劉培德，劉俊麟，楊云彬

(山東財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，山東濟(jì)南 250014)

基于語言直覺模糊數(shù)的ELECTRE方法及在決策中的應(yīng)用

劉培德，劉俊麟，楊云彬

(山東財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，山東濟(jì)南 250014)

語言直覺模糊數(shù)采用語言詞作為直覺模糊集的隸屬度和非隸屬度，它比傳統(tǒng)的直覺模糊數(shù)能夠更好地處理多屬性決策中信息的模糊性和不確定性。本文提出基于語言直覺模糊數(shù)的ELECTRE方法。首先介紹了語言直覺模糊數(shù)的定義，并給出了語言直覺模糊數(shù)的可能度公式。其次提出了基于語言直覺模糊數(shù)的改進(jìn)ELECTRE方法，通過計(jì)算每個(gè)方案相對(duì)于其他所有方案的相對(duì)優(yōu)先度和相對(duì)劣勢度，并根據(jù)凈優(yōu)勢度對(duì)方案進(jìn)行排序解決多屬性決策問題。最后，通過實(shí)例證明該方法的有效性和可行性。

語言直覺模糊數(shù)；ELETRE方法；多屬性決策

0 引 言

多屬性決策問題在多個(gè)領(lǐng)域的實(shí)時(shí)決策中被廣泛地運(yùn)用[1-3]，成為當(dāng)今的研究熱點(diǎn)。由于決策問題的復(fù)雜性，決策者所得到的信息往往難以用明確的數(shù)值進(jìn)行表示。為了能夠更好地表達(dá)不同屬性的特征，同時(shí)更好地表達(dá)數(shù)據(jù)的不確定性和模糊性，Zadeh[4]提出了模糊集的概念，但是模糊集只考慮了隸屬度，即決策專家對(duì)于評(píng)價(jià)方案的肯定度，卻不能表達(dá)決策專家對(duì)于評(píng)價(jià)方案的否定度。例如一個(gè)投票問題，假設(shè)投票結(jié)果為6票贊同，3票反對(duì)，1票棄權(quán)，很明顯對(duì)于這個(gè)例子，模糊集是無法進(jìn)行表述的。因此Atanassov[5]在模糊集的基礎(chǔ)上提出了直覺模糊集，即在模糊集中增加了非隸屬度。盡管如此，在大多數(shù)情況下，由于決策環(huán)境的復(fù)雜性或者決策者思維的模糊性導(dǎo)致決策信息通常是不確定或者模糊的，有時(shí)候用實(shí)數(shù)來表達(dá)隸屬度和非隸屬度是非常困難的。在這種情況下，Chen等[6]提出了語言直覺模糊集，它用語言詞來表達(dá)直覺模糊集的隸屬度和非隸屬度，因此能更好地處理信息的不確定性和模糊性。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中，處理多屬性決策問題有幾種方法，例如TOPISIS、PROMETHEE、VIKOR、ELECTRE、灰色投影、灰色關(guān)聯(lián)度等[7-11]。其中ELECTRE方法是解決多屬性決策問題的一種強(qiáng)有力的方法，其最初是由Benavoun，Roy與Sussman提出，經(jīng)過對(duì)其的演變和發(fā)展，現(xiàn)已形成包括ELECTRE I-IV在內(nèi)的ELECTRE家族[12]。從本質(zhì)上說，ELECTRE方法是先排除再選擇的一個(gè)過程，或者是把全部的候選方案進(jìn)行排序，選擇最優(yōu)方案的過程。但是這些方法通常針對(duì)的是決策數(shù)據(jù)是確定的決策問題，為了更好地將ELECTRE方法運(yùn)用的實(shí)際問題中，劉培德[13]提出了一種基于語言變量的多屬性決策ELECTRE方法，也就是利用ELECTRE方法解決決策數(shù)據(jù)為語言信息的問題。在描述決策信息方面，無論是模糊數(shù)還是語言變量都不如語言直覺模糊數(shù)，語言直覺模糊數(shù)不僅可以通過隸屬度和非隸屬度來表達(dá)決策專家對(duì)于待選方案的偏好程度，同時(shí)對(duì)于語言信息的分析可以使評(píng)價(jià)結(jié)果更加準(zhǔn)確。據(jù)此，本文將語言直覺模糊數(shù)同改進(jìn)的ELECTRE方法相結(jié)合，更好地處理具有模糊、復(fù)雜信息的多屬性決策問題，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)的ELECTRE方法難以對(duì)模糊數(shù)排序的不足。

