王嬌,涂俐蘭,朱澤飛

(武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢430065)

隨機(jī)擾動(dòng)下統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步

王嬌,涂俐蘭,朱澤飛

(武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢430065)

本文研究了具有隨機(jī)擾動(dòng)的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題,其中隨機(jī)擾動(dòng)是一維標(biāo)準(zhǔn)的維納隨機(jī)過(guò)程.利用了有限時(shí)間隨機(jī)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、伊藤公式,本文分三個(gè)步驟設(shè)立了三個(gè)控制器獲得了驅(qū)動(dòng)–響應(yīng)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)的均方漸近同步.最后進(jìn)行的數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性和方法的有效性.

隨機(jī)擾動(dòng);統(tǒng)一混沌系統(tǒng);有限時(shí)間同步;伊藤公式;李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

1 引言

混沌現(xiàn)象是指發(fā)生在確定的非線性系統(tǒng)中的隨機(jī)現(xiàn)象,是一種非常普遍的自然現(xiàn)象.例如,在流體對(duì)流實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到倍周期分叉和混沌運(yùn)動(dòng),在化學(xué)反應(yīng)、非線性電路、光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)、非線性聲學(xué)、激光振蕩等系統(tǒng)中能觀測(cè)到混沌現(xiàn)象,甚至社會(huì)、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中也存在混沌現(xiàn)象[1].1963年,Lorenz提出了第一個(gè)混沌模型,即Lorenz系統(tǒng)[2],從此開(kāi)啟了混沌研究的熱潮.各種混沌系統(tǒng)相繼被人們發(fā)現(xiàn),如Rossler系統(tǒng)、Chua電路系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、L系統(tǒng)和統(tǒng)一混沌系統(tǒng)等等[3].

混沌的同步問(wèn)題是混沌研究中的一個(gè)重要方向.自從Pecoro和Carroll于1990年提出了混沌的反饋控制同步之后[4],越來(lái)越多的科學(xué)家、學(xué)者們開(kāi)始致力于這一方面的研究并提出了各種各樣的混沌控制同步的方法,如自適應(yīng)同步[5]、非線性同步[6]、耦合同步[7]、投影同步[8]和H∞同步[9]等等.

到現(xiàn)在為止,對(duì)于混沌同步,研究的主流方向是使得系統(tǒng)在無(wú)限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步[4-10].但是,在處理實(shí)際情況下的混沌系統(tǒng)問(wèn)題時(shí),不僅要使得系統(tǒng)達(dá)到同步,而且要在有限時(shí)間之內(nèi)達(dá)到同步,即如何在有限的時(shí)間之內(nèi)使驅(qū)動(dòng)–響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步.趙等[11]研究了分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題,Wang Liyang等[12]研究了不確定參數(shù)下兩個(gè)不同的混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步,Wang Hua等[13]研究了不確定參數(shù)下的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步.與同步時(shí)間為無(wú)窮的情況下相比,有限時(shí)間更加切合人們的實(shí)際應(yīng)用,這也使得有限時(shí)間同步的研究更加受到學(xué)者們的青睞.

同時(shí),實(shí)際生活中,混沌系統(tǒng)不是孤立地存在于社會(huì)之中的,當(dāng)然也就存在擾動(dòng),比如由于隨機(jī)波動(dòng)所帶來(lái)的信號(hào)傳輸就是一個(gè)有擾動(dòng)的過(guò)程.在具體的函數(shù)形式下的隨機(jī)干擾項(xiàng)具有豐富的內(nèi)容,隨機(jī)擾動(dòng)的產(chǎn)生會(huì)使得系統(tǒng)不穩(wěn)定并難以控制,減少擾動(dòng)的影響才能保持系統(tǒng)良好的穩(wěn)定性.Salarieh等[14]研究了帶有隨機(jī)擾動(dòng)的兩個(gè)混沌系統(tǒng)在不確定參數(shù)下的自適應(yīng)同步,Sun Yonghui等[15]研究了有時(shí)滯的情況下帶有隨機(jī)擾動(dòng)的混沌系統(tǒng)的指數(shù)同步.

基于以上所述,本文將研究隨機(jī)擾動(dòng)下的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題,其中隨機(jī)擾動(dòng)是一維標(biāo)準(zhǔn)的維納隨機(jī)過(guò)程.研究這種擾動(dòng)下的混沌系統(tǒng)更具有一般性,更加符合實(shí)際生活.基于有限時(shí)間隨機(jī)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、伊藤公式,本文將分三個(gè)步驟設(shè)立三個(gè)控制器使得驅(qū)動(dòng)–響應(yīng)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到均方漸近同步.

