冉茂盛,黃 俊,蔣衛(wèi)艷

(1.重慶大學(xué)經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院,重慶400030; 2.香港理工大學(xué)建筑及房地產(chǎn)學(xué)系,中國香港999077)

考慮定額傭金的一口價(jià)拍賣模型

冉茂盛1,黃 俊1,蔣衛(wèi)艷2

(1.重慶大學(xué)經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院,重慶400030; 2.香港理工大學(xué)建筑及房地產(chǎn)學(xué)系,中國香港999077)

賣方將拍品委托給拍賣行進(jìn)行拍賣時(shí),拍賣行通常向獲勝者收取一個(gè)定額的傭金,基于這種情況,建立了考慮定額傭金的一口價(jià)拍賣模型.運(yùn)用博弈理論,首先分析了投標(biāo)者的均衡策略,然后研究了賣方的最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)一口價(jià),最后研究了拍賣行收取的最優(yōu)定額傭金.研究發(fā)現(xiàn),與不考慮傭金收取的模型不同,在考慮傭金收取的模型中,投標(biāo)者選擇一口價(jià)的概率為正,即賣方在拍賣中設(shè)置一口價(jià)可以提高其收益,且賣方的最優(yōu)保留價(jià)大于不設(shè)置一口價(jià)的模型中的最優(yōu)保留價(jià);拍賣行收取的最優(yōu)定額傭金小于不設(shè)置一口價(jià)的模型中的最優(yōu)定額傭金.

獨(dú)立私人價(jià)值;定額傭金;保留價(jià);一口價(jià)

1 引 言

拍賣在人類社會(huì)中的應(yīng)用已有數(shù)千年歷史,是一種有效的價(jià)格發(fā)現(xiàn)和資源配置機(jī)制,拍賣相關(guān)的理論研究始于半個(gè)多世紀(jì)前Vickrey[1]的開創(chuàng)性論文.進(jìn)入新世紀(jì)以來,隨著網(wǎng)上拍賣的興起,在各主要拍賣網(wǎng)站上出現(xiàn)了一種結(jié)合拍賣和標(biāo)價(jià)出售特征的混合機(jī)制,即一口價(jià)拍賣.此時(shí),任何投標(biāo)者都有權(quán)選擇結(jié)束拍賣并按賣方設(shè)置的一口價(jià)獲得拍品.根據(jù)一口價(jià)的不同性質(zhì),Mathews等[2]將其分為持久一口價(jià)和臨時(shí)一口價(jià)兩種形式.持久一口價(jià)中的一口價(jià)選項(xiàng)在整個(gè)拍賣期間一直存在,而臨時(shí)一口價(jià)中一口價(jià)選項(xiàng)在拍賣結(jié)束之前失效.在拍賣實(shí)踐中,持久一口價(jià)方式被楊興麗等[3]采用,臨時(shí)一口價(jià)方式主要被蘇富比和eBay等拍賣公司采用.

Lucking–Reiley[4]最早注意到一口價(jià)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用,之后相關(guān)理論研究大量出現(xiàn).期望收益比較是拍賣研究的重要內(nèi)容,根據(jù)比較對(duì)象的不同,可將現(xiàn)有文獻(xiàn)分為兩類.一類文獻(xiàn)研究不同類型一口價(jià)之間的期望收益比較問題,主要比較臨時(shí)一口價(jià)拍賣和永久一口價(jià)拍賣的期望收益.Zoltan等[5]對(duì)傳統(tǒng)和受限兩種不同策略下一口價(jià)拍賣買方收益進(jìn)行了比較.Reynolds等[6]在投標(biāo)者風(fēng)險(xiǎn)厭惡的前提下,比較了臨時(shí)一口價(jià)模型和持久一口價(jià)模型的期望收益.在國內(nèi)的文獻(xiàn)中,田劍等[7]基于組合拍賣規(guī)則,比較了固定一口價(jià)和持久一口價(jià)的賣方期望收益.

