鐘光勝,田立新

(1.南通大學(xué)理學(xué)院,江蘇南通226007)

(2.江蘇大學(xué)理學(xué)院非線性科學(xué)研究中心,江蘇鎮(zhèn)江212013)

具有非線性范數(shù)型源的反應(yīng)擴(kuò)散方程組解的爆破性質(zhì)

鐘光勝1,2,田立新2

(1.南通大學(xué)理學(xué)院,江蘇南通226007)

(2.江蘇大學(xué)理學(xué)院非線性科學(xué)研究中心,江蘇鎮(zhèn)江212013)

本文研究了一類帶有非線性范數(shù)型源的反應(yīng)擴(kuò)散方程組在齊次Dirichlet邊界條件下解的爆破問題.利用上下解方法和構(gòu)造輔助函數(shù)的技巧,得到了方程組解的整體存在與爆破的準(zhǔn)則,將當(dāng)前的一些研究結(jié)果推廣到更復(fù)雜的情形.

反應(yīng)擴(kuò)散方程組;范數(shù)型源;整體存在;爆破

1 引言

本文研究如下具有范數(shù)型源的反應(yīng)擴(kuò)散方程組解的爆破性質(zhì):

其中?是RN(N≥1)中一個(gè)具有光滑邊界??的有界區(qū)域,常數(shù)m,n,h＞1,a,b,c＞0, α,β,γ≥1,ri＞0及pi≥0,qi＞0(i=1,2,3),初值函數(shù)u0(x),v0(x),w0(x)是?上的非負(fù)有界連續(xù)函數(shù),這里的范數(shù)

問題(1.1)是很值得研究的,因?yàn)樗軌蛎枋霾煌奈锢憩F(xiàn)象,例如生物種群的研究中,可以用u、v及w來刻畫同一種環(huán)境下,三種不同的物種在生長過程的密度(見文[1–4]及相應(yīng)的文獻(xiàn));它也能刻畫混合物燃燒后的熱傳播過程和化學(xué)反應(yīng)過程.

在過去的幾十年里,對(duì)于帶有局部源和沒有局部源的反應(yīng)擴(kuò)散方程組得到了很多數(shù)學(xué)工作者的研究.例如,在文[5]中,Deng研究了下列帶齊次Dirichlet邊界條件的初邊值問題:

他們證明了如果m＞α,n＞β及pq＜(m-α)(n-β),則問題(1.2)的每一個(gè)非負(fù)解整體存在,而如果m＜α或n＜β或pq＞(m-α)(n-β),則該問題既存在整體非負(fù)解,也有爆破的非負(fù)解.

在相同的初邊值條件下,Li等人在文[6]中考慮了下列問題:

作者給出了上述問題解(u,v)同時(shí)爆破的充分必要條件,并得到了一致爆破模式和爆破率的精確估計(jì).

對(duì)于具有非局部源項(xiàng)的問題,其解的整體存在和有限時(shí)刻爆破行為也得到了相應(yīng)的研究.如文[7]中,Deng等人研究了

在齊次Dirichlet邊界條件下,他們證明了當(dāng)pq＜mn時(shí),每一個(gè)非負(fù)解是整體存在的;如果pq＞mn,整體解與爆破解同時(shí)存在;他們的結(jié)果表明pc=pq-mn是問題(1.4)的臨界指標(biāo).

近年來,Kong等人在文[8]中研究了如下的方程組

作者建立了相應(yīng)問題的解是整體存在和有限時(shí)刻爆破的條件.

關(guān)于非局部退化拋物方程的研究,讀者還可以查閱其他的相關(guān)文獻(xiàn)(如文[9–12])．

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),以構(gòu)造的技巧,用更加簡單的方法推廣了前述文獻(xiàn)的研究結(jié)果,討論問題(1.1)解的整體存在與爆破準(zhǔn)則,并得到如下結(jié)果.

定理1.1若下列條件之一成立,那么問題(1.1)的解整體存在.

