☉江蘇省江陰高級中學(xué) 王小冬

小議高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的輕與重

☉江蘇省江陰高級中學(xué) 王小冬

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是所有學(xué)科的重中之重，是中學(xué)教育的基礎(chǔ)學(xué)科，其對于各種專業(yè)知識有著深遠(yuǎn)的影響.與高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不同的是，中學(xué)數(shù)學(xué)教育在難度、訓(xùn)練量上都遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有這么復(fù)雜、困難，但是其內(nèi)容涵蓋面卻一點也不少.考慮到中學(xué)生的學(xué)情現(xiàn)狀，對于中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)教師要有合適的方式，注重教學(xué)的精準(zhǔn)度，做到孰輕孰重，精準(zhǔn)教學(xué).

大量的調(diào)查研究表明，中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著較大的困難，這與其自身的學(xué)習(xí)能力有關(guān).因此中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也有著正確的教學(xué)導(dǎo)向，即教學(xué)的精準(zhǔn)性.從筆者教學(xué)實踐來思考，至少有三方面的指向引導(dǎo)教師教學(xué)需要注重輕重緩急：第一，概念教學(xué)和解題教學(xué)，對于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來說，教師要深刻理解數(shù)學(xué)概念教學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)解題教學(xué)來得重要，這與高等數(shù)學(xué)教學(xué)完全不同，因為中學(xué)生自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力以及尚未歷經(jīng)高考這樣的超級選拔性考試，因此會解題比理解概念來得次要一些，我們的教學(xué)更要注重概念的形成和思考；第二，教學(xué)深度和教學(xué)廣度，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不需要在教學(xué)深度上過于深入，但在知識的廣度上卻要求注重發(fā)散、拓展，這有助于中學(xué)生思維的開展和開發(fā)，提升其更好的思路和想法；第三，解題技巧和數(shù)學(xué)思想，對于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來說，解題技巧相對來說并不是最主要的，而學(xué)生頭腦中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想才是教學(xué)需要時刻關(guān)注和滲透的.本文從三方面的案例出發(fā)，與讀者一起探討中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的輕重之分，為后續(xù)教學(xué)做好導(dǎo)向作用.

一、重概念教學(xué)，輕解題教學(xué)

從教學(xué)實踐來看，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)如果要在概念教學(xué)和解題教學(xué)中選一個更為重要的點，筆者認(rèn)為是概念教學(xué).并非說解題教學(xué)不重要，只是跟概念教學(xué)相比，筆者始終堅持認(rèn)為概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心.眾所周知，數(shù)學(xué)概念是知識去除物理背景、載體后的本質(zhì)化體現(xiàn)，將概念教學(xué)教的深入學(xué)生心間，才是教學(xué)成功的標(biāo)志之一.

概念：直線和圓錐曲線位置關(guān)系教學(xué)中的一個公共點問題.

師：直線和圓錐曲線有一個公共點怎么定義？

分析：其實很多學(xué)生對于這一概念是不理解的.因為受到初中切線概念的負(fù)遷移，其始終認(rèn)為一個公共點問題就是相切問題，這從概念起步階段就已經(jīng)錯了.怎么與學(xué)生介紹直線和圓錐曲線有一個公共點的問題不完全是相切問題呢？筆者建議從學(xué)生學(xué)過的三角函數(shù)下手，可以直接描述這兩種關(guān)系是既不充分也不必要的.

舉例1：三角函數(shù)與直線相切，它們有多少個公共點？

生：無數(shù)個！

師：說明什么？

生：說明相切未必僅有一個公共點，與我們以前的認(rèn)知是不一樣的.

舉例2：能否指出與拋物線y=x2僅有一個公共點的直線，但又不是切線？

生：有，拋物線的對稱軸y軸.

師：是的.顯然拋物線對稱軸與拋物線只有一個公共點，但其顯然不是拋物線的切線.因此一個公共點也不一定是切線.

意圖：通過上述兩個舉例，使得學(xué)生明白一個公共點和相切問題并無直接關(guān)聯(lián).進(jìn)而通過具體舉例使得學(xué)生理解這一直線和圓錐曲線位置關(guān)系中的概念.

分析：設(shè)直線斜率為k，則直線方程為y-2=k（x-2），聯(lián)立橢圓方程，得

消去y整理得（4k2+1）x2+16k（1-k）x+（16k2-32k+12）=0，令Δ=0，得，所以直線l的方程為

舉例4：求過點（2，2），且與雙曲線x2-y2=1有一個公共點的直線方程.

分析：不難發(fā)現(xiàn)，由于該點位置的特殊性，其位于其中一條漸進(jìn)線上，從圖像角度思考也能發(fā)現(xiàn)應(yīng)該有三條，可以從具體代數(shù)的角度進(jìn)一步思考，有興趣的讀者可以進(jìn)行驗證.

