田煒歌

吉林省長春市第七中學(xué)

三角函數(shù)學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)建議

田煒歌

吉林省長春市第七中學(xué)

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成模塊，在高考中幾乎是決定成敗的知識點(diǎn)，在學(xué)生未來的大學(xué)學(xué)習(xí)中也是理解周期性的基礎(chǔ)。但是，很多同學(xué)們在學(xué)習(xí)三角函數(shù)部分知識時(shí)，常常感覺吃力。這是為什么呢？

三角函數(shù)在知識考察難度上看，相比導(dǎo)數(shù)和圓錐曲線的考察難度并不是難點(diǎn)，一般都是小題或第一大題。但是從知識范圍上看，三角函數(shù)知識在高中教材中占的筆墨很多——共有70頁，而與三角函數(shù)密切相關(guān)的三角變換、解三角形模塊，在高考復(fù)習(xí)中往往都集中起來與三角函數(shù)知識一起復(fù)習(xí)，所占篇幅就更多了，這就說明三角函數(shù)知識所包含的小知識點(diǎn)多而雜。學(xué)生在復(fù)習(xí)這部分知識時(shí)，往往容易混淆基本概念，用錯(cuò)公式，理解失誤。甚至很多同學(xué)認(rèn)為只要把公式背下來，能不能答對都靠運(yùn)氣。

數(shù)學(xué)是理性的，數(shù)學(xué)方法作為解決問題基本方法已經(jīng)滲透到生活中的方方面面。只靠蒙猜來解題顯然是違背數(shù)學(xué)思維的，那么，怎么能學(xué)好三角函數(shù)知識在高考中致勝呢？以下的幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)與廣大師生分享。

一、透徹理解三角函數(shù)相關(guān)概念

數(shù)學(xué)中的概念都是從實(shí)際中抽象而來，并且應(yīng)用于解決更復(fù)雜的問題。在三角函數(shù)部分，需要學(xué)習(xí)兩個(gè)基本概念：一個(gè)是角的概念推廣，一個(gè)是三角函數(shù)的重新定義。這兩者的學(xué)習(xí)都可以比照初中知識分析理解。讓同學(xué)們分析其中的變化，來感受新定義的不同之處。

角的定義的變化就是在為三角函數(shù)最具代表的性質(zhì)——周期性做鋪墊。同學(xué)們在解答三角函數(shù)的題型時(shí)，常常忘記三角函數(shù)的周期性而導(dǎo)致出錯(cuò)，如果在角的推廣學(xué)習(xí)是就能理解記憶周期性，那么，在高考中將會避免這樣的失誤。

在三角函數(shù)的定義中，初中時(shí)用直角三角形定義，高中是用單位圓與角的終邊的交點(diǎn)坐標(biāo)來定義的，在這個(gè)定義中，高中三角函數(shù)知識的復(fù)雜性就體現(xiàn)的很明顯。在求任意角的三角函數(shù)值時(shí)，往往因?yàn)楦拍罾斫獠坏轿?，使解題過程復(fù)雜化。其實(shí)在這一部分學(xué)習(xí)時(shí)，有一個(gè)常用概念往往被同學(xué)們忽視——三角函數(shù)線。三角函數(shù)線定義在教材中位置不顯，但在理解三角函數(shù)上的作用與三角函數(shù)定義是一樣的，而且，由于三角函數(shù)線具有圖形特征，在解決問題時(shí)更容易被使用。例如，誘導(dǎo)公式的發(fā)現(xiàn)和三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)都是由三角函數(shù)線來解決的。所以在學(xué)習(xí)高中三角函數(shù)定義時(shí)，筆者認(rèn)為同學(xué)們應(yīng)該同時(shí)理解兩個(gè)定義——交點(diǎn)坐標(biāo)定義與三角函數(shù)線定義。

二、學(xué)會使用合適的三角公式解決三角問題

在三角部分的公式很多——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、六組誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式以及正（余）弦定理，在解題中還常用一些導(dǎo)出的公式，例如：半角公式、輔助角公式。常常讓同學(xué)們頭昏眼花，不知何去何從。這里給大家提供一個(gè)思路，首先公式不是背的越多越好，要抓住每一個(gè)公式是怎么來的，同時(shí)要知道公式是做什么用的；其次使用公式之前要觀察所求與已知的聯(lián)系。

同角三角函數(shù)公式應(yīng)用時(shí)，所求角與已知角是同一個(gè)角，在現(xiàn)階段只研究一個(gè)角的正弦值、余弦值、正切值之間的關(guān)系。所涉及的常見題型為：第一已知正弦值、余弦值、正切值中的一個(gè)值求其他的值；第二將給定的包含多個(gè)三角函數(shù)值的式子化簡求值。公式的作用主要就是求值和化簡。

同樣的，六組誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式的作用也是求值和化簡，但是區(qū)別在于所求角與已知角的關(guān)系：所求角與已知角的差（和）是90°或180°，常常使用誘導(dǎo)公式，所求角與已知角的和（差）是特殊角的題常常使用和差公式，所求角與已知角有二倍關(guān)系常常使用二倍角公式。這其中最常用的是和差公式。半角公式是二倍角公式的逆用，輔助角公式是和差公式的逆用。

最后是正余弦定理，其作用在于轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系，在解題時(shí)，將角都化邊或者邊都化角是基本思想。此外，要找清楚什么樣的三角形可以解，什么條件的三角形會出現(xiàn)多個(gè)解，這些最基本方法。在教材中都有類似的例題。不要把精力放在復(fù)雜題型上，應(yīng)該多關(guān)注基本方法，不要做很多題，而是要觀察題與題之間的聯(lián)系，觀察相同點(diǎn)，找出不同的試題中不變的東西，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。

三、從周期性上理解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的變化

三角函數(shù)最有代表的性質(zhì)就是周期性，如果將三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)列成表格，會占很大篇幅，多數(shù)教輔書籍上都會這樣去列表，但同學(xué)們在記憶使用時(shí)，總是會感覺混亂，每一個(gè)小表格中寫的公式都是很相似的一長串，死記硬背很容易出錯(cuò)，單調(diào)區(qū)間、對稱軸等等性質(zhì)的書寫方式也不唯一。所以，在學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)圖象與性質(zhì)時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注它的周期性，不要只看[0,2π]一個(gè)周期區(qū)間的圖象，要結(jié)合前一個(gè)或后一個(gè)周期區(qū)間的圖象，來觀察記憶性質(zhì)。要知道單調(diào)區(qū)間、最值、對稱軸、對稱中心等，都是周期性出現(xiàn)的。

四、融會貫通提倡一題多解

一題多解是提高興趣與數(shù)學(xué)能力的重要途徑，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，每個(gè)人都有其與眾不同的思維，在高中數(shù)學(xué)中，很多知識模塊都可以和三角函數(shù)知識有聯(lián)系，例如不等式、平面向量、解析幾何等。三角函數(shù)所具有的靈活性會使問題得到多種解答，嘗試對一個(gè)試題找到多種解法，比多做試題只死記硬背一種解法要有效的多。

以上是筆者對三角知識學(xué)習(xí)的一些建議，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)和教師們的講授有所幫助。