另一類文獻(xiàn)主要比較一口價(jià)拍賣和標(biāo)準(zhǔn)拍賣的期望收益,即研究一口價(jià)成因問題.傳統(tǒng)理論認(rèn)為拍賣給賣方帶來的收益大于標(biāo)價(jià)出售機(jī)制[8]的收益,從而賣方無需設(shè)置一口價(jià)選項(xiàng),這與現(xiàn)實(shí)中一口價(jià)拍賣的流行相矛盾.為此,越來越多的文獻(xiàn)開始研究拍賣中一口價(jià)存在的原因.現(xiàn)有文獻(xiàn)大致將賣方設(shè)置一口價(jià)的動(dòng)因歸為五類:1)投標(biāo)者或賣方的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避.基于投標(biāo)者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的前提,Budish[9]和Ivanova–Stenzel等[10]發(fā)現(xiàn),在拍賣中設(shè)置一口價(jià)選項(xiàng)可以提高賣方期望收益.而Mathews等[2]則證明了賣方風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避前提下賣方設(shè)置一口價(jià)的必要性.2)投標(biāo)者的交易成本.Wang等[11]發(fā)現(xiàn),如果投標(biāo)者參與拍賣會(huì)產(chǎn)生固定的交易成本,那么賣方會(huì)從設(shè)置一口價(jià)中獲益.3)投標(biāo)者或賣方的無耐心.Mathews[12]構(gòu)建了投標(biāo)者或賣方無耐心的臨時(shí)一口價(jià)拍賣模型,發(fā)現(xiàn)當(dāng)賣方或買方中的一方耐心而另一方不耐心時(shí),設(shè)置一口價(jià)可以提高賣方期望收益.4)賣方間的競(jìng)爭(zhēng)且投標(biāo)者有多個(gè)物品需求.Kirkegaard等[13]和Anwar等[14]發(fā)現(xiàn),在有多個(gè)競(jìng)爭(zhēng)性賣方的多物品拍賣中,賣方會(huì)因設(shè)置一口價(jià)而獲益.5)錨定效應(yīng).Shunda[15]發(fā)現(xiàn)如果投標(biāo)者的出價(jià)具有關(guān)于保留價(jià)和一口價(jià)的錨定效應(yīng),那么賣方有激勵(lì)設(shè)置一口價(jià)選項(xiàng).若不考慮以上五種因素,追求自身收益最大化的賣方不能通過設(shè)置一口價(jià)選項(xiàng)來提高其期望收益,因而不會(huì)設(shè)置一口價(jià).

除以上五個(gè)因素外[2,9-15],現(xiàn)有文獻(xiàn)中未見其它一口價(jià)存在動(dòng)因的研究.而在現(xiàn)實(shí)中,除了賣方和投標(biāo)者這兩個(gè)主體外,拍賣中的第三方主體—拍賣行(又稱代理商)往往會(huì)對(duì)拍賣結(jié)果產(chǎn)生影響.拍賣行通常按定額或成交價(jià)一定比例向獲勝的投標(biāo)者收取傭金.關(guān)于按成交價(jià)一定比例收取傭金的研究較多,王彥等[16]首先把傭金率引入了一級(jí)和二級(jí)價(jià)格密封拍賣中進(jìn)行分析.在此基礎(chǔ)上,劉樹林等[17]和王明喜等[18]進(jìn)一步研究了拍賣中保留價(jià)和傭金率的設(shè)置問題.盡管現(xiàn)實(shí)中同樣普遍存在按定額收取傭金的情形,例如拍賣網(wǎng)站的注冊(cè)費(fèi)和陳列費(fèi)[19]、房屋中介費(fèi)等,但相關(guān)的理論研究較為缺乏.通過將定額傭金引入到一口價(jià)拍賣中,本文證實(shí)了在拍賣中賣方設(shè)置一口價(jià)的必要性,即一口價(jià)的存在可以提高其期望收益.于是,除上面涉及的五個(gè)動(dòng)因外[2,9-15],拍賣行的存在及其收取固定傭金的行為是賣方在拍賣中設(shè)置一口價(jià)的可能原因,從而進(jìn)一步擴(kuò)展了拍賣中一口價(jià)存在動(dòng)因的理論研究.與Wang等[11]的固定交易成本動(dòng)因不同,拍賣行僅對(duì)獲勝者收取定額傭金,而未獲得物品的投標(biāo)者不需要支付,且定額傭金轉(zhuǎn)化為了拍賣行的收益,故而可以進(jìn)行內(nèi)生化,且對(duì)定額傭金的分析擴(kuò)展了現(xiàn)有的傭金拍賣理論[16-18].新拍賣機(jī)制對(duì)拍賣實(shí)踐的指導(dǎo)主要體現(xiàn)在兩方面.一方面,從賣方的角度,對(duì)于需要通過拍賣行進(jìn)行的拍賣,由于賣方設(shè)置一口價(jià)可以提高其期望收益,故現(xiàn)實(shí)中的賣方應(yīng)該采用一口價(jià)拍賣機(jī)制.另一方面,從拍賣行的角度,通過將定額傭金內(nèi)生化,給出了拍賣行應(yīng)向賣方收取的最優(yōu)定額傭金,從而為現(xiàn)實(shí)中拍賣行(或拍賣中介)收取定額傭金的決策提供建議.以拍賣網(wǎng)站為例,拍賣網(wǎng)站可以據(jù)此決定向賣方收取的拍賣陳列費(fèi)的數(shù)額.

