柏青

摘要：否命題與命題的否定是兩個(gè)比較容易混淆的概念，本文將對(duì)否命題與命題的否定進(jìn)行一下辨析。

關(guān)鍵詞：命題的否定；否命題

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2016）11-0398-01

"命題的否定（非p或）"與"否命題"是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，準(zhǔn)確無(wú)誤地理解和寫(xiě)出一個(gè)命題的否定形式和否命題是解決許多問(wèn)題的關(guān)鍵.

1.命題“若A，則B”的否命題與命題的否定形式

設(shè)命題 "若A，則B"為原命題，那么，"若非A，則非B"就叫做原命題的否命題，否命題只是"若……則……"命題的四種形式中的一種，如果一個(gè)命題不能化為"若……則……"形式，那么該命題就沒(méi)有討論否命題的可能；對(duì)于命題p，非p叫做命題p的否定（記作），任何一個(gè)命題都有否定形式，命題"若A，則B"的否定形式為“若A，則非B”.顯然，“否命題”是對(duì)原命題的條件和結(jié)論同時(shí)否定，“命題的否定”只是否定命題的結(jié)論，即“命題的否定”與原命題的條件相同，結(jié)論相反.

例1.命題“若a>b，則2a>2b-1”的否命題為_(kāi)______。

解：由題意原命題的否命題為“若a≤b，則2a≤2b-1，”.評(píng)注：該命題的否定形式為“若a>b，則2a≤2b-1”，只是否定原命題的結(jié)論.

例2.寫(xiě)出下列命題的否定形式及其否命題.

（1）若x=3且y=2，則x+y=5； （2）若|x|+|y|=0，則x，y全為0.

解：（1） 命題的否定為：若x=3且y=2，則x+y≠5；否命題為：若x≠3或y≠2，則x+y≠5；（2） 命題的否定為：若|x|+|y|=0，則x，y不全為0；否命題為：若|x|+|y|≠0，則x，y不全為0.

如果一個(gè)命題不是“若……則……”的形式，可以將其改寫(xiě)成“若……則……”形式的命題，使原命題的條件和結(jié)論更加明確，便于寫(xiě)出命題的否定形式及其否命題.這種"改寫(xiě)"的形式有時(shí)不是惟一的，因此，同一命題的否定形式也可能不一樣.

例3.將下列命題改寫(xiě)成“若A，則B”的形式，并寫(xiě)出它們的否命題與否定形式：（1）對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；（2）a>0時(shí)，函數(shù)y=ax+b的值隨x值的增加而增加.

解：（1）原命題可改寫(xiě)為：若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則它是菱形，否命題為：若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線不互相垂直，則它不是菱形；否定形式（）為：若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則它不是菱形；（2）原命題可改寫(xiě)為：a>0時(shí)，若x增加，則函數(shù)y=ax+b的值也隨著增加，否命題為：a>0時(shí)，若x不增加，則函數(shù)y=ax+b的值也不增加；否定形式（）為：a>0時(shí)，若x增加，則函數(shù)y=ax+b的值不增加；

常用詞語(yǔ)的否定如下：

正面詞語(yǔ)反面詞語(yǔ)

等于不等于

大于不大于（或小于等于）

小于不小于（或大于等于）

是不是

一定是一定不是

都是不都是（至少有一個(gè)不是）

必有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有

任意的某一個(gè)

且或

存在不存在

2.不能轉(zhuǎn)化成“若A，則B”形式的命題的否定形式

除了可以轉(zhuǎn)化為“若A，則B”形式的命題外，其它不能轉(zhuǎn)化成“若A，則B”形式的命題都有其相應(yīng)的否定形式，根據(jù)命題本身形式的不同，可以分為以下幾類(lèi)：

2.1簡(jiǎn)單命題的否定。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題稱為簡(jiǎn)單命題，它應(yīng)被看作是一個(gè)不可再分割的整體，其最簡(jiǎn)單的命題形式是p："A是B”，它的否定形式是“A不是B”或“并非A是B”，其中A是一個(gè)特定對(duì)象.

例4.寫(xiě)出下列命題的否定：

（1）2是方程x2-4=0的根；（2） 四條邊都相等的四邊形不是正方形；（3）正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；（4）方程x2-3x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)根；（5）a，b都是1.

