制圖》、《畫法幾何學》、《機械制圖》等眾多機械專業(yè)教材中對于跡點這一內(nèi)容描述的篇幅較少,其中并未對跡點的求解過程加以詳細講解[1-3]。但是在相關(guān)習題集中關(guān)于跡點的題型相對較多較全,導致學生在做題過程中存在諸多疑惑[4-5]。經(jīng)查閱相關(guān)文獻,很少有關(guān)于跡點的詳細求解過程,尤其是利用定比性求解[6-7]。因此,將跡點的求解過程明朗化, 對幫助學生理解和增加學習積極性具有現(xiàn)實意義。
畫法幾何中,按照空間直線對基本投影體系的相對位置關(guān)系,可將直線分為三大類:一般位置直線、投影面平行線和投影面垂直線,后兩類又稱為特殊位置直線,根據(jù)投影面的不同,特殊位置直線又可分為水平線(∥水平面)、正平線(∥正平面)、側(cè)平線(∥側(cè)平面)和鉛垂線(⊥水平面)、正垂線(⊥正平面)、側(cè)垂線(⊥側(cè)平面)。
一般位置直線的跡點求解常用的方法是根據(jù)點的兩面投影確定跡點位置,求解過程相對簡單。
圖1為一般位置直線的H/V兩面投影,它的跡點詳細求解過程如下:
(1)如圖2所示,分別延長空間線段AB在水平投影面的投影ab與投影軸OX相交于點n,延長空間線段AB在正立投影面的投影a¢b¢與投影軸OX相交于點m¢;
(2)根據(jù)點的投影特性可知,點的兩面投影的連線垂直于投影軸,如圖3所示,分別過點n、m¢作垂直于OX的垂線;
圖1.一般位置直線
圖2.步驟一
圖3.步驟二
圖4.步驟三
(3)在水平投影面延長ab與投影軸連線相交于點M,在正立投影面延長a¢b¢與投影軸連線相交于點N。其中跡點M在水平面的投影m與之重疊,因此m帶括號,跡點N在正立面的投影n¢與之重疊,因此n¢帶括號,如圖4所示。
投影面平行線分為水平線、正平線、側(cè)平線三種,求解過程如下:
(1)水平線。根據(jù)水平線的定義可知,水平線平行于水平投影面,與其他兩個投影面傾斜,它的跡點分別在正立投影面和側(cè)立投影面上,跡點標記是N點和S點。圖5是水平線在H/V兩面投影體系中的投影,若采用點的投影規(guī)律求解跡點,則需要引入三面投影體系才能求解,如圖7所示。
圖5.水平線
圖6.正平線
圖7.水平線的跡點
(2)正平線。根據(jù)正平線的定義可知,正平線平行于正立投影面,與其他兩個投影面傾斜,它的跡點分別在水平投影面和側(cè)立投影面上,跡點標記是M點和S點。圖6是正平線在H/V兩面投影體系中的投影,若采用點的投影規(guī)律求解跡點,則同樣需要引入三面投影體系才能求解,如圖8所示。
圖8.正平線的跡點
(3)側(cè)平線。根據(jù)側(cè)平線的定義可知,側(cè)平線平行于側(cè)立投影面,與其他兩個投影面傾斜,它的跡點分別在水平投影面和正立投影面,跡點標記是M點和N點。若采用點的投影規(guī)律求解跡點,則需要引入三面投影體系才能求解。
由上述可知,投影面平行線的兩個跡點需要在三面投影體系中才能求解。那么能否在不引入三面投影體系的前提下求解?可以利用直線上點的定比性求解。
定比性指的是直線上點的投影必須在該直線的同面投影上,且點分線段長度之比等于其投影長度之比。定比性常用于解決直線上點的投影問題。
以側(cè)平線為例,已知側(cè)平線AB的兩面投影分別為ab和a¢b¢,利用定比性求解它的正面跡點M和水平跡點N。
圖9所示為側(cè)平線AB在三投影面體系中的狀態(tài),它與水平投影和正面投影的跡點分別為M和N點,圖10所示為側(cè)平線跡點的H/V兩面投影,圖11所示為利用定比性求解兩跡點,圖12所示為沿X方向從右往左看側(cè)平線AB,做輔助線得交點E。
圖9.側(cè)平線的三面投影體系
圖10.側(cè)平線的跡點
圖11.定比性圖解側(cè)平線跡點
圖12.側(cè)平線的側(cè)視圖
圖13.鉛垂線的跡點
①在圖9中,以點B在直線AM上理解,根據(jù)直線上點的定比性,可得到圖11,并存在以下關(guān)系:
ac=a¢b¢, cd=b¢m¢
ab:bm=ac:cd=a¢b¢:b¢m¢
在圖9中,以點A在直線NB上理解,根據(jù)直線上點的定比性,可得到圖11,并存在以下關(guān)系:
ab=b¢c¢, na=c¢d¢
a¢b¢:n¢a¢=c¢b¢:d¢c¢=ab: na
②結(jié)合圖9和12從幾何的角度可證明如下關(guān)系:
∵△BEA∽△MbB
∴EB:bm=AE:Bb
又∵EB=ab, AE=a¢b¢,Bb=b¢m¢
∴ab:bm=a¢b¢:b¢m¢
同理△BEA∽△Aa¢N
可得EB:a¢A=AE:Na¢=ab:na=a¢b¢:n¢a¢
因此,側(cè)平線的跡點存在圖10中的定比關(guān)系,同樣水平線和正平線也能用定比性進行求解。
投影面垂直線分為鉛垂線、正垂線、側(cè)垂線三種,求解投影面垂直線跡點的方法需要引入到三面投影體系,根據(jù)點的投影特性進行求解。如圖13-15所示,分別是鉛垂線的跡點、正垂線的跡點、側(cè)垂線的跡點,由圖可知該類型直線的跡點有且僅有一個。
圖14.正垂線的跡點
圖15.側(cè)垂線的跡點
文章對任意位置空間直線的跡點的求解均加以作圖解釋,得出以下結(jié)論:
(1)一般位置直線和投影面平行線存在2個跡點,投影面垂直線有且僅有1個跡點;(2)一般位置直線的跡點可以在兩面投影直接圖解得到,而投影面平行線和投影面垂直線的跡點需引入三面投影體系,根據(jù)點的投影特性才能求解;(3)從幾何學的角度對利用定比性求解側(cè)平線跡點的原理加以證明,為后續(xù)人員的直接引用提供理論依據(jù)。
[1]華中科技大學等院校編.畫法幾何及機械制圖(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2016.
[2]大連理工大學工程圖學教研室編.畫法幾何學(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2016.
[3]清華大學工程圖學及計算機輔助設(shè)計教研室編,機械制圖(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2006.
[4]華中科技大學等院校編.畫法幾何及機械制圖習題集(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2016.
[5]大連理工大學工程圖學教研室編.畫法幾何習題集(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2016.
[6]繆憲文.關(guān)于直線幾個圖學問題的思考[J].安徽建筑工業(yè)學院學報(自然科學版),2005,(6):103-106.
[7]葉曉芹.關(guān)于側(cè)平線幾個圖學問題的探討[J].重慶建筑大學學報,1999,(4):102-105.
(責任編校:宮彥軍)
2017-03-01
湖南科技學院教學改革研究項目(項目編號XKYJ2017053)。
劉劍鋒(1985-),男,湖南永州人,湖南科技學院機械專任教師,工程師,研究方向為機械制圖教學與機械結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計等。
TH126.2
A
1673-2219(2017)10-0075-02