為此本文構(gòu)建了考慮定額傭金和保留價(jià)的一口價(jià)拍賣模型,研究了投標(biāo)者、賣方和拍賣行三方的均衡策略,并特別在給定賣方策略的前提下,對(duì)拍賣行的定額傭金進(jìn)行了內(nèi)生化.

2 考慮定額傭金的一口價(jià)拍賣模型

假定唯一賣方通過一口價(jià)拍賣出售一個(gè)不可分割的物品,有n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的投標(biāo)者,投標(biāo)者i對(duì)拍品的估價(jià)vi為私人信息.每個(gè)投標(biāo)者的估價(jià)在區(qū)間[vL,vH]上獨(dú)立同分布,其分布函數(shù)F(·)及相應(yīng)密度函數(shù)f(·)在(vL,vH)上連續(xù)可微且為正.假定(1-F(v))/f(v)在區(qū)間[vL,vH]上關(guān)于v單調(diào)遞減.在拍賣階段,拍賣行向獲勝的投標(biāo)者收取的定額傭金為c.

考慮定額傭金的一口價(jià)拍賣包括如下三個(gè)階段:

1)給定拍賣行收取的傭金為c,賣方設(shè)置保留價(jià)r和一口價(jià)B*;或者給定賣方保留價(jià)r和一口價(jià)B*,拍賣行設(shè)置傭金水平c;

2)基于保留價(jià)r,一口價(jià)B*和傭金c,所有投標(biāo)者同時(shí)獨(dú)立的決定是否執(zhí)行一口價(jià)選項(xiàng).選擇一口價(jià)的投標(biāo)者獲得物品,并支付一口價(jià)B*,如果有多個(gè)投標(biāo)者選擇一口價(jià),則賣方通過隨機(jī)方式?jīng)Q定物品所有者;

3)若沒有投標(biāo)者選擇一口價(jià)選項(xiàng),則賣方通過二級(jí)價(jià)格密封拍賣出售物品.物品由出價(jià)最高的投標(biāo)者獲得,其支付為成交價(jià)加上傭金c.

容易看出,當(dāng)有投標(biāo)者選擇一口價(jià)時(shí),一口價(jià)拍賣在第二階段后結(jié)束;當(dāng)沒有投標(biāo)者選擇一口價(jià)時(shí),一口價(jià)拍賣在第三階段后結(jié)束.該機(jī)制與文獻(xiàn)[2]中的機(jī)制類似,蘇富比和eBay等也運(yùn)用了類似的機(jī)制進(jìn)行拍賣.需要注意的是,由于第二階段的一口價(jià)與傳統(tǒng)標(biāo)價(jià)出售方式類似,組織成本較低且對(duì)專業(yè)性要求不高,故拍賣行對(duì)一口價(jià)不收取傭金.在第三階段的二級(jí)價(jià)格密封拍賣中,由于對(duì)專業(yè)性的要求和組織成本較高,賣方需要聘請(qǐng)拍賣行舉行拍賣,因此拍賣行僅在第三階段收取傭金.

對(duì)于投標(biāo)者而言,若未獲得物品,則其收益為零;若獲得物品,則其收益為估價(jià)與實(shí)際支付(包括對(duì)賣方和對(duì)拍賣行的支付)之差.如果在第二階段投標(biāo)者選擇一口價(jià)選項(xiàng),那么具有私人價(jià)值v的獲勝投標(biāo)者收益為v-B*.用b(v)表示具有私人價(jià)值v的投標(biāo)者在第三階段的Bayes-Nash均衡投標(biāo)策略,顯然b(v)≥r.如果投標(biāo)者不選擇一口價(jià),則在拍賣中獲勝的投標(biāo)者收益為v-b(y)-c,其中y表示次高投標(biāo)所對(duì)應(yīng)的投標(biāo)者私人價(jià)值.令≡c+r,表示參與第三階段拍賣的投標(biāo)者所應(yīng)具有的最低私人價(jià)值.私人價(jià)值v小于的投標(biāo)者參與第三階段的拍賣收益為負(fù),故b(v)=0對(duì)所有成立.此時(shí),只有私人價(jià)值v大于等于的投標(biāo)者才有激勵(lì)參與拍賣.易知,隨著傭金c和保留價(jià)r的增大而增大.由于本文主要研究臨時(shí)一口價(jià)拍賣,為保證第三階段拍賣發(fā)生的可能性,假設(shè)一口價(jià)B*≥,否則一口價(jià)拍賣退化為傳統(tǒng)的標(biāo)價(jià)出售.若c=0,則考慮傭金的一口價(jià)拍賣模型退化為文獻(xiàn)[2]中的傳統(tǒng)一口價(jià)拍賣模型.

由于一口價(jià)拍賣的參與者基于自身期望收益最大化進(jìn)行決策,故可采用逆向遞推法,首先分析第二、三階段投標(biāo)者的均衡投標(biāo)策略,然后分析第一階段賣方的保留價(jià)和一口價(jià)設(shè)置策略或拍賣行的傭金設(shè)置策略.

