筅江蘇省儀征市第二中學(xué)沈永明周國(guó)梅

一道求三角函數(shù)值增解的探究

筅江蘇省儀征市第二中學(xué)沈永明周國(guó)梅

一、問題提出

西方現(xiàn)代科學(xué)和哲學(xué)奠基人笛卡爾主張對(duì)每一件事情進(jìn)行懷疑，去審視知識(shí)內(nèi)部的缺陷和不足，這種“回頭審視”的“笛卡爾懷疑”學(xué)習(xí)模式值得我們重視，在數(shù)學(xué)問題解決過程中，發(fā)現(xiàn)一道題的運(yùn)算過程往往容易的，問題在于如何去掌握問題的必需條件，由于大部分的數(shù)學(xué)試題往往不會(huì)全部給出所有條件，經(jīng)常隱藏著一些間接不明顯條件.在三角函數(shù)這一章中，對(duì)于不等式取值范圍題中常涉及到隱藏的角度關(guān)系，邊之間的關(guān)系，或邊角間的關(guān)系，忽視這些“隱形”條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)解或漏解現(xiàn)象，下面就一道求三角函數(shù)值產(chǎn)生的增根進(jìn)行探究性教學(xué).

二、題目呈現(xiàn)

本題主要考查三角形中已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值問題，難度不大，但第（2）問很多同學(xué)都出錯(cuò)，出錯(cuò)的主要原因是沒有挖掘出題設(shè)中的隱含條件，出現(xiàn)了增解.本文對(duì)該題從增解到正解進(jìn)行探究和反思，僅供大家參考.

三、反思探究

通過產(chǎn)生增解過程的展示，讓學(xué)生觀察并思考錯(cuò)誤點(diǎn)，分析并探究錯(cuò)誤源，以此提高反思糾正的針對(duì)性和習(xí)題講解的有效性.習(xí)題是訓(xùn)練學(xué)生思維的載體，通過解題的反思調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究熱情，通過解題的反思優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=，或cosC=

反思1：此題出現(xiàn)了兩個(gè)答案.兩個(gè)答案都正確嗎？用什么方法檢驗(yàn)?zāi)兀繖z驗(yàn)的切入點(diǎn)又是什么呢？通過設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生思考和反思.在△ABC中，由題設(shè)條件容易判斷B為銳角，但很難判斷A是銳角還是鈍角，所以導(dǎo)致了增解.此題應(yīng)該從所給角的三角函數(shù)值入手，求出角的范圍，再利用內(nèi)角和定理便可消除增解.

所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=.

反思2：很容易判斷B為銳角，若A為銳角，則滿足題意；若A為鈍角，則有可能出現(xiàn)A+B≥π，那么sinC≤0，就會(huì)不滿足題意了，于是只要驗(yàn)證sinC的正負(fù)即可.判斷第三個(gè)角的正弦值的符號(hào)，操作方便，判斷明了，確實(shí)是一種好方法，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)和應(yīng)用.

所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=.

反思3：由題設(shè)條件易知B為銳角，但A不確定.在三角形中，根據(jù)“大邊對(duì)大角”的性質(zhì)并結(jié)合溝通邊角關(guān)系的正弦定理，很容易判斷a

反思4：人們習(xí)慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問題并尋求解決辦法，但有時(shí)從問題的相反面深入地進(jìn)行探索，讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展，即“逆向思維”，也會(huì)給解題帶來(lái)“柳暗花明”的效果.

由以上分析可知，學(xué)生的錯(cuò)誤在于受思維定式的干擾，沒有挖掘題中的隱含條件，因此導(dǎo)致解題的錯(cuò)誤.這道題是以相似題組出現(xiàn)的，考查學(xué)生解題的理解辨析能力，通過相似題組的求解，加強(qiáng)學(xué)生進(jìn)行“創(chuàng)造性”思維能力解題的培養(yǎng).

四、結(jié)束語(yǔ)

要進(jìn)行糾錯(cuò)分析須堅(jiān)持的基本態(tài)度：（1）解題錯(cuò)誤的產(chǎn)生總有其內(nèi)在的合理性，解題分析首先要對(duì)合理成分給予充分的理解.（2）要通過反例或啟發(fā)等途徑暴露矛盾，引發(fā)當(dāng)事者自我反省.（3）要正確指出錯(cuò)誤的地方，具體分析錯(cuò)誤的性質(zhì).（4）作為對(duì)錯(cuò)解的對(duì)比、補(bǔ)救或糾正，給出正確解法是絕對(duì)必要的.我們教師在平時(shí)的教學(xué)中，要充分相信學(xué)生，教學(xué)中要多給一點(diǎn)學(xué)生自由思考的時(shí)間，教師不能只按照自己事先想好的思路來(lái)教學(xué)，否則就會(huì)限制學(xué)生的思維，強(qiáng)扭學(xué)生的思維，題目剛出來(lái)就先進(jìn)行提示或分析，那樣做會(huì)扼殺學(xué)生的自主思維能力，剝奪學(xué)生的自由創(chuàng)造空間.在學(xué)生還沒來(lái)得及思考的時(shí)候，老師硬是用自己固定的思路框定他們的頭腦，使他們服從于已有的模式，這對(duì)他們思維能力的形成是個(gè)不小的打擊.離開了學(xué)生的“自主活動(dòng)”、“智力參與”、“個(gè)人體驗(yàn)”就沒有真正的學(xué)習(xí)了.把課堂還給學(xué)生，引發(fā)學(xué)生積極思維，讓每位學(xué)生在數(shù)學(xué)思維的世界里自由地翱翔，向習(xí)題課教學(xué)要效益，通過問題解決，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，讓每位學(xué)生主動(dòng)、積極地參與教學(xué).當(dāng)然，要做到這點(diǎn)，首先教師對(duì)習(xí)題的本身要有深入的研究，其次，對(duì)學(xué)生的課堂參與要給予足夠的激勵(lì)和引導(dǎo).把課堂還給學(xué)生，注意傾聽他們的聲音，點(diǎn)燃他們的思維之火.