艾小川,陳華,張四蘭

(1.海軍工程大學理學院,湖北武漢430033)

(2.湖北工業(yè)大學理學院,湖北武漢430068)

(3.華中農(nóng)業(yè)大學理學院,湖北武漢430070)

三項指數(shù)和四次均值的精確計算公式(2)

艾小川1,陳華2,張四蘭3

(1.海軍工程大學理學院,湖北武漢430033)

(2.湖北工業(yè)大學理學院,湖北武漢430068)

(3.華中農(nóng)業(yè)大學理學院,湖北武漢430070)

本文進一步深入研究了三項指數(shù)和四次均值的計算問題.運用指數(shù)和的相關(guān)性質(zhì)并結(jié)合求解同余方程組的方法與技巧,利用兩種不同的方法獲得了兩個精確的均值計算公式,揭示了三項指數(shù)和的計算與同余方程組解的個數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系,推廣了已有的結(jié)果.

三項指數(shù)和;四次均值;轉(zhuǎn)換公式;同余方程組

1 引言

指數(shù)和與著名的華林問題有著密切的聯(lián)系,它在華林問題的主項研究中起著重要的作用.許多著名的學者如華羅庚、Weil、高斯等對指數(shù)和的上界估計做出了重要的貢獻[1-6].近些年來,指數(shù)和高次均值的計算成了這一領(lǐng)域的熱點,相關(guān)研究成果豐碩[7-11,13-17].

設(shè)q,m,s,n,k,t為整數(shù),且q≥3,定義二項指數(shù)和與三項指數(shù)和如下:

其中e(x)=e2πix,表示對所有滿足(a,q)=1的整數(shù)a求和.

國內(nèi)外眾多學者對于二項指數(shù)和的各種性質(zhì)做了深入細致的研究,取得了眾多的研究成果[7-11,16,17].但是關(guān)于三項指數(shù)和的各類性質(zhì),國內(nèi)外的相關(guān)研究尚不多見.

1972年,Mordel[12]利用三項指數(shù)和成功的研究mod p剩余類的有理函數(shù)表示.

2012年,陳華等人[13]研究了帶Dirichlet特征的三項指數(shù)和四次均值的計算公式,并給出了的精確計算公式.

2014年,論文[14]給出了三項指數(shù)和的四次均值

在k=2t,(t,p-1)=1,2時的精確計算公式,主要結(jié)果如下:

命題1.1設(shè)p為素數(shù),則對任意固定的滿足條件(n,p)=1的正整數(shù)n,有

本文將進一步深入討論三項指數(shù)和四次均值的計算問題,在命題1.1的條件下,給出在(t,p-1)=3,4時的精確計算公式,本文主要結(jié)果見定理1.1.此外,本文還將給出命題1.1和定理1.1的一個簡化證明方法.

定理1.1設(shè)p為奇素數(shù),則對任意固定的滿足條件(n,p)=1的正整數(shù)n,有

2 引理和定理的證明

首先給出定理證明中需要用到的幾個引理.

高校在“愛國”教育上應做到：組織大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)，參與“挑戰(zhàn)杯”和“互聯(lián)網(wǎng)+”等活動，鼓勵學生關(guān)注國家的發(fā)展，勇于創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)，推動國家經(jīng)濟社會發(fā)展；組織革命歌曲大聯(lián)唱、詩詞大會、成語大會、“成人禮”等教育活動，鼓勵學生學習國學，弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，把握主觀意識形態(tài)，分辨認識誤區(qū)，堅持國家利益高于一切；組織國防安全、大學生入伍等學習教育活動，鼓勵學生學習軍隊的過硬作風，了解軍事，積極投身于國防建設(shè)，堅決捍衛(wèi)國家的主權(quán)和領(lǐng)土完整。

引理2.1設(shè)p≥3,t是正整數(shù),(n,p)=1,則有

其中

證參見文獻[14]中的引理3.

引理2.2

證易見的值為如下同余方程組解的個數(shù),

其中2≤a,c≤p-1.

情形1若(t,p-1)=3,則xt≡1(modp)有3個解,分別記為1,其中A2(modp),A3≡1(modp),則(2.1)等價于如下方程組:

情形2若(t,p-1)=4,則xt≡1(modp)有4個解,分別記為±1,±A,其中A2≡-1(modp)所以(2.1)式等價于如下方程組:

此時ct≡At≡1(modp)與條件矛盾,無解;

此時

下面證明定理1.1.

在引理2.1中令(t,p-1)=3,結(jié)合引理2.2可得

類似的,在引理2.1中令(t,p-1)=4,結(jié)合引理2.2可得

在命題1.1及定理1.1中令t=1,2,3,4,可得如下結(jié)論.