1 語言直覺模糊數(shù)及其可能度

1.1 語言直覺模糊數(shù)

定義一[5]：設(shè)X是一個(gè)給定論域，x是給定論域X中的元素，則一個(gè)直覺模糊集B可以表示為：

其中，uA(x)、vA(x)分別表示隸屬度和非隸屬度，并且對(duì)于每一個(gè)X中的x，我們可以得到：

設(shè)語言評(píng)價(jià)集S={s0，s1，…，si}(i=0，1，…，t)是由奇數(shù)個(gè)元素構(gòu)成，其中t為正整數(shù)，si表示語言變量的可能值。例如，當(dāng)t=6時(shí)，語言評(píng)價(jià)集S可表示為[14]：

定義二[6]：設(shè)sα，sβ∈S[0，t]并且γ=(sα，sβ)，如果α+β≤t，則我們把γ稱為語言直覺模糊數(shù)。如果sα，sβ∈S，我們稱γ為原始語言直覺模糊數(shù)，否則，我們稱γ為虛擬語言直覺模糊數(shù)。

1.2 語言直覺模糊數(shù)的可能度

定義三[15]：假設(shè)a1=(u1，v1)、a2=(u2，v2)和a3=(u3，v3)為三個(gè)直覺模糊數(shù)，且c1=1-u1-v1，c2=1-u2-v2，那么兩者之間的可能度公式為：

直覺模糊數(shù)的可能度具有以下性質(zhì)：

公理1：0≤P(a1≥a2)≤1

公理2：(互補(bǔ)性)P(a1≥a2)+P(a2≥a1)=1

公理3：若P(a1≥a2)+P(a2≥a1)=1；特別地，若a1=a2，則P(a1≥a2)=0.5

公理4：若u1-v1≥u2-v2，則P(a1≥a2)≥0.5；特別地，當(dāng)u1-v1=u2-v2時(shí)P(a1≥a2)=0.5

公理5：若P(a1≥a2)≥0.5，且P(a2≥a3)≥0.5，則P(a1≥a3)≥0.5

基于語言直覺模糊數(shù)的猶豫度與非隸屬度的性質(zhì)，本文定義了語言直覺模糊數(shù)的可能度。

定義四：假設(shè)γ1=(sα1，sβ1)和γ2=(sα2，sβ2)是兩個(gè)語言直覺模糊數(shù)，且θ1=t-α1-β1，θ2=t-α2-β2，那么兩者之間的可能度公式為：

很顯然，語言直覺模糊數(shù)同樣具有如下簡單性質(zhì)(證明略)：

公理6：0≤P(γ1≥γ2)≤1

公理7：P(γ1≥γ1)=0.5

公理8：P(γ1≥γ2)+P(γ2≥γ1)=1

2 基于語言直覺模糊數(shù)的改進(jìn)ELECTRE方法

2.1 多屬性決策問題的描述

2.2 基于語言直覺模糊數(shù)的改進(jìn)ELECTRE方法

步驟二：根據(jù)參考文獻(xiàn)[15]給出的排序公式如下：

m個(gè)方案的優(yōu)劣關(guān)系是通過dij的次序關(guān)系來反映的，所以用dij來代替其所對(duì)應(yīng)的評(píng)估值不會(huì)影響原有的關(guān)系[16]。映射后形成的決策矩陣：

D中元素dij(i=1，2，...，m，j=1，2，...，n)表示第i個(gè)方案第j個(gè)指標(biāo)經(jīng)映射后的決策數(shù)值。

步驟三：把D矩陣的列向量進(jìn)行規(guī)范化得到規(guī)范化矩陣R：

步驟四：構(gòu)造優(yōu)先關(guān)系并計(jì)算優(yōu)先度矩陣：

對(duì)于任意指標(biāo)Cj，第k個(gè)和第i個(gè)方案之間的優(yōu)劣關(guān)系可由規(guī)范化矩陣R中元素rkj和rij的大小關(guān)系來表示。rkj=rij表示第k個(gè)方案等價(jià)于第i個(gè)方案；rkj＞rij表示第k個(gè)方案優(yōu)于第i個(gè)方案；rkj＜rij表示第k個(gè)方案劣于第i個(gè)方案；rkj≥rij表示第k個(gè)方案優(yōu)于或等價(jià)于第i個(gè)方案；rkj≤rij表示第k個(gè)方案劣于或等價(jià)于第i個(gè)方案。