在一口價(jià)拍賣模型中,投標(biāo)者的目標(biāo)為在給定r,B*和c的前提下,選擇合適的策略以最大化其期望收益.一個(gè)完整的投標(biāo)者策略包括如下三個(gè)部分:1)投標(biāo)者決定是否參與帶傭金和保留價(jià)的一口價(jià)拍賣;2)投標(biāo)者決定是否選擇一口價(jià)選項(xiàng);3)若不選擇一口價(jià),投標(biāo)者設(shè)置在第三階段拍賣中的投標(biāo)策略.

為分析投標(biāo)者的策略,定義B(v,r,c)為使具有私人價(jià)值v的投標(biāo)者對(duì)是否選擇一口價(jià)無差異的一口價(jià)水平[3].定義使得成立;若對(duì)所有v∈[vL,vH],有B(v,r,c)＜B*成立,則定義=vH.實(shí)際上,投標(biāo)者是否選擇一口價(jià)取決于私人價(jià)值v與的大小關(guān)系.根據(jù)假定B*≥,下面給出投標(biāo)者的均衡策略.

定理1在考慮定額傭金的一口價(jià)拍賣中,存在一個(gè)對(duì)稱且唯一的Bayes-Nash均衡策略.當(dāng)且僅當(dāng)B*＜B(vi,r,c)時(shí),具有私人價(jià)值vi的投標(biāo)者i選擇一口價(jià),其中

否則,投標(biāo)者i不選擇一口價(jià),其在第三階段中的投標(biāo)策略為b(vi)=vi-c,其中

定理1的證明見附錄A1.

實(shí)際上,B(v,r,c)表示具有私人價(jià)值v的投標(biāo)者所能接受的最高一口價(jià)水平.當(dāng)賣方設(shè)置的一口價(jià)B*＜B(v,r,c)時(shí),投標(biāo)者選擇一口價(jià);當(dāng)賣方設(shè)置的一口價(jià)B*≥B(v,r,c)時(shí),投標(biāo)者不選擇一口價(jià).而由第二階段策略可知,給定的前提,如果私人價(jià)值v≥,那么投標(biāo)者參與一口價(jià)拍賣;否則,投標(biāo)者不參與一口價(jià)拍賣.將v=v代入式(1),可得初始條件再定義若賣方設(shè)置的一口價(jià)B*＞B(vH,r,c),則沒有任何投標(biāo)者選擇一口價(jià).如果給定的前提,那么第三階段的拍賣不會(huì)發(fā)生,進(jìn)一步的,若私人價(jià)值v≥B*,則投標(biāo)者選擇一口價(jià)選項(xiàng);否則,投標(biāo)者不參與一口價(jià)拍賣.圖1描述了考慮定額傭金的一口價(jià)拍賣中投標(biāo)者的決策過程.

圖1 考慮定額傭金的一口價(jià)拍賣中投標(biāo)者的決策過程Fig.1 The decision-making process for bidders in auction with buyout price and fxed commission

此外,根據(jù)式(1)可得下面的結(jié)論.

推論1在考慮定額傭金的一口價(jià)拍賣中,B(v,r,c)關(guān)于私人價(jià)值v,保留價(jià)r和傭金c單調(diào)遞增;投標(biāo)者第三階段投標(biāo)策略b(v)關(guān)于傭金c單調(diào)遞減.

推論1的證明見附錄A2.

由推論1可以看出:投標(biāo)者的私人價(jià)值越大,其能接受的一口價(jià)水平越高,因而更傾向于選擇一口價(jià);賣方設(shè)定的保留價(jià)越高,第三階段的拍賣對(duì)投標(biāo)者的吸引力越低,投標(biāo)者能接受的一口價(jià)水平越高,因而越傾向于選擇一口價(jià);拍賣行設(shè)定的傭金越高,投標(biāo)者越傾向于選擇一口價(jià).

3 賣方的最優(yōu)一口價(jià)與最優(yōu)保留價(jià)

在給定拍賣行傭金c的前提下,基于投標(biāo)者的均衡投標(biāo)策略,賣方的目標(biāo)為選擇合適的保留價(jià)r和一口價(jià)B*以最大化期望收益.假定物品對(duì)賣方而言沒有保留價(jià)值,根據(jù)定理1的結(jié)論和,可得一口價(jià)拍賣中賣方的期望收益,即

其中g(shù)(x)=nFn-1(x)f(x)為最高私人價(jià)值x的密度函數(shù);h(y|x)=((n-1)Fn-2(y)f(y))/Fn-1(x)為最高私人價(jià)值為x的前提下,次高私人價(jià)值y的條件密度函數(shù).