(1)m＞p1r1,n＞p2r2,h＞p3r3,且(r1q1)(r2q2)(r3q3)＜(m-r1p1)(n-r2p2)(h-r3p3);

(2)m≤p1r1或n≤p2r2或h≤p3r3或m＞p1r1,n＞p2r2,h＞p3r3,(r1q1)(r2q2)(r3q3)＞(m-r1p1)(n-r2p2)(h-r3p3),且初值u0(x),v0(x),w0(x)充分小;

(3)m＞p1r1,n＞p2r2,h＞p3r3,(r1q1)(r2q2)(r3q3)=(m-r1p1)(n-r2p2)(h-r3p3),且a,b,c充分小.

定理1.2若下列條件之一成立,那么問題(1.1)的解在有限時(shí)刻爆破.

(1)m＞p1r1,n＞p2r2,h＞p3r3,

且初值u0(x),v0(x),w0(x)充分大;

(2)m≤p1r1或n≤p2r2或h≤p3r3,且初值u0(x),v0(x),w0(x)充分大;

(3)m＞p1r1,n＞p2r2,h＞p3r3,

并且區(qū)域?包含一個(gè)充分大的球,而初值u0(x),v0(x),w0(x)在?上為正的連續(xù)函數(shù).

2 預(yù)備知識(shí)

在這里給出問題(1.1)的弱解的定義．對(duì)任意的0＜T＜∞,設(shè)QT=?×(0,T), ST=??×(0,T).

定義2.1稱函數(shù)組(u(x,t),v(x,t),w(x,t))是問題(1.1)在QT上的弱下解,如果下列條件都成立:

(1)(u(x,t),v(x,t),w(x,t))∈L∞(QT);

(2)u(x,t),v(x,t),w(x,t)≤0,(x,t)∈ST,u(x,0)≤u0(x),v(x,0)≤v0(x),w(x,0)≤w0(x),x∈?;

(3)

其中t∈[0,T],且ψ1,ψ2,ψ3屬于函數(shù)族

類似的,改變上式中所有不等號(hào)的方向可以得到弱上解的定義.稱(u(x,t),v(x,t),w(x,t))是問題(1.1)的弱解,如果它既是(1.1)的弱下解,又是弱上解.顯然,問題(1.1)的每個(gè)非負(fù)古典解都是定義2.1意義下的弱解.

類似于文[8]那樣,能論證問題(1.1)弱解的局部存在性和相應(yīng)的強(qiáng)極值原理,這里省略了,而下列的比較原理成立.

引理2.2(比較原理)設(shè)與分別是問題(1.1)在上的非負(fù)上、下解.如果或者存在常數(shù)δ,使得

成立.那么在QT上,

3 定理1的證明

由比較原理,只需要對(duì)任意T＞0,構(gòu)造出有界的正弱上解即可.

設(shè)φ(x)是下列橢圓問題的解

其中l(wèi)1,l2,l3＞0,K＞0將在后面被確定.顯然,對(duì)于任意T＞0,是有界的,且＞0.通過一系列的計(jì)算,可得

記

(1)若m＞p1r1,n＞p2r2,h＞p3r3,(r1q1)(r2q2)(r3q3)＜(m-r1p1)(n-r2p2)(h-r3p3),那么存在正常數(shù)l1,l2使得

同時(shí),也存在正數(shù)l3使得

從而

根據(jù)(3.7)式,能選擇充分大的K使得K≥max{C1,C2,C3},且

(2)若m≤p1r1或n≤p2r2或h≤p3r3或

那么存在三個(gè)正常數(shù)l1,l2,l3使得

那么能選擇充分小的K,使得K≤min{C1,C2,C3}.進(jìn)一步,假設(shè)u0(x),v0(x),w0(x)也是充分小,并滿足式(3.8).同樣的,由(3.2)式定義的也是問題(1.1)的弱上解,因此(u,v,w)整體存在.

(3)若m＞p1r1,n＞p2r2,h＞p3r3,

那么存在正常數(shù)l1,l2,l3使得

從而

假定a,b,c充分小,且滿足

另外,可以選擇充分大的K使得(3.8)式成立.那么根據(jù)(3.3),(3.8),(3.10)–(3.12)式,由 (3.2)式定義的也是問題(1.1)的弱上解.根據(jù)比較原理因此可以得到(u,v,w)是整體存在的.定理1證畢.