從概念教學(xué)的角度出發(fā)，筆者對于這一問題在中學(xué)生中進(jìn)行過嘗試，這里筆者并未要求學(xué)生對問題進(jìn)行不斷的求解、解題，而是以通俗易懂的方式，讓學(xué)生知道為什么一個公共點與相切問題并無直接聯(lián)系，從而獲得了教學(xué)輕重之分，體現(xiàn)了教學(xué)的高效性.

二、重教學(xué)廣度，輕教學(xué)深度

與高等數(shù)學(xué)教學(xué)不同的是，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)并不需要在深度上過于苛刻，但在教學(xué)的廣度上卻不可謂不廣一些.知識的廣度、理解程度從中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的角度來說，廣度比深度來得更為重要.以解三角形為例，其實其所涉及的知識主要是正余弦定理，因此對于其知識所涉及的廣度上需要作出合理的設(shè)計，而不是在三角公式的難度、技巧上不斷挖掘，失去考查基本知識的意義.

問題1：在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知b2-c2=a2-ac.

（1）求B的值；

解析：由（1）知.因為，所以，

分析：本題是簡單的解三角形問題，對于公式基本運(yùn)用也屬于基本層面，屬于學(xué)生基本掌握類型.如何提升本問題的廣度呢？筆者建議與其他相關(guān)知識緊密結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)習(xí)的廣度，而不是在三角公式深度的挖掘上做出大量的、煩瑣的設(shè)計，以便有助于中學(xué)生知識學(xué)習(xí)的綜合性體驗.

分析：對于變式1，由12=a2+c2-ac可以得到12=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立.

變式2：若b=2，求a2+c2的最大值.

分析：對于變式2，同樣有，即得a2+c2≤24，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立.

變式4：若，求△ABC的面積的最大值.

分析：對于變式4，由三角形的面積公式，結(jié)合B=，可以得到.要求三角形面積的最大值，只需轉(zhuǎn)化為求ac的最大值即可.而ac的最值則可以通過變式2的過程得到.略解解三角形中正余弦定理與不等式的結(jié)合、與面積公式的結(jié)合、與三角公式的結(jié)合，足以體現(xiàn)知識廣度的運(yùn)用，對于中學(xué)生而言，這些基本知識不斷的整合，恰恰是我們教學(xué)的重中之重，而對于三角公式本身，不必在于深度上講求變形技巧等，反而失去了教學(xué)的核心.

三、重思想方法，輕數(shù)學(xué)技巧

對于中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)技巧傳授的多并非是好事，甚至可以說嚴(yán)重阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.筆者認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該在思想方法的傳授上多滲透一些，反而有利于啟發(fā)中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.限于篇幅簡單舉一個問題：

問題2：函數(shù)f（x）的定義域為［-1，1］，則函數(shù)f（2x-1）的定義域為_________.

分析：本題對于中學(xué)生來說，不可謂不難.但是如何指導(dǎo)中學(xué)生解這樣的問題呢？筆者建議運(yùn)用數(shù)學(xué)思想：本題中是特殊化的數(shù)學(xué)思想.可以思考函數(shù)（fx）的定義域為［-1，1］，不妨記即可，顯然函數(shù)，其定義域也自然而然可以求解.所以說，有思想才是問題解決的更為高端的武器，而不要過于拘泥于解題的技巧.

特殊化是解題的一種常用思想，而且對于中學(xué)生而言，特殊化的思想是極為有用的數(shù)學(xué)思想.中學(xué)數(shù)學(xué)中不少抽象性問題的本源都是依賴具體模型編制的，筆者認(rèn)為要引導(dǎo)學(xué)生思考這些問題背后的本質(zhì)，可以結(jié)合學(xué)生自身特點，進(jìn)行特殊化思想的教學(xué)滲透，只有不斷的滲透才會有學(xué)生深刻的理解.

本文從三個教學(xué)實踐的方面闡述了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要關(guān)注的輕與重，顯然還有諸多方面限于篇幅未能涉及，有興趣的讀者可以再思考，我們是不是過于注重了一些不該過分注重的，而舍棄了另一些該注重的？常常有這樣的思考，才會使我們的專業(yè)化成長來得更為飛快.

總之，對于中學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)需要側(cè)重其自身特點實施，需要重視符合學(xué)生學(xué)情的，輕難以實現(xiàn)的，這才是有的放矢的教學(xué).最后筆者要說，這里所說的輕重也僅僅是相對的，更應(yīng)該根據(jù)任教學(xué)情做出合適的選擇.

1.楊建輝.新課程標(biāo)準(zhǔn)下教師教學(xué)設(shè)計中應(yīng)具備的幾種意識［J］.數(shù)學(xué)通報，2011（2）.

2.何宗羅.整體凸顯 結(jié)構(gòu)優(yōu)化 問題引領(lǐng)［J］.教學(xué)月刊，2012（4）.

3.宋衛(wèi)東.從生“動”到生動，詮釋思維品質(zhì)的提升［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（5）