假設(shè)J(k，i)={j｜1≤j≤n，?Cj：rkj≥rij}表示第k個(gè)方案優(yōu)于或等價(jià)于第i個(gè)方案的指標(biāo)集合；J-(k，i)={j｜1≤j≤n，?cj：rkj＜rij}表示第k個(gè)方案劣于或等價(jià)于第i個(gè)方案的指標(biāo)集合。定義相對(duì)優(yōu)先度矩陣PM：

pmki表示第k個(gè)方案優(yōu)于第i個(gè)方案的程度。

步驟五：計(jì)算相對(duì)劣勢矩陣WM：

元素wmki表示第k個(gè)方案相對(duì)于第i個(gè)方案的劣勢指數(shù)。

通過比較相對(duì)優(yōu)先度矩陣PM和相對(duì)劣勢矩陣WM，我們可以發(fā)現(xiàn)，PM中的元素只是根據(jù)指標(biāo)權(quán)重的信息計(jì)算得來，而WM中的元素不僅包括指標(biāo)權(quán)重的信息，同時(shí)包含了指標(biāo)值信息，所以相對(duì)優(yōu)先度和相對(duì)劣勢度并沒有互補(bǔ)性。wmki反映了第k個(gè)方案相對(duì)于第i個(gè)方案的相對(duì)劣勢程度，wmki的值越小越表示第k個(gè)方案劣于第i個(gè)方案的可能性就越小。

步驟六：計(jì)算修正綜合加權(quán)矩陣V：

步驟七：計(jì)算凈優(yōu)勢值。

步驟八：排序。根據(jù)凈優(yōu)勢值δk進(jìn)行排序，δk的值越大證明方案越好，從而選擇最適合的方案。

3 實(shí)例分析

在這個(gè)部分，為了驗(yàn)證本文提出的方法的有效性，我們采用尋找最好供貨商的例子來進(jìn)行計(jì)算、比較和分析。有一家制造公司想要選擇一個(gè)最好的供貨商來為其供貨。有四個(gè)潛在的國際供貨商可供選擇，即A=。選擇供貨商時(shí)需要考慮一下5個(gè)指標(biāo)：C1是產(chǎn)品總成本；C2是產(chǎn)品質(zhì)量；C3是供應(yīng)商的服務(wù)績效；C4是供應(yīng)商的形象；C5是風(fēng)險(xiǎn)因素。5個(gè)指標(biāo)的權(quán)重為w=(0.25，0.2，0.15，0.18，0.22)T，根據(jù)語言評(píng)價(jià)集S=(s0，s1，s2，s3，s4，s5，s6，s7，s8)=(極差，很差，差，中下，中，中上，好，很好，極好)，對(duì)各個(gè)方案的評(píng)價(jià)指標(biāo)以語言直覺模糊數(shù)給出，其評(píng)價(jià)結(jié)果如矩陣Y所示[6]。

步驟一：利用公式(3)計(jì)算每一個(gè)指標(biāo)Cj下的可能度矩陣：

步驟二：利用公式(4)，得出最終的決策矩陣D：

步驟三：通過公式(6)，得出規(guī)范化決策矩陣R：

步驟四：通過公式(7)，計(jì)算相對(duì)優(yōu)勢度矩陣PM：

步驟五：通過公式(8)，計(jì)算相對(duì)劣勢矩陣WM：

步驟六：通過公式(9)，計(jì)算修正綜合加權(quán)矩陣V：

步驟七：通過公式(10)，計(jì)算凈優(yōu)勢值：δ=(0.916，1.065，-0.551，-1.43)

步驟八：排序結(jié)果為A2?A1?A3?A4。

所以，四個(gè)供貨商中，選擇第二個(gè)供貨商為最優(yōu)選擇。

為了進(jìn)一步證明本文提出的方法的有效性，我們將本文方法與參考文獻(xiàn)[16]中所提的方法進(jìn)行對(duì)比分析。采用參考文獻(xiàn)[17]中的TOPSIS方法，方案排序?yàn)锳2?A1?A4?A3，通過對(duì)比結(jié)果可以看出，最優(yōu)方案是一致的，即第二個(gè)供貨商為最優(yōu)選擇，這充分說明本文所提出的方法是有效的。

由排序可以看出，TOPSIS方法中第四個(gè)供貨商優(yōu)于第三個(gè)供貨商，而本文所提出的方法中則是相反的。這是由于本文運(yùn)用可能度表示不同屬性之間的相互關(guān)系，同時(shí)在判斷最優(yōu)方案時(shí)，采用了凈優(yōu)勢值，避免了單純考慮相對(duì)優(yōu)勢度或相對(duì)劣勢度所帶來的判斷偏差。同時(shí)本文創(chuàng)造性地將語言直覺模糊數(shù)與改進(jìn)的ELECTRE方法相結(jié)合，很好地解決了決策問題中出現(xiàn)的決策信息模糊的問題。

