☉華中師范大學第一附屬中學 易宇丹
☉華中師范大學第一附屬中學 戴炎陶
探究式方法在高中數(shù)學學習過程中的應用
——以一道高考復習題為例
☉華中師范大學第一附屬中學 易宇丹
☉華中師范大學第一附屬中學 戴炎陶
做練習是數(shù)學學習過程中必不可少的環(huán)節(jié),但我們面臨著海量的習題,如何通過做一些典型的習題達到快速掌握所學知識的目的呢?我們可以對典型問題展開深入分析,歸納總結(jié)相關知識點,從而在學習過程中起到事半功倍的效果.筆者認為多對問題進行探究和總結(jié)是一條行之有效的方法.本文以作者曾經(jīng)做過的一道高中數(shù)學復習題為例,談談對數(shù)學問題的探究性學習方式.
題目設函數(shù)f(x)=(1-mx)ln(1+x).
(1)若當0<x<1時,函數(shù)f(x)的圖像恒在直線y=x的上方,求實數(shù)m的取值范圍;
這是某地2017年高中畢業(yè)年級的一次考試題,在標準答案中是通過對函數(shù)進行求導,然后就三種情況分別進行討論再給出問題的解.不少同學反映其解題思路顯得有些突兀,理解起來不太容易.為此,本文從問題探究的角度來分析該題的求解思路.
此題第(1)問可從條件入手,不難構(gòu)造函數(shù)F(x)=(1-mx)ln(1+x)-x,從而將原問題轉(zhuǎn)化為一個引申的問題:
問題1:在0<x<1的條件下,求F(x)>0恒成立時的取值范圍.
對于所構(gòu)造的函數(shù)F(x)也容易探究出F(0)=0,鑒于問題1實質(zhì)上是關于函數(shù)F(x)在所給定義區(qū)間上非負性求解問題,因此,自然會考慮通過函數(shù)的極值點或單調(diào)性來求解問題,這就自然聯(lián)想到用導數(shù)的方法.
問題2:所構(gòu)造的函數(shù)F(x)在0<x<1上單調(diào)性如何?
如果函數(shù)在給定的定義域上具有單調(diào)遞增的特征,則結(jié)論就成立.因為導函數(shù)的性態(tài)不清晰,無法直接判斷其符號,因此進一步對其求導,得到
由于本題的解題重點是要確定F(x)的單調(diào)性,但函數(shù)F′(x)的符號變化特征不易確定,因此才進一步通過求導的方式得到G(x),從而將問題轉(zhuǎn)化為探究G(x)的符號變化特征這一問題,但G(x)的符號實際上由函數(shù)g(x)=mx+2m+1確定的,所以問題2轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄亢瘮?shù)g(x)的正負問題.
情形1:顯然,當m≥0時,由于x∈(0,1),所以,g(x)>0,G(x)<0,即函數(shù)F′(x)單調(diào)遞減,并且由于F′(0)=0,故在x∈(0,1)上F′(x)<F′(0)=0,進而得出結(jié)論F(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞減,從而有F(x)<F(0),這與問題1所尋求的條件矛盾.
結(jié)論:問題1的求解范圍需要在m<0的區(qū)間中尋找答案
情形2:在m<0的條件下,進一步分析函數(shù)g(x)=mx+2m+1的零點.特別地,當時(此時x=0),0在x∈(0,1)上,G(x)>0,F(xiàn)(′x)單調(diào)遞增,并且由于F(′0)=0,故此在x∈(0,1)上F(′x)>F(′0)=0,進而得出結(jié)論F(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞增,從而有F(x)>F(0)=0,此時問題1尋求的條件滿足.
結(jié)論:滿足問題1所尋求的條件.情形3:接下來進一步探究的情況,由于g(x)=mx+2m+1的圖像是一條直線,并且斜率為負,當x<x0時,g(x)>0,從而G(x)<0,F(xiàn)′(x)單調(diào)遞減,并且由于F(′0)=0,故在x∈(0,1)上F(′x)<F(′0)=0,進而得出結(jié)論F(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞減,從而有F(x)>F(0)=0,這與問題1所尋求的條件矛盾.但實際上x0不一定在定義(0,1)區(qū)間內(nèi)),故只需定義x′=min{1,x},當00x∈(0,x0′)時,g(x)>0,從而上述結(jié)論依然成立
綜合上述三種討論的情況,可以得出第(1)問所要求的實數(shù)m的取值范圍是
通過前一節(jié)三種情況的討論與探究分析,從中進一步可以拓展出幾個相關問題.
拓展1:實際上,對于本題的第(2)問,可以通過變形得到一個更加一般的不等式問題:拓展2:可以進一步考慮情形2中的特例,如
拓展3:結(jié)合拓展1和拓展2的結(jié)論,也可以得到一個一般性的結(jié)論:這個結(jié)論實際給出了對無理數(shù)的一個區(qū)間估計值.不限于這種形式,對于這種形式,結(jié)論依然成立.
通過這種探究式求解,對于此類問題就可以達到舉一反三的目的,對于與此類似的問題求解起來就比較簡單了.
本題本質(zhì)上是一道函數(shù)與不等式的問題,通過問題探究求解,實質(zhì)上命題人的意圖是要考查函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性)、基本初等函數(shù)求導運算,以及通過求導數(shù)來判斷函數(shù)單調(diào)性、利用函數(shù)的某些特征證明一類不等式等知識點.
在實際求解過程中,利用條件通過構(gòu)造函數(shù)進行問題探究,不斷將問題轉(zhuǎn)化為相關子問題,從而逐步尋找到解決問題的方案.這種將原問題不斷進行轉(zhuǎn)化為更容易求解的新問題也是數(shù)學問題求解常見的手段,探究式思考問題的方式對于培養(yǎng)我們解決實際問題的能力很有裨益,也是將方法教給學生的實踐體現(xiàn).