解：（1） 命題的否定形式為：2不是方程x2-4=0的根；（2） 命題的否定形式為：四條邊都相等的四邊形不都是正方形；（3） 命題的否定形式為：正數(shù)的絕對(duì)值不是它本身；（4） 命題的否定形式為：方程x2-3x+2=0沒(méi)有兩個(gè)相等的實(shí)根（5）命題的否定形式為：“a，b不都是1”或者“a≠1或b≠1”. 評(píng)注：“是”的否定有時(shí)為“不是”，有時(shí)為“不都是”，要視“是”的含義而定.

2.2復(fù)合命題的否定。

由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題.“p或q”、 “p且q”、“非p”形式的命題中，p，q都是命題，命題“p或q”的否定為“且”；命題“p且q”的否定為“或”；命題“非p”的否定為“ ”就是命題p，所以，命題“非p”與命題“p”互為否定形式.

例5.寫(xiě)出下列命題的否定： （1）8≥5； （2）a>5且b>1；（3）2是6的約數(shù)且是8的約數(shù)；（4）3是偶數(shù)或奇數(shù).

解：（1）命題的否定形式為：8不大于5且8不等于5即8<5.（2）命題的否定形式為：a≤5且b≤1.（3）命題的否定形式為：2不是6的約數(shù)或2不是8的約數(shù).（4）命題的否定形式為：3不是偶數(shù)且3不是奇數(shù). 評(píng)注：（1）需要說(shuō)明的是，常用的“或”有兩種意義：可兼的和不可兼的。而在復(fù)合命題中的"或"是可兼的；（2） “p或q”、 “p且q”、“非p”形式出現(xiàn)在“若A，則B”形式的命題中，該命題的否定或否命題的寫(xiě)法規(guī)則相同，例如例2中第（1）小題的解法.

3.含有一個(gè)量詞的命題的否定

命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個(gè)”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個(gè)”、“至少有一個(gè)”等的詞語(yǔ)，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號(hào)分別記為“”與“”來(lái)表示）；由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題.全稱命題“， p（x）”的否定為“”；存在性命題“”的否定“，”.解題時(shí)就是把命題p中的全稱量詞改成存在性量詞，存在性量詞改成全稱量詞，并把量詞的作用范圍進(jìn)行否定.

例6.寫(xiě)出下列命題的否定：（1），x2+x+1≤0；（2）有些三角形是直角三角形；（3）不存在實(shí)數(shù)x，x2+1<2x；（4）對(duì)任意的x∈A，都有f（x）>2；（5）正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；（6）可以被5整除的整數(shù)，末位是0.

解：（1）命題的否定為：不存在x∈R，使x2+x+1≤0，即：，x2+x+1>0；

（2） 命題的否定為：沒(méi)有一個(gè)三角形是直角三角形，即所有三角形都不是直角三角形（在這里，不是用“不”否定“是”，而是用“無(wú)”否定“有些是”）；（3）命題的否定為：并非“不存在實(shí)數(shù)x，x2+1<2x”，即存在實(shí)數(shù)x，x2+1<2x；（4）命題的否定為：總在x∈A，使得f（x）≤2或f（x）無(wú)意義（抽象函數(shù)需要考慮函數(shù)的定義范圍）；（5）命題的否定為：有的正數(shù)的絕對(duì)值不是它本身； （6）命題的否定為：存在可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0.

評(píng)注：（1）解題中遇到省略量詞的命題時(shí)，應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞，改寫(xiě)成含量詞的命題的完整形式，再依據(jù)規(guī)則來(lái)寫(xiě)出命題的否定形式；（2）含量詞的命題的否定形式的關(guān)鍵仍然是關(guān)鍵詞語(yǔ)的否定.另外，命題的否定是原命題的矛盾命題，兩者的真值必然相反（即要么一真一假，要么一假一真）；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假.

總之，認(rèn)真理解和分析一個(gè)命題的結(jié)構(gòu)，挖掘命題中隱含的所有信息，是解決命題類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]李亞麗：“否命題”與“命題的否定”辨析，求實(shí)篇·基本概念點(diǎn)精，2006年第9期

[2]李建軍：淺談命題的否定與否命題的聯(lián)系與區(qū)別，求實(shí)篇·基本概念點(diǎn)精，2010年第10期