4 定理2的證明

在本節(jié)將通過構(gòu)造問題(1.1)的爆破弱下解來證明定理2.

設(shè)λ和φ(x)是下列特征問題的第一特征值和相應(yīng)的特征函數(shù)

其中s(t)為初值問題

的解,這里k,s0＞0,θ＞1待定.顯然s(t)≥s0,且在有限時(shí)刻無界,而且

直接計(jì)算知

類似有

其中

(1)如果m＞p1r1,n＞p2r2,h＞p3r3,(r1q1)(r2q2)(r3q3)＞(m-r1p1)(n-r2p2)(h-r3p3),那么存在正數(shù)l1,l2,l3使得

選取

假設(shè)u0(x),v0(x),w0(x)充分大,并滿足

那么根據(jù)(4.3)–(4.11)式,由(4.2)式定義的是問題(1.1)的弱下解.由于s(t)在有限時(shí)刻無界,因此在有限時(shí)刻爆破.由比較原理知,;這意味著(u,v,w)在有限時(shí)刻爆破.

(2)若m≤p1r1或n≤p2r2或h≤p3r3,那么存在正常數(shù)l1,l2,l3,使得(4.9)式仍然成立,因此可以用類似的方法證明結(jié)果,在這兒省略掉.

(3)下面考慮m＞p1r1,n＞p2r2,h＞p3r3,

顯然,存在正常數(shù)l1,l2,l3使得

不失一般性,假設(shè)0∈?,并設(shè)BR(0)??是一個(gè)半徑為R的開球.

記λBR＞0與φR(r)是下列問題的第一特征值和相應(yīng)的特征函數(shù)

在BR中,將φR(r)正則化成φR(r)＞0,且φR(0)=根據(jù)特征值及特征函數(shù)的性質(zhì)(設(shè)τ=r/R)可知

這里λB1與φ1(τ)是單位球B1(0)內(nèi)的第一特征值問題的特征值和相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)特征函數(shù),且

其中s(t)如式(4.3)的定義,k,s0＞0,θ＞1待定.那么,類似于(4.5)–(4.7)式的計(jì)算可得

其中

這里K1,K2,K3是與R無關(guān)的常數(shù).由于λBR=R-2λB1,可以假設(shè)球BR的半徑R充分大,并使得

因此

記

根據(jù)m,n,h＞1得θ1,θ2,θ3＞1.因?yàn)閡0,v0,w0在?內(nèi)是正的連續(xù)函數(shù),所以可以選取充分小的s0＞0,在球BR(0)內(nèi)滿足

最后,選擇θ,k使得

從而根據(jù)(4.3)式,得到

即

根據(jù)(4.15)–(4.24)式知,由(4.14)式定義的是問題(1.1)在BR(0)內(nèi)正的弱下解,它在有限時(shí)刻爆破.從而(u,v,w)在充分大的?上爆破.定理2證畢.

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BLOW-UP PROPERTIES FOR A REACTION-DIFFUSION SYSTEM WITH NONLINEAR NORM-TYPE SOURCES

ZHONG Guang-sheng1,2,TIAN Li-xin2
(1.School of Science,Nantong University,Nantong 226007,China)
(2.Nonlinear Scientific Research Center,Faculty of Science,Jiangsu University, Zhenjiang 212013,China)

In this paper,we study the blow-up problems for a class of reaction-diffusion system with nonlinear norm-type sources:subject to homogeneous Dirichlet conditions.By using upper-lower solution method and constructing auxiliary functions’techniques,we obtain the criteria for global existence or finite time blow-up,which extend some results of the current research to more complex situations.

reaction-diffusion system;norm-type sources;global existence;blow up

tion:35K65;35K61

O175.2

A

0255-7797(2017)01-0129-09

2015-07-22接收日期:2015-10-19

國家自然科學(xué)基金資助(11171135;51276081);江蘇省自然科學(xué)基金資助(14KJA110001).

鐘光勝(1978–),男,湖南永州,講師,主要研究方向:偏微分方程.