式(2)中等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)表示投標(biāo)者未選擇一口價(jià)而參與第三階段拍賣時(shí)賣方的期望收益,第二項(xiàng)表示投標(biāo)者選擇一口價(jià)時(shí)賣方的期望收益.將式(2)重新整理,得

定理2在考慮定額傭金的一口價(jià)拍賣中,給定由定理1所確定的投標(biāo)者的均衡策略和拍賣行設(shè)定的傭金c,賣方為使自身期望收益最大化而設(shè)置的最優(yōu)保留價(jià)r唯一且滿足r＞ra,其中ra表示不設(shè)置一口價(jià)時(shí)賣方的最優(yōu)保留價(jià)水平;賣方設(shè)置的最優(yōu)一口價(jià)因此,在考慮傭金收取的模型中,一口價(jià)有正的概率被投標(biāo)者所選擇.

定理2的證明見附錄A3.

于是,賣方的最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)一口價(jià)由式(A.6)和式(A.9)均為零時(shí)組成的方程組所確定.由定理2可以看出,傭金的存在增加了一口價(jià)相對(duì)于拍賣的吸引力,使得賣方在拍賣中可以設(shè)置更高的保留價(jià)水平,同時(shí)使得投標(biāo)者更傾向于選擇一口價(jià),此時(shí)的一口價(jià)低于具有私人價(jià)值vH的投標(biāo)者所能接受的最高一口價(jià)水平.因此,為提高期望收益,賣方有激勵(lì)在拍賣中增加一口價(jià)選項(xiàng).根據(jù)推論1,B(v,r,c)關(guān)于v單調(diào)遞增,故定理2中的B*＜B(vH,r,c)意味著私人價(jià)值的投標(biāo)者會(huì)選擇一口價(jià).此時(shí),一口價(jià)被選擇的概率等于n個(gè)投標(biāo)者中至少有一個(gè)投標(biāo)者私人價(jià)值大于的概率,為.顯然,對(duì)于,有

特別地,當(dāng)c=0時(shí),模型退化為Mathews等[2]定理1中的傳統(tǒng)一口價(jià)拍賣模型,由其定理1可以得到B*≥B(vH,r,c).于是,在不考慮傭金的一口價(jià)拍賣中,投標(biāo)者不會(huì)選擇一口價(jià)選項(xiàng),且此時(shí)的一口價(jià)水平較考慮定額傭金的模型要高.也就是說,若不考慮傭金收取,賣方設(shè)置一口價(jià)不會(huì)提高其在拍賣中的期望收益,故賣方?jīng)]有激勵(lì)設(shè)置一口價(jià).

4 拍賣行的最優(yōu)定額傭金

在給定賣方保留價(jià)r和一口價(jià)B*的前提下,基于投標(biāo)者的均衡投標(biāo)策略,拍賣行的目標(biāo)為選擇合適的傭金c以最大化期望收益.根據(jù)第2節(jié)假設(shè),拍賣行僅對(duì)第三階段的拍賣收取傭金,而不對(duì)一口價(jià)收取傭金.于是,拍賣行的期望收益為

其中g(shù)(x)和h(y|x)的含義同上.

式(4)可重新整理為

下面給出一口價(jià)拍賣中拍賣行的傭金策略.

定理3在考慮定額傭金的一口價(jià)拍賣中,給定由定理1所確定的投標(biāo)者的均衡策略和賣方設(shè)定的保留價(jià)r和一口價(jià)B*,拍賣行使自身期望收益最大化而設(shè)置的最優(yōu)定額傭金滿足c＜ca,其中ca表示不設(shè)置一口價(jià)時(shí)拍賣行的最優(yōu)傭金水平.

定理3的證明見附錄A4.

于是,拍賣行的最優(yōu)定額傭金由式(A.11)為零時(shí)的方程所確定.定理3顯示:若賣方在拍賣中設(shè)置一口價(jià)選項(xiàng),則拍賣行會(huì)收取較低的傭金.在不考慮一口價(jià)的模型中,最優(yōu)定額傭金取決于以下三種效應(yīng):1)提高傭金可以增加拍賣行的事后收益,為正效應(yīng);2)提高傭金使參與拍賣的“門檻”更高,傭金越高參與一口價(jià)拍賣所要求的私人價(jià)值越高,這減少了投標(biāo)人的數(shù)量,為負(fù)效應(yīng);3)提高傭金使得投標(biāo)人的報(bào)價(jià)策略更為保守,為負(fù)效應(yīng).而在本文模型中,除上述效應(yīng)外,由于增加了一口價(jià)選項(xiàng),若拍賣行提高傭金,則對(duì)投標(biāo)者而言第三階段拍賣相對(duì)于一口價(jià)的吸引力下降,故為負(fù)效應(yīng).這一效應(yīng)的存在使得理性的拍賣行設(shè)置的定額傭金低于不考慮一口價(jià)的模型中的最優(yōu)傭金.

