王嬌,涂俐蘭,朱澤飛

(武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點實驗室,湖北武漢430065)

隨機擾動下統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時間同步

王嬌,涂俐蘭,朱澤飛

(武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點實驗室,湖北武漢430065)

本文研究了具有隨機擾動的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時間同步問題,其中隨機擾動是一維標(biāo)準(zhǔn)的維納隨機過程.利用了有限時間隨機李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、伊藤公式,本文分三個步驟設(shè)立了三個控制器獲得了驅(qū)動–響應(yīng)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)的均方漸近同步.最后進行的數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果的正確性和方法的有效性.

隨機擾動;統(tǒng)一混沌系統(tǒng);有限時間同步;伊藤公式;李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

1 引言

混沌現(xiàn)象是指發(fā)生在確定的非線性系統(tǒng)中的隨機現(xiàn)象,是一種非常普遍的自然現(xiàn)象.例如,在流體對流實驗中觀測到倍周期分叉和混沌運動,在化學(xué)反應(yīng)、非線性電路、光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)、非線性聲學(xué)、激光振蕩等系統(tǒng)中能觀測到混沌現(xiàn)象,甚至社會、經(jīng)濟領(lǐng)域中也存在混沌現(xiàn)象[1].1963年,Lorenz提出了第一個混沌模型,即Lorenz系統(tǒng)[2],從此開啟了混沌研究的熱潮.各種混沌系統(tǒng)相繼被人們發(fā)現(xiàn),如Rossler系統(tǒng)、Chua電路系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、L系統(tǒng)和統(tǒng)一混沌系統(tǒng)等等[3].

混沌的同步問題是混沌研究中的一個重要方向.自從Pecoro和Carroll于1990年提出了混沌的反饋控制同步之后[4],越來越多的科學(xué)家、學(xué)者們開始致力于這一方面的研究并提出了各種各樣的混沌控制同步的方法,如自適應(yīng)同步[5]、非線性同步[6]、耦合同步[7]、投影同步[8]和H∞同步[9]等等.

到現(xiàn)在為止,對于混沌同步,研究的主流方向是使得系統(tǒng)在無限時間內(nèi)達到同步[4-10].但是,在處理實際情況下的混沌系統(tǒng)問題時,不僅要使得系統(tǒng)達到同步,而且要在有限時間之內(nèi)達到同步,即如何在有限的時間之內(nèi)使驅(qū)動–響應(yīng)系統(tǒng)達到同步.趙等[11]研究了分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的有限時間同步問題,Wang Liyang等[12]研究了不確定參數(shù)下兩個不同的混沌系統(tǒng)的有限時間同步,Wang Hua等[13]研究了不確定參數(shù)下的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時間同步.與同步時間為無窮的情況下相比,有限時間更加切合人們的實際應(yīng)用,這也使得有限時間同步的研究更加受到學(xué)者們的青睞.

同時,實際生活中,混沌系統(tǒng)不是孤立地存在于社會之中的,當(dāng)然也就存在擾動,比如由于隨機波動所帶來的信號傳輸就是一個有擾動的過程.在具體的函數(shù)形式下的隨機干擾項具有豐富的內(nèi)容,隨機擾動的產(chǎn)生會使得系統(tǒng)不穩(wěn)定并難以控制,減少擾動的影響才能保持系統(tǒng)良好的穩(wěn)定性.Salarieh等[14]研究了帶有隨機擾動的兩個混沌系統(tǒng)在不確定參數(shù)下的自適應(yīng)同步,Sun Yonghui等[15]研究了有時滯的情況下帶有隨機擾動的混沌系統(tǒng)的指數(shù)同步.

基于以上所述,本文將研究隨機擾動下的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時間同步問題,其中隨機擾動是一維標(biāo)準(zhǔn)的維納隨機過程.研究這種擾動下的混沌系統(tǒng)更具有一般性,更加符合實際生活.基于有限時間隨機李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、伊藤公式,本文將分三個步驟設(shè)立三個控制器使得驅(qū)動–響應(yīng)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)達到均方漸近同步.