推論2.1設(shè)p為素數(shù),則對任意固定的滿足條件(n,p)=1的正整數(shù)n,有

3 定理1.1的另一種證明

這一部分將給出三項指數(shù)和的四次均值

在k=2t時的簡化證明方法.

當k=2t時,有

上式的計算可歸結(jié)為求解同余方程組的問題,經(jīng)分析和計算亦可獲得命題1.1及定理1.1中的結(jié)果,此處不再展開討論.

本文進一步深入研究了三項指數(shù)和四次均值

的計算問題,獲得了k=2t,(k,p-1)=3,4時的精確計算公式,推廣了論文[14]中的結(jié)果.下一步將用本文提出的方法研究

的計算問題.本文所使用的思想和方法對于四項指數(shù)和與更多項指數(shù)和也有一定的借鑒作用,但其算法復雜度大大增加.

[1]Darvenport H,Heibronn H.On an exponential sum[J].Proc.London Math.Soc.,1936,41:49–53.

[2]Loxton J H,Smith R A.On Hua’s estimate for exponential sums[J].J.London Math.Soc.,1982, 26(2):15–20.

[3]Loxton J H,Vaughan R C.The estimate for complete exponential sums[J].Canada Math.Bull, 1995,26(4):442–454.

[4]Smith R A.On n-dimensional Kloosterman sums[J].J.Number Theory,1979,11:324–343.

[5]Carlitz L.Explicit evaluation of certain exponential sums[J].Math.Scand.,1979,44:5–16.

[6]Carlitz L.Evaluation of some exponential sums over a finite field[J].Math.Nachr.,1980,96:319–339.

[7]王婷婷,張文鵬.關(guān)于四次及六次混合指數(shù)和的均值[J].中國科學:數(shù)學,2011,41(3):265–270.

[8]Xu Z F,Zhang T P,Zhang W P.On the mean value of the two-term exponential sums with Dirichlet characters[J].J.Number The.,2007,123(2):352–362.

[9]Liu H N.Mean value of some exponential sums and applications to Kloosterman sums[J].J.Math. Anal.Appl.,2010,361(4):205–223.

[10]Liu H N.Mean value of mixed exponential sums[J].Proc.Amer.Math.Soc.,2008,136(4):1193–1203.

[11]Calderon C,Velasco M J De,Zarate M J.An explicit formula for the fourth moment of certain exponential sums[J].Acta Math.Hungar,2011,130(3):203–222.

[12]Mordedd L J.Rational functions representing all residues modp[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1972, 35(2):411–412.

[13]陳華.基于身份的公鑰密碼系統(tǒng)的研究[D].武漢:武漢大學,2012.

[14]Ai X C,Chen J H,Chen H,Zhang S L.Explicit formulas for the fourth moment of three-term exponential sums[C].應用數(shù)學與統(tǒng)計研究國際會議,2014.

[15]艾小川,陳建華,張四蘭,陳華.三項指數(shù)和與同余方程組的關(guān)系的研究[J].數(shù)學雜志,2013,33(3): 535–540.

[16]Chen H,Chen J H,Cai G X,Ai X C,Zhang S L.Explicit Formulas for the Fourth Moment of Mixed Exponential Sums[J].J.Number Theory,2013,133(5):1484–1491.

[17]Chen H,Ai X C and Cai G X.A note on mean value of mixed exponential sums[J].J.Number Theory,2014,144(11):234–243.

RESEARCHING THE RELATION BETWEEN THE THREE-TERM EXPONENTIAL SUMS AND THE SYSTEM OF THE CONGRUENCE EQUATIONS

AI Xiao-chuan1,CHEN Hua2,ZHANG Si-lan3
(1.School of Science,Navy University of Engineering,Wuhan 430033,China)
(2.School of science,Hubei University of Technology,Wuhan 430068,China)
(3.College of Science,Huazhong Agricultural University,Wuhan 430070,China)

In this paper,the computation problem of the fourth power mean of the three-term exponential sums is further studied.By using the properties of exponential sums and various techniques and methods of solving the system of congruence equations,two explicit formulas of mean value are given throughout two different methods.Moreover,the essential relation between the fourth moment and the system of congruence equations is discovered.

three-term exponential sum;fourth power mean;transform formula;the system of congruence equations

tion:11T23;11T24

0156.4

A

0255-7797(2017)01-0177-08

2014-06-27接收日期:2014-11-26

國家自然科學基金(NSFC61502156);海軍工程大學自然科學基金(HGDQNSQJJ15001);湖北省自然科學基金(2014CFB189);湖北工業(yè)大學博士啟動基金(BSQD13051).

艾小川(1978–),女,江蘇南京,講師,主要研究方向:數(shù)論與密碼學.

陳華.