4 結(jié) 論

本文充分考慮評(píng)價(jià)值為語言信息的情況，利用語言直覺模糊數(shù)來表達(dá)決策者的語言信息，提出了一種改進(jìn)的ELECTRE方法，不僅能夠很好地表達(dá)信息的不確定性和模糊性，同時(shí)也可以降低那些有偏見的決策者給出的不合理的決策信息的影響。由于在現(xiàn)實(shí)生活中，我們無法準(zhǔn)確地判斷兩個(gè)屬性之間的相互關(guān)系，本文采用了改進(jìn)的ELECTRE方法，不僅能夠很好地表達(dá)不同屬性之間的相互關(guān)系，而且也避免了單純考慮相對(duì)優(yōu)勢度或相對(duì)劣勢度所帶來的判斷偏差。同時(shí)語言直覺模糊數(shù)對(duì)于決策者決策信息描述方面的優(yōu)越性以及ELECTRE方法較強(qiáng)的應(yīng)用性，使得本文為解決包含較多模糊信息的決策問題提供了一個(gè)行之有效的方法。

通過實(shí)例驗(yàn)證，新方法簡單易懂，整個(gè)評(píng)價(jià)步驟清晰明了，對(duì)于決策制定者來說，便于掌握。文章所提方法在今后企業(yè)決策中有如下啟示：(1)避免了決策時(shí)采用德爾菲法、專家討論法等方法中專家只能根據(jù)指標(biāo)給出確切數(shù)據(jù)的尷尬，取而代之的是用專家所習(xí)慣的語言信息來進(jìn)行評(píng)價(jià)，使得評(píng)價(jià)結(jié)果更加準(zhǔn)確。(2)專家進(jìn)行決策的時(shí)候會(huì)考慮到不同屬性之間的相互關(guān)系，而傳統(tǒng)的ELECTRE方法忽略了這一點(diǎn)。本文中改進(jìn)的ELECTRE方法充分考慮到了不同屬性之間的相互關(guān)系，使得決策過程更加符合決策者的本意。(3)在下一步的研究中，還要進(jìn)一步地?cái)U(kuò)大新方法的應(yīng)用范圍，可以將決策步驟利用編程軟件來實(shí)現(xiàn)，這樣不僅能節(jié)省決策者的時(shí)間，同時(shí)還可以避免決策過程中人為失誤。

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ELECTRE Method and Its Application in Multi-attribute Decision Making——Based on Linguistic Intuitionistic Fuzzy Number

LIU Peide，LIU Junlin，YANG Yunbin
(School of Management Science and Engineering，Shandong University of Finance and Economics，Jinan 250014，China)

Linguistic intuitionistic fuzzy number(LIFN)adopts linguistic words as membership degree and nonmembership degree of the intuitionistic fuzzy set and thus can better deal with the information fuzziness and uncertainty in multi-attribute decisions compared with traditional intuitionistic fuzzy number.Therefore，a LIFN-based ELECTRE method is proposed in this paper.This paper firstly defines LIFN and provides the possibility degree formula，and then proposes the revised LIFN-based ELECTRE method，i.e，calculating the relative priority and relative inferiority of each plan and then solving multi-attribute decision making by sorting these plans based on their net priority degree，and finally demonstrates with examples the validity and feasibility of this method.

linguistic intuitionistic fuzzy number；ELECTRE method；multi-attribute decision making

C934

A

2095-929X(2017)01-0082-08

(責(zé)任編輯劉小平)

2016-09-25

國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“基于二維不確定語言信息的模糊多屬性群決策理論、方法及應(yīng)用研究”(71271124)；國家軟科學(xué)計(jì)劃項(xiàng)目“基于模糊與優(yōu)化理論的黃河三角洲高效生態(tài)經(jīng)濟(jì)區(qū)生態(tài)系統(tǒng)健康評(píng)價(jià)與生態(tài)政策研究”(2014 GXQ4D192)；泰山學(xué)者工程專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)資助。

劉培德，男，山東濰坊人，博士，山東財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師，研究方向：決策理論與方法、信息管理與決策支持；劉俊麟，女，山東淄博人，山東財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院碩士生，研究方向：模糊多屬性決策，Email：junlin1991＠163.com；楊云彬，男，山東濰坊人，山東財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院碩士生，研究方向：管理信息系統(tǒng)。