2 問題的提出和預(yù)備知識

本節(jié)首先介紹隨機擾動下的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,之后再闡述文章中所需要的預(yù)備知識.考慮隨機擾動下的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的驅(qū)動系統(tǒng)為

其中x1,x2,x3是狀態(tài)向量,α∈[0,1]是系統(tǒng)參數(shù),H(t,xi)(i=1,2,3)是非線性函數(shù),并滿足Lipschitz條件,即

其中Li(i=1,2,3)是Lipschitz系數(shù),w(t)是隨機擾動,是一維標(biāo)準(zhǔn)的維納隨機過程,且滿足

對于系統(tǒng)(2.1),如果去掉隨機項,則該系統(tǒng)是一個統(tǒng)一混沌系統(tǒng),其中當(dāng)α取不同數(shù)值時,對應(yīng)的混沌系統(tǒng)將相應(yīng)發(fā)生改變,如當(dāng)0≤α＜0.8時,系統(tǒng)(2.1)為一般Lorenz混沌系統(tǒng);當(dāng)α=0.8時,為L系統(tǒng);當(dāng)0.8＜α≤1時,系統(tǒng)為Chen系統(tǒng).

再設(shè)響應(yīng)系統(tǒng)為

其中y1,y2,y3是狀態(tài)向量.

設(shè)控制器為u1,u2,u3,則加入控制器后的響應(yīng)系統(tǒng)為

定義響應(yīng)系統(tǒng)(2.4)和驅(qū)動系統(tǒng)(2.1)之間的狀態(tài)誤差為

本文的目標(biāo)是通過設(shè)置合適的控制器u1,u2,u3,使得系統(tǒng)(2.1)和(2.4)達到有限時間內(nèi)的均方漸近同步,即如果存在正數(shù)T＞0,使得

且當(dāng)t≥T時,有|yi-xi|≡0,則稱系統(tǒng)(2.1)和(2.4)在T時刻內(nèi)達到有限時間內(nèi)的均方漸近同步.

為了獲得系統(tǒng)(2.1)和(2.4)在有限時間內(nèi)達到同步的條件,需要用到以下兩個引理.

引理1(有限時間穩(wěn)定性定理[16])假設(shè)存在連續(xù)的,正定的函數(shù)V(t)滿足下面的微分不等式

其中c＞0,0＜η＜1,那么對于任意給定的t0,V(t)滿足下面的微分不等式

且當(dāng)?t≥t1,V(t)≡0,

引理2(伊藤公式[17])設(shè)f(t,x(t))是關(guān)于t和隨機過程{x(t),t∈T}的二次微分函數(shù),若x(t)的隨機微分是

則Y(t)=f(t,x(t)),有

其中

3 主要結(jié)果

由系統(tǒng)(2.1)和系統(tǒng)(2.5)以及狀態(tài)誤差(2.6),獲得系統(tǒng)的誤差方程為

為了獲得誤差系統(tǒng)在有限時間內(nèi)達到穩(wěn)定,本節(jié)下面將分三步分別設(shè)置控制器u1,u2,u3.

第1步設(shè)置控制器

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

應(yīng)用引理2得

由(2.3)式可知(3.5)式的均方(即數(shù)學(xué)期望)只有第一部分不為零,所以后面只需考慮第一部分,可設(shè)

其中LV1是應(yīng)用引理2后,去掉公式中的隨機微分項獲得的.由(2.2)式得

則

所以根據(jù)引理1,在某個T1時刻內(nèi),誤差e1漸近趨于零,且當(dāng)t≥T1時,e1恒等于零.

第2步類似地,在第一步的基礎(chǔ)上,設(shè)置控制器

將(3.8)式代入到狀態(tài)誤差方程(3.1)式中,有

同樣地,構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

應(yīng)用引理2得到

由公式(3.7)得

所以根據(jù)引理1,在某個T2時刻內(nèi),誤差e2也漸近趨于零,且當(dāng)t≥T2時,e2恒等于零.

第3步在第一步和第二步的基礎(chǔ)上,設(shè)置控制器

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

由引理2得

由公式(3.7)得

同樣地,根據(jù)引理1,可知在某個T3時刻內(nèi),誤差e3是漸近穩(wěn)定的,且當(dāng)t≥T3時,e3恒等于0.由此得到狀態(tài)誤差方程(3.1)在T3時刻內(nèi)漸近趨于零,即驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在T3時刻內(nèi)達到有限時間同步.