2 問(wèn)題的提出和預(yù)備知識(shí)

本節(jié)首先介紹隨機(jī)擾動(dòng)下的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,之后再闡述文章中所需要的預(yù)備知識(shí).考慮隨機(jī)擾動(dòng)下的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

其中x1,x2,x3是狀態(tài)向量,α∈[0,1]是系統(tǒng)參數(shù),H(t,xi)(i=1,2,3)是非線性函數(shù),并滿(mǎn)足Lipschitz條件,即

其中Li(i=1,2,3)是Lipschitz系數(shù),w(t)是隨機(jī)擾動(dòng),是一維標(biāo)準(zhǔn)的維納隨機(jī)過(guò)程,且滿(mǎn)足

對(duì)于系統(tǒng)(2.1),如果去掉隨機(jī)項(xiàng),則該系統(tǒng)是一個(gè)統(tǒng)一混沌系統(tǒng),其中當(dāng)α取不同數(shù)值時(shí),對(duì)應(yīng)的混沌系統(tǒng)將相應(yīng)發(fā)生改變,如當(dāng)0≤α＜0.8時(shí),系統(tǒng)(2.1)為一般Lorenz混沌系統(tǒng);當(dāng)α=0.8時(shí),為L(zhǎng)系統(tǒng);當(dāng)0.8＜α≤1時(shí),系統(tǒng)為Chen系統(tǒng).

再設(shè)響應(yīng)系統(tǒng)為

其中y1,y2,y3是狀態(tài)向量.

設(shè)控制器為u1,u2,u3,則加入控制器后的響應(yīng)系統(tǒng)為

定義響應(yīng)系統(tǒng)(2.4)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(2.1)之間的狀態(tài)誤差為

本文的目標(biāo)是通過(guò)設(shè)置合適的控制器u1,u2,u3,使得系統(tǒng)(2.1)和(2.4)達(dá)到有限時(shí)間內(nèi)的均方漸近同步,即如果存在正數(shù)T＞0,使得

且當(dāng)t≥T時(shí),有|yi-xi|≡0,則稱(chēng)系統(tǒng)(2.1)和(2.4)在T時(shí)刻內(nèi)達(dá)到有限時(shí)間內(nèi)的均方漸近同步.

為了獲得系統(tǒng)(2.1)和(2.4)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步的條件,需要用到以下兩個(gè)引理.

引理1(有限時(shí)間穩(wěn)定性定理[16])假設(shè)存在連續(xù)的,正定的函數(shù)V(t)滿(mǎn)足下面的微分不等式

其中c＞0,0＜η＜1,那么對(duì)于任意給定的t0,V(t)滿(mǎn)足下面的微分不等式

且當(dāng)?t≥t1,V(t)≡0,

引理2(伊藤公式[17])設(shè)f(t,x(t))是關(guān)于t和隨機(jī)過(guò)程{x(t),t∈T}的二次微分函數(shù),若x(t)的隨機(jī)微分是

則Y(t)=f(t,x(t)),有

其中

3 主要結(jié)果

由系統(tǒng)(2.1)和系統(tǒng)(2.5)以及狀態(tài)誤差(2.6),獲得系統(tǒng)的誤差方程為

為了獲得誤差系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定,本節(jié)下面將分三步分別設(shè)置控制器u1,u2,u3.

第1步設(shè)置控制器

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

應(yīng)用引理2得

由(2.3)式可知(3.5)式的均方(即數(shù)學(xué)期望)只有第一部分不為零,所以后面只需考慮第一部分,可設(shè)

其中LV1是應(yīng)用引理2后,去掉公式中的隨機(jī)微分項(xiàng)獲得的.由(2.2)式得

則

所以根據(jù)引理1,在某個(gè)T1時(shí)刻內(nèi),誤差e1漸近趨于零,且當(dāng)t≥T1時(shí),e1恒等于零.

第2步類(lèi)似地,在第一步的基礎(chǔ)上,設(shè)置控制器

將(3.8)式代入到狀態(tài)誤差方程(3.1)式中,有

同樣地,構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

應(yīng)用引理2得到

由公式(3.7)得

所以根據(jù)引理1,在某個(gè)T2時(shí)刻內(nèi),誤差e2也漸近趨于零,且當(dāng)t≥T2時(shí),e2恒等于零.

第3步在第一步和第二步的基礎(chǔ)上,設(shè)置控制器

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

由引理2得

由公式(3.7)得

同樣地,根據(jù)引理1,可知在某個(gè)T3時(shí)刻內(nèi),誤差e3是漸近穩(wěn)定的,且當(dāng)t≥T3時(shí),e3恒等于0.由此得到狀態(tài)誤差方程(3.1)在T3時(shí)刻內(nèi)漸近趨于零,即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在T3時(shí)刻內(nèi)達(dá)到有限時(shí)間同步.

