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        探究式方法在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的應(yīng)用
        ——以一道高考復(fù)習(xí)題為例

        2017-01-28 16:26:30華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)易宇丹
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年23期
        關(guān)鍵詞:復(fù)習(xí)題華中師范大學(xué)附屬中學(xué)

        ☉華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 易宇丹

        ☉華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 戴炎陶

        探究式方法在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的應(yīng)用
        ——以一道高考復(fù)習(xí)題為例

        ☉華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 易宇丹

        ☉華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 戴炎陶

        做練習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中必不可少的環(huán)節(jié),但我們面臨著海量的習(xí)題,如何通過(guò)做一些典型的習(xí)題達(dá)到快速掌握所學(xué)知識(shí)的目的呢?我們可以對(duì)典型問(wèn)題展開(kāi)深入分析,歸納總結(jié)相關(guān)知識(shí)點(diǎn),從而在學(xué)習(xí)過(guò)程中起到事半功倍的效果.筆者認(rèn)為多對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究和總結(jié)是一條行之有效的方法.本文以作者曾經(jīng)做過(guò)的一道高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題為例,談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究性學(xué)習(xí)方式.

        一、試題再現(xiàn)

        題目設(shè)函數(shù)f(x)=(1-mx)ln(1+x).

        (1)若當(dāng)0<x<1時(shí),函數(shù)f(x)的圖像恒在直線y=x的上方,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

        這是某地2017年高中畢業(yè)年級(jí)的一次考試題,在標(biāo)準(zhǔn)答案中是通過(guò)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),然后就三種情況分別進(jìn)行討論再給出問(wèn)題的解.不少同學(xué)反映其解題思路顯得有些突兀,理解起來(lái)不太容易.為此,本文從問(wèn)題探究的角度來(lái)分析該題的求解思路.

        二、思路剖析

        此題第(1)問(wèn)可從條件入手,不難構(gòu)造函數(shù)F(x)=(1-mx)ln(1+x)-x,從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)引申的問(wèn)題:

        問(wèn)題1:在0<x<1的條件下,求F(x)>0恒成立時(shí)的取值范圍.

        對(duì)于所構(gòu)造的函數(shù)F(x)也容易探究出F(0)=0,鑒于問(wèn)題1實(shí)質(zhì)上是關(guān)于函數(shù)F(x)在所給定義區(qū)間上非負(fù)性求解問(wèn)題,因此,自然會(huì)考慮通過(guò)函數(shù)的極值點(diǎn)或單調(diào)性來(lái)求解問(wèn)題,這就自然聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)的方法.

        問(wèn)題2:所構(gòu)造的函數(shù)F(x)在0<x<1上單調(diào)性如何?

        如果函數(shù)在給定的定義域上具有單調(diào)遞增的特征,則結(jié)論就成立.因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)的性態(tài)不清晰,無(wú)法直接判斷其符號(hào),因此進(jìn)一步對(duì)其求導(dǎo),得到

        由于本題的解題重點(diǎn)是要確定F(x)的單調(diào)性,但函數(shù)F′(x)的符號(hào)變化特征不易確定,因此才進(jìn)一步通過(guò)求導(dǎo)的方式得到G(x),從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為探究G(x)的符號(hào)變化特征這一問(wèn)題,但G(x)的符號(hào)實(shí)際上由函數(shù)g(x)=mx+2m+1確定的,所以問(wèn)題2轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄亢瘮?shù)g(x)的正負(fù)問(wèn)題.

        情形1:顯然,當(dāng)m≥0時(shí),由于x∈(0,1),所以,g(x)>0,G(x)<0,即函數(shù)F′(x)單調(diào)遞減,并且由于F′(0)=0,故在x∈(0,1)上F′(x)<F′(0)=0,進(jìn)而得出結(jié)論F(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞減,從而有F(x)<F(0),這與問(wèn)題1所尋求的條件矛盾.

        結(jié)論:?jiǎn)栴}1的求解范圍需要在m<0的區(qū)間中尋找答案

        情形2:在m<0的條件下,進(jìn)一步分析函數(shù)g(x)=mx+2m+1的零點(diǎn).特別地,當(dāng)時(shí)(此時(shí)x=0),0在x∈(0,1)上,G(x)>0,F(xiàn)(′x)單調(diào)遞增,并且由于F(′0)=0,故此在x∈(0,1)上F(′x)>F(′0)=0,進(jìn)而得出結(jié)論F(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞增,從而有F(x)>F(0)=0,此時(shí)問(wèn)題1尋求的條件滿足.

        結(jié)論:滿足問(wèn)題1所尋求的條件.情形3:接下來(lái)進(jìn)一步探究的情況,由于g(x)=mx+2m+1的圖像是一條直線,并且斜率為負(fù),當(dāng)x<x0時(shí),g(x)>0,從而G(x)<0,F(xiàn)′(x)單調(diào)遞減,并且由于F(′0)=0,故在x∈(0,1)上F(′x)<F(′0)=0,進(jìn)而得出結(jié)論F(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞減,從而有F(x)>F(0)=0,這與問(wèn)題1所尋求的條件矛盾.但實(shí)際上x(chóng)0不一定在定義(0,1)區(qū)間內(nèi)),故只需定義x′=min{1,x},當(dāng)00x∈(0,x0′)時(shí),g(x)>0,從而上述結(jié)論依然成立

        綜合上述三種討論的情況,可以得出第(1)問(wèn)所要求的實(shí)數(shù)m的取值范圍是

        三、問(wèn)題拓展

        通過(guò)前一節(jié)三種情況的討論與探究分析,從中進(jìn)一步可以拓展出幾個(gè)相關(guān)問(wèn)題.

        拓展1:實(shí)際上,對(duì)于本題的第(2)問(wèn),可以通過(guò)變形得到一個(gè)更加一般的不等式問(wèn)題:拓展2:可以進(jìn)一步考慮情形2中的特例,如

        拓展3:結(jié)合拓展1和拓展2的結(jié)論,也可以得到一個(gè)一般性的結(jié)論:這個(gè)結(jié)論實(shí)際給出了對(duì)無(wú)理數(shù)的一個(gè)區(qū)間估計(jì)值.不限于這種形式,對(duì)于這種形式,結(jié)論依然成立.

        通過(guò)這種探究式求解,對(duì)于此類問(wèn)題就可以達(dá)到舉一反三的目的,對(duì)于與此類似的問(wèn)題求解起來(lái)就比較簡(jiǎn)單了.

        四、歸納點(diǎn)評(píng)

        本題本質(zhì)上是一道函數(shù)與不等式的問(wèn)題,通過(guò)問(wèn)題探究求解,實(shí)質(zhì)上命題人的意圖是要考查函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性)、基本初等函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算,以及通過(guò)求導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)單調(diào)性、利用函數(shù)的某些特征證明一類不等式等知識(shí)點(diǎn).

        在實(shí)際求解過(guò)程中,利用條件通過(guò)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行問(wèn)題探究,不斷將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相關(guān)子問(wèn)題,從而逐步尋找到解決問(wèn)題的方案.這種將原問(wèn)題不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化為更容易求解的新問(wèn)題也是數(shù)學(xué)問(wèn)題求解常見(jiàn)的手段,探究式思考問(wèn)題的方式對(duì)于培養(yǎng)我們解決實(shí)際問(wèn)題的能力很有裨益,也是將方法教給學(xué)生的實(shí)踐體現(xiàn).

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