注在施加控制器u2的時候,e1已經(jīng)恒為0,本文的證明是在過了時間T1之后再添加的u2,然后過了時間T2之后施加控制器u3,這樣就有T3≥T2≥T1.當(dāng)然,實際操作的時候,也不一定非得這樣做,可以一次性地把這三個控制器同時加上去,只求最后的時間T3.

4 數(shù)值模擬

為了說明第3節(jié)中所提出的理論結(jié)果的正確性和方法的有效性,本節(jié)將運用數(shù)值模擬來驗證驅(qū)動–響應(yīng)系統(tǒng)的均方漸近同步情況.在本節(jié)中α分別取0,0.8和1.為了簡單起見,設(shè)

則可取Lipschitz系數(shù)L1=L2=L3=6,再設(shè)在模擬中,我們始終設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別為

當(dāng)t0=0時,,由有限時間引理1,獲得理論有限時間T≈3.64秒,要注意的是這個理論值依賴于初值的選取情況.

利用Matlab,下面給出驅(qū)動系統(tǒng)、響應(yīng)系統(tǒng)和誤差系統(tǒng)相對應(yīng)的數(shù)值模擬圖.圖1、圖4和圖7是隨機擾動下的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)在參數(shù)α分別取0、0.8和1時驅(qū)動系統(tǒng)的圖形,圖2、圖5和圖8是對應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)的圖形,這些圖形說明了系統(tǒng)的運動軌跡是雜亂無章的,且驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的對應(yīng)軌跡不一致.圖3、圖6和圖9是在控制器u1,u2,u3下誤差系統(tǒng)的圖形,可以看出在0.1秒左右的時間內(nèi),驅(qū)動–響應(yīng)系統(tǒng)都達到了有限時間同步,而且比理論上計算出來的有限時間更小,體現(xiàn)了良好的同步性能.

圖3:誤差系統(tǒng)軌跡圖(α=0)

圖4:驅(qū)動系統(tǒng)軌跡圖(α=0.8)

圖5:響應(yīng)系統(tǒng)軌跡圖(α=0.8)

圖6:誤差系統(tǒng)軌跡圖(α=0.8)

5 結(jié)論

混沌系統(tǒng)的有限時間同步控制是控制理論界的熱門研究方向.本文對帶有隨機擾動的兩個統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時間均方漸近同步問題進行了研究.與同步時間在無窮的情況下相比,本文中有限時間同步問題的研究更加符合現(xiàn)實生活,而且考慮了隨機擾動的影響,具有一定的現(xiàn)實意義.文中分三個步驟分別設(shè)置了三個控制器,相應(yīng)地構(gòu)造了三個李雅普諾夫函數(shù),其中控制器和李雅普諾夫函數(shù)的形式相對簡單,計算過程也不繁瑣.文章最后進行的Matlab數(shù)值模擬表明當(dāng)α取不同的數(shù)值時,對應(yīng)的各個系統(tǒng)均體現(xiàn)出了良好的同步性能,驗證了理論結(jié)果的正確性和方法的有效性.

圖7:驅(qū)動系統(tǒng)軌跡圖(α=1)

圖8:響應(yīng)系統(tǒng)軌跡圖(α=1)

圖9:誤差系統(tǒng)軌跡圖(α=1)

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FINITE-TIME SYNCHRONIZATION OF UNIFIED CHAOTIC SYSTEM WITH STOCHASTIC PERTURBATION

WANG Jiao,TU Li-lan,ZHU Ze-fei
(Hubei Province Key Laboratory of Systems Science in Metallurgical Process, Wuhan University of Science and Technology,Wuhan 430065,China)

In this paper,finite-time synchronization of the unified chaotic system with stochastic perturbation is investigated,in which the perturbation is a Wiener process of onedimensional standards.Based on finite-time stochastic Lyapunov stability theory and Ito formula, three steps are presented to consecutively design three controllers to guarantee the finite-time mean-square asymptotical synchronization of the drive-response systems.Finally,numerical simulations are provided to illustrate the correctness and effectiveness of the theoretical results.

stochastic perturbation;unified chaotic system;finite-time synchronization; Ito formula;Lyapunov stability theory

tion:93E15

O231.3

A

0255-7797(2017)01-0193-08

2014-03-07接收日期:2014-09-11

冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點實驗室開放基金資助(Y201412);湖北省自然科學(xué)基金資助(22013CFA131).

王嬌(1990–),女,湖北松滋,碩士,主要研究方向:復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).