進(jìn)一步,當(dāng)c=0時(shí),由式(A.10)可得

這意味著,追求收益最大化的拍賣行設(shè)置的傭金c＞0.

當(dāng)c≥B*-r時(shí),有B*≤c+r,故投標(biāo)者不會(huì)選擇第三階段的拍賣,此時(shí)拍賣行的期望收益為零;當(dāng)c=B*-r時(shí),有B*=c+r,由邊界條件及B(v,r,c)關(guān)于v單調(diào)遞減,可得此時(shí)于是,由式(A.11)和(A.13)可得

這意味著,在給定賣方保留價(jià)r和一口價(jià)B*的前提下,追求收益最大化的拍賣行設(shè)置的傭金c＜B*-r,此時(shí)B*＞c+r.

5 數(shù)值算例

在給定c的前提下,根據(jù)式(3),可得賣方的期望收益

當(dāng)c=0.1時(shí),由式(8)和可得或=1.558 3,r=0.45,= 0.55(根據(jù)二階條件,舍去).進(jìn)一步,由式(6)可得B*=0.575 1.由于故B*＜B(1,0.45,0.1)=0.651 3,與定理2結(jié)論相符.同時(shí),在不考慮一口價(jià)的模型中,當(dāng)c=0.1時(shí),根據(jù)式(A.6)計(jì)算可得ra=0.4.顯然,有r＞ra成立,這也與定理2結(jié)論相符.給定c在區(qū)間[0,0.25]上,圖2描述了帶傭金的一口價(jià)拍賣中賣方設(shè)置的最優(yōu)一口價(jià)及相應(yīng)的B(vH,r,c);而圖3描述了帶傭金的一口價(jià)拍賣中賣方設(shè)置的保留價(jià)r與帶傭金的傳統(tǒng)拍賣中賣方設(shè)置的保留價(jià)ra.

如果給定r和B*,根據(jù)式(4),可得拍賣行的期望收益

為最大化拍賣行的期望收益,令RH(c)關(guān)于c的一階導(dǎo)數(shù)為0,有

給定r=0.4和B*=0.6,則由式(6)可得及.將上述數(shù)值代入式(10),可得c=0.097 6.進(jìn)一步的,可得和v=0.497 9.而在不考慮一口價(jià)的模型中,當(dāng)r=0.4時(shí),根據(jù)式(A.11)計(jì)算可得ca=0.325 9.顯然,有c＜ca成立,與定理3的結(jié)論相符.

圖2 定額傭金模型中的B*及B(vH,r,c)Fig.2 B*and B(vH,r,c)in fxed commission model

圖3 定額傭金模型的r和傳統(tǒng)模型的raFig.3 r in fxed commission model and rain conventional model

6 結(jié)束語

本文將定額傭金和一口價(jià)引入獨(dú)立私人價(jià)值拍賣模型中,研究了投標(biāo)者、賣方和拍賣行三方參與者之間的博弈行為.根據(jù)期望收益最大化目標(biāo),推出了投標(biāo)人的Bayes-Nash均衡投標(biāo)策略,并分析了投標(biāo)者所能接受的最高一口價(jià)水平關(guān)于私人價(jià)值、保留價(jià)和定額傭金的單調(diào)性.然后,在給定傭金的前提下,研究了賣方最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)一口價(jià)的決定.此時(shí)賣方設(shè)置的保留價(jià)大于不考慮一口價(jià)的拍賣中的最優(yōu)保留價(jià),而賣方設(shè)置的一口價(jià)低于私人價(jià)值為vH的投標(biāo)者所能接受的最高一口價(jià)水平.不同于現(xiàn)有文獻(xiàn)從風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避[2,9]、交易成本[11]、參與者耐心[12]、多物品需求[13,14]和錨定效應(yīng)[15]等五個(gè)方面對(duì)一口價(jià)存在動(dòng)因的解釋,本文發(fā)現(xiàn)拍賣中介的存在使得理性的賣方通過引入一口價(jià)選項(xiàng)可以提高在拍賣中的期望收益,即拍賣行收取傭金是一口價(jià)存在的重要?jiǎng)右?最后,在給定保留價(jià)和一口價(jià)的前提下,將定額傭金內(nèi)生化,分析了拍賣行最優(yōu)定額傭金的決定,此時(shí)拍賣行設(shè)置的傭金小于不考慮一口價(jià)情形下的最優(yōu)傭金.