注在施加控制器u2的時(shí)候,e1已經(jīng)恒為0,本文的證明是在過(guò)了時(shí)間T1之后再添加的u2,然后過(guò)了時(shí)間T2之后施加控制器u3,這樣就有T3≥T2≥T1.當(dāng)然,實(shí)際操作的時(shí)候,也不一定非得這樣做,可以一次性地把這三個(gè)控制器同時(shí)加上去,只求最后的時(shí)間T3.

4 數(shù)值模擬

為了說(shuō)明第3節(jié)中所提出的理論結(jié)果的正確性和方法的有效性,本節(jié)將運(yùn)用數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證驅(qū)動(dòng)–響應(yīng)系統(tǒng)的均方漸近同步情況.在本節(jié)中α分別取0,0.8和1.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),設(shè)

則可取Lipschitz系數(shù)L1=L2=L3=6,再設(shè)在模擬中,我們始終設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別為

當(dāng)t0=0時(shí),,由有限時(shí)間引理1,獲得理論有限時(shí)間T≈3.64秒,要注意的是這個(gè)理論值依賴(lài)于初值的選取情況.

利用Matlab,下面給出驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、響應(yīng)系統(tǒng)和誤差系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的數(shù)值模擬圖.圖1、圖4和圖7是隨機(jī)擾動(dòng)下的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)在參數(shù)α分別取0、0.8和1時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的圖形,圖2、圖5和圖8是對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)的圖形,這些圖形說(shuō)明了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡是雜亂無(wú)章的,且驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)軌跡不一致.圖3、圖6和圖9是在控制器u1,u2,u3下誤差系統(tǒng)的圖形,可以看出在0.1秒左右的時(shí)間內(nèi),驅(qū)動(dòng)–響應(yīng)系統(tǒng)都達(dá)到了有限時(shí)間同步,而且比理論上計(jì)算出來(lái)的有限時(shí)間更小,體現(xiàn)了良好的同步性能.

圖3:誤差系統(tǒng)軌跡圖(α=0)

圖4:驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)軌跡圖(α=0.8)

圖5:響應(yīng)系統(tǒng)軌跡圖(α=0.8)

圖6:誤差系統(tǒng)軌跡圖(α=0.8)

5 結(jié)論

混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步控制是控制理論界的熱門(mén)研究方向.本文對(duì)帶有隨機(jī)擾動(dòng)的兩個(gè)統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間均方漸近同步問(wèn)題進(jìn)行了研究.與同步時(shí)間在無(wú)窮的情況下相比,本文中有限時(shí)間同步問(wèn)題的研究更加符合現(xiàn)實(shí)生活,而且考慮了隨機(jī)擾動(dòng)的影響,具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.文中分三個(gè)步驟分別設(shè)置了三個(gè)控制器,相應(yīng)地構(gòu)造了三個(gè)李雅普諾夫函數(shù),其中控制器和李雅普諾夫函數(shù)的形式相對(duì)簡(jiǎn)單,計(jì)算過(guò)程也不繁瑣.文章最后進(jìn)行的Matlab數(shù)值模擬表明當(dāng)α取不同的數(shù)值時(shí),對(duì)應(yīng)的各個(gè)系統(tǒng)均體現(xiàn)出了良好的同步性能,驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性和方法的有效性.

圖7:驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)軌跡圖(α=1)

圖8:響應(yīng)系統(tǒng)軌跡圖(α=1)

圖9:誤差系統(tǒng)軌跡圖(α=1)

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FINITE-TIME SYNCHRONIZATION OF UNIFIED CHAOTIC SYSTEM WITH STOCHASTIC PERTURBATION

WANG Jiao,TU Li-lan,ZHU Ze-fei
(Hubei Province Key Laboratory of Systems Science in Metallurgical Process, Wuhan University of Science and Technology,Wuhan 430065,China)

In this paper,finite-time synchronization of the unified chaotic system with stochastic perturbation is investigated,in which the perturbation is a Wiener process of onedimensional standards.Based on finite-time stochastic Lyapunov stability theory and Ito formula, three steps are presented to consecutively design three controllers to guarantee the finite-time mean-square asymptotical synchronization of the drive-response systems.Finally,numerical simulations are provided to illustrate the correctness and effectiveness of the theoretical results.

stochastic perturbation;unified chaotic system;finite-time synchronization; Ito formula;Lyapunov stability theory

tion:93E15

O231.3

A

0255-7797(2017)01-0193-08

2014-03-07接收日期:2014-09-11

冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金資助(Y201412);湖北省自然科學(xué)基金資助(22013CFA131).

王嬌(1990–),女,湖北松滋,碩士,主要研究方向:復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).