出于簡(jiǎn)化分析的需要,本文只分析了B*＞c+r情形下的模型,實(shí)際上賣方也可設(shè)置B*≤c+r,但此時(shí)第三階段拍賣不可能發(fā)生.若將此情形納入分析,最終結(jié)果取決于能實(shí)現(xiàn)較大期望收益的一口價(jià).本文對(duì)賣方或拍賣行行為的分析是基于另一方的行為是外生給定的前提下,后續(xù)的研究可以考慮建立一個(gè)動(dòng)態(tài)博弈模型.例如,研究賣方、拍賣行和投標(biāo)者依次決策的考慮定額傭金的一口價(jià)拍賣模型.此外,還可以考慮將研究由單屬性情形擴(kuò)展到多屬性情形[20].

[1]Vickrey W.Counterspeculation,auctions,and competitive sealed tenders.Journal of Finance,1961,16(1):8–37.

[2]Mathews T,Katzman B.The role of varying risk attitudes in an auction with a buyout option.Economic Theory,2006,27(3): 597–613.

[3]楊興麗,陳 霞,呂廷杰.網(wǎng)上一口價(jià)拍賣顧客投標(biāo)策略研究.管理科學(xué),2007,20(4):57–61. Yang X L,Chen X,L¨uT J.Study on bidding strategies in online auctions with buyout price.Journal of Management Science,2007, 20(4):57–61.(in Chinese)

[4]Lucking–Reiley D.Auctions on the internet:What’s being auctioned,and how.Journal of Industrial Economics,2000,48(3):227–252.

[5]Zoltan H,Wang W,Whinston A B.Buy-price English auction.Journal of Economic Theory,2006,129(1):31–56.

[6]Reynolds S,Wooders J.Auctions with a buy price.Economic Theory,2009,38(1):9–39.

[7]田 劍,高 杰.不同一口價(jià)網(wǎng)上組合拍賣規(guī)則下拍賣方收益分析.系統(tǒng)管理學(xué)報(bào),2012,21(2):246–251. Tian J,Gao J.Analysis on revenue of auctioneer in different buyout prices in online combinatorial auctions.Jourmal of Systems and Management,2012,21(2):246–251.(in Chinese)

[8]Wang R.Auctions versus posted-price selling.American Economic Review,1993,83(4):838–851.

[9]Budish T.Buy prices in online auctions:Irrationality on the internet.Economic Letters,2001,72(3):325–333.

[10]Ivanova-Stenzel R,Kroger S.Price formation in a sequential selling mechanism.Journal of Economic Behavior and Organization, 2008,67(3/4):832–843.

[11]Wang X,Montgomery A,Srinivasan K.When auction meets fxed price:A theoretical and empirical examination of buy-it-now auctions.Quantitative Marketing and Economics,2008,6(4):339–370.

[12]Mathews T.The impact of discounting on an auction with a buyout option:A theoretical analysis motivated by eBay’s buy-it-now feature.Journal of Economics,2004,81(1):25–52.

[13]Kirkegaard R,Overgaard B.Buy-out prices in auctions:Seller competition and multi-unit demands.RAND Journal of Economics, 2008,39(3):770–789.

[14]Anwar S,Zheng L.Posted price selling and online auctions.Games and Economic Behavior,2015,90(1):81–92.

[15]Shunda N.Auctions with a buy price:The case of reference-dependent preferences.Games and Economic Behavior,2009,67(2): 645–664.

[16]王 彥,畢志偉,李楚霖.傭金收取對(duì)拍賣結(jié)果的影響.管理科學(xué)學(xué)報(bào),2004,74(4):45–48. Wang Y,Bi Z W,Li C L.Effect of commission on auctions.Journal of Management Sciences in China,2004,74(4):45–48.(in Chinese)

[17]劉樹林,楊衛(wèi)星.第一價(jià)格密封拍賣中的最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)傭金率研究.經(jīng)濟(jì)研究,2011,11(1):145–156. Liu S L,Yang W X.Study on optimal reserve price and optimal commission rate of a frst-price sealed-bid auction model.Economic Research Journal,2011,11(1):145–156.(in Chinese)

[18]王明喜,劉樹林,汪壽陽.帶傭金率和保留價(jià)的一級(jí)和二級(jí)價(jià)格拍賣.管理評(píng)論,2012,24(3):24–32. Wang M X,Liu S L,Wang S Y.The frst-price and second-price auctions with both commission rate and reserve price.Management Review,2012,24(3):24–32.(in Chinese)

[19]王 宏.多物品網(wǎng)上拍賣的最優(yōu)設(shè)計(jì).管理科學(xué)學(xué)報(bào),2011,14(12):1–16. Wang H.Optimal mechanism design for multi-unit online auctions.Journal of Management Sciences in China,2011,14(12):1–16. (in Chinese)

[20]洪宗友,汪定偉.多屬性招標(biāo)拍賣中買賣雙方的最優(yōu)策略研究.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2014,29(4):458–467. Hong Z Y,Wang D W.Optimal strategies of auctioneer and bidders in multi-attribute procurement auctions.Journal of Systems Engineering,2014,29(4):458–467.(in Chinese)

附錄A1 定理1的證明

考慮給定保留價(jià)r、一口價(jià)B*和傭金c前提下,具有私人價(jià)值vi的投標(biāo)者i的投標(biāo)策略.假定其他(n-1)個(gè)投標(biāo)者采用定理1中的策略,且在私人價(jià)值大于時(shí)投標(biāo)者才會(huì)選擇一口價(jià)選項(xiàng).再根據(jù)式(1)和定義滿足因此,只需證投標(biāo)者i同樣按照定理1中的策略進(jìn)行投標(biāo).

然后證第二階段的一口價(jià)策略.具有私人價(jià)值vi的投標(biāo)者i不選擇一口價(jià)時(shí)的期望收益為

其中式(A.1)第一個(gè)等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)為其他(n-1)個(gè)投標(biāo)者的私人價(jià)值均小于時(shí)投標(biāo)者的期望收益;第二項(xiàng)為其他(n-1)個(gè)投標(biāo)者中最大私人價(jià)值大于時(shí)投標(biāo)者i的期望收益.

投標(biāo)者i選擇一口價(jià)時(shí)的期望收益為(vi-B*)與獲得物品概率的乘積,即

其中上式最后一行由二項(xiàng)式定理可得.

重新整理,可得

由式(1)知B(v,r,c)=v-n(1-F(v))/(1-Fn(v)),結(jié)合式(A.3)可得,即投標(biāo)者i采用跟其他(n-1)個(gè)投標(biāo)者相同的策略.

證畢.

附錄A2推論1的證明

由式(A.4),可以直接得到B(v,r,c)關(guān)于v單調(diào)遞增.

證畢.

附錄A3 定理2的證明

先看不設(shè)置一口價(jià)的拍賣中賣方的最優(yōu)保留價(jià)水平ra.此時(shí),賣方的期望收益為

上式關(guān)于r求一階導(dǎo)數(shù),有

于是,最優(yōu)保留價(jià)ra滿足

其中va=c+ra.

再看設(shè)置一口價(jià)的拍賣中賣方的最優(yōu)保留價(jià)水平r.由式(3),關(guān)于r求一階偏導(dǎo)數(shù),得

因此,由式(A.7)可得r＞ra.

與Mathews等[2]定理2方法類似,欲證只要證由式(A.9),有

證畢.

附錄A4 定理3的證明

先看不設(shè)置一口價(jià)的拍賣中拍賣行的最優(yōu)傭金水平ca.此時(shí),拍賣行的期望收益為

上式關(guān)于c求一階導(dǎo)數(shù),有

于是,最優(yōu)傭金水平ca滿足

其中va=ca+r.

再看設(shè)置一口價(jià)的拍賣中拍賣行的最優(yōu)傭金水平c.由式(5),關(guān)于c求一階導(dǎo)數(shù),有

Auctions with buyout price and fxed commission

Ran Maosheng1,Huang Jun1,Jiang Weiyan2
(1.School of Economics and Business Administration,Chongqing University,Chongqing 400030,China; 2.Department of Building and Real Estate,The Hongkong Polytechnic University,Hong Kong 999077,China)

When a seller auction items entrusted to the auction house,the auction house will take some fxed commission from the winner of the auction.Based on such situation,an auction model with buyout price and fxed commission is established.By the method of game theory,the bidders’equilibrium bidding strategies are analysed.From the seller’s perspective,the optimal reserve price and the optimal buyout price are studied. From the auction house’s perspective,the optimal fxed commission is obtained.The results show that different from the model without regart to commission charge the probability of which the bidders choose buyout price is positive in the model with regard to the commission charge,namly,to set the buyout price in auction the seller can improve his income.Moreover,the seller’s optimal reserve price is higher,and the optimal fxed commission is lower than that in the model without seting buyout price.

independent private values;fxed commission;reserve price;buyout price

F016

A

1000-5781(2016)06-0750-11

10.13383/j.cnki.jse.2016.06.004

冉茂盛(1963—),男,重慶云陽人,博士,教授,研究方向:拍賣理論,金融經(jīng)濟(jì),投融資理論,Email:ranmaosheng@cqu.edu.cn;

黃 俊(1987—),男,江蘇鹽城人,博士生,研究方向:拍賣理論,最優(yōu)機(jī)制設(shè)計(jì),Email:huangjun@cqu.edu.cn;

蔣衛(wèi)艷(1980—),女,江蘇鹽城人,博士生,研究方向:可持續(xù)建設(shè)管理,拍賣理論,Email:weiyan.jiang@gmial.com.

2015-08-26;

2015-12-14.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70701040;71071171).