沈岳夫（浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學(xué)）

點動圖變思構(gòu)圖 分類探求尋突破
——對一道九年級期末復(fù)習(xí)題的思路突破與感悟

沈岳夫（浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學(xué)）

對一道以直角坐標(biāo)系為依托，單動點為背景，融圓于一體的九年級期末復(fù)習(xí)綜合題進行了深入的剖析.從它的來源、考查的重點、思路的突破，以及解法進行了詳細的解讀，總結(jié)、挖掘出一個常用的模型法，并進行推廣，尋找出其內(nèi)在的聯(lián)系和規(guī)律.

解題教學(xué)；思路突破；拓展推廣；教學(xué)啟示

一、問題提出

在期末復(fù)習(xí)“圓的基本性質(zhì)”等相關(guān)知識點時，筆者所選用的試卷中有下列一道壓軸題．閱卷時筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生留白，特別是第（3）小題留白現(xiàn)象最為嚴重，所教的兩個班級中（76名學(xué)生）只有1名學(xué)生做得全對，不少學(xué)生無從下手，原因何在？故此，筆者靜心下來，認真思考，如何引導(dǎo)學(xué)生走出解題困境呢？

題目如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點M在x軸的正半軸上，⊙M交x軸于A，B兩點，交y軸于C，D兩點，且C為的中點，連接CE，AE，CB，EB，AE與y軸交于點F，已知A（-2，0），C（0，4）．

圖1

（1）求證：AF=CF；

（2）求⊙M的半徑及EB的長；

（3）如圖2，P為x軸下方半圓弧上的一個動點，連接PE交CB于點R，當(dāng)△CRE為等腰三角形時，直接寫出EP的長．

圖2

此題源于2014學(xué)年第一學(xué)期浙江省慈溪市九年級期末考試數(shù)學(xué)試卷中的最后一題，此題是以直角坐標(biāo)系為依托，單動點為背景，融圓于一體的綜合題.從知識層面看，主要全面考查了垂徑定理、勾股定理、等弧、圓周角、弦及其之間的關(guān)系，半徑、弦心距、半弦之間的關(guān)系，全等三角形與相似三角形等知識點，這些知識都是初中數(shù)學(xué)的核心知識．從方法層面看，此題核心的解題方法是在直角坐標(biāo)系下，利用上述基礎(chǔ)知識，借助于轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想、分類思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法來解決有關(guān)問題．從經(jīng)驗層面看，解決此題需要學(xué)生具有一定的基本活動經(jīng)驗．從直角坐標(biāo)系聯(lián)想到∠COB=90°，且由C為的中點聯(lián)想到圓周角、等弦等，進而聯(lián)想到半徑、弦心距、半弦之間的基本模型．但第（3）小題難度增大，頗具思維含量．其中題中的條件“當(dāng)△CRE為等腰三角形”怎樣構(gòu)圖是此題的難點，也是解決問題的關(guān)鍵．那么該題如何解？有何規(guī)律？

二、解題教學(xué)

數(shù)學(xué)家華羅庚談到解題時說過，“退”到最原始的地方去，是解決問題的一個訣竅．最原始的地方，就是題干信息中的關(guān)鍵詞：語句、點、線（段）、位置、運動、形的直觀、數(shù)的直觀、式的特征、形的對稱等.它驅(qū)動著思維的起航，催生著解題思路的自然流淌，詮釋并訴說著解法“是怎樣想到的”．因此，就此題而言，由動點P產(chǎn)生的動線圖形問題，需要分類思考，然后根據(jù)臨界點位置分類畫出符合要求的圖形（最好是分離后的簡化圖形），這將為進一步突破思路提供了研究的平臺．

1.重視審題

作為解題的第一個重要環(huán)節(jié)，審題往往得不到學(xué)生的充分重視．教師應(yīng)以此為契機，引導(dǎo)學(xué)生認識到審題的必要性，通過舉例說明兩種常見題型的結(jié)構(gòu)特征，即并列式與遞進式（如圖3）．

圖3

2.追本溯源

仔細品味就會發(fā)現(xiàn)，構(gòu)成這道試題的基本素材源于浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）九年級上冊第3章“圓的基本性質(zhì)”．

（1）（教材第77頁課內(nèi)練習(xí)第1題）已知：如圖4，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，OA⊥CD于點P．求證：

圖4

（2）（教材第86頁課內(nèi)練習(xí)第2題）已知：如圖5，在⊙O中，AB=CD．求證：AD=BC．

圖5

（3）（教材第93頁作業(yè)題第4題）已知：如圖6，在⊙O中，AB=CD．求證：∠ABD=∠CDB．

圖6

命題者從教材習(xí)題的圖形出發(fā)，抓住核心條件適當(dāng)變式：一是將圖4放到直角坐標(biāo)系中，使顯性條件隱性化；二是將圖5、圖6進行有機融合，將“靜態(tài)”圖形改為“動態(tài)”圖形下“P為x軸下方半圓弧上的一個動點，連接PE交CB于點R，當(dāng)△CRE為等腰三角形時，直接寫出EP的長”的探索題，使問題得以延伸．

3.解法分析

提問1：探究圓中的問題時，方法選擇的順序是什么？

先考慮能否用圓的定理直接解決，再考慮轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決．

提問2：圓中的常用三角形有哪些？

用半徑構(gòu)造的等腰三角形，以半徑（或直徑）構(gòu)造的半徑、弦心距、半弦之間的直角三角形、全等三角形或相似三角形．

提問3：由直角坐標(biāo)系想到什么？C為的中點聯(lián)想到什么？

從直角坐標(biāo)系聯(lián)想到∠COB=90°，聯(lián)想到垂徑定理的基本圖形；由C為的中點聯(lián)想到圓周角、等弦，或垂徑定理的逆定理等．

提問4：遇到動點問題，應(yīng)注意什么？圓問題中求解線段長度問題的常用方法有哪些？

應(yīng)注意分類討論，畫出符合題意的圖形，以幫助分析解題；線段的和差關(guān)系、弧的和差轉(zhuǎn)化為線段的和差關(guān)系、直角三角形的邊角關(guān)系、相似三角形等，或單一使用，或組合使用．

解：（1）略；

（2）如圖7，連接CM交AE于點G.

圖7

設(shè)CM=x，則OM=x-2.

所以在Rt△COM中，求出x=5，

即⊙O的半徑為5．

因為C為的中點，所以CM⊥AE，AG=GE．

易證△AOC≌△CGA.

所以AG=OC=4.

所以AE=8.

進而求得BE=6．

（3）當(dāng)RC=RE時，如圖8，此時∠REC=∠RCE，

圖8

所以EP=BC.

當(dāng)CR=CE時，如圖9，此時∠REC=∠ERC，

而∠REC=∠AEC+∠AEP，∠CRE=∠EBR+∠BEP，

圖9

當(dāng)EC=ER時，如圖10，過點E作EH⊥CR交于點H，則易證△CEH∽△ABE.

圖10

所以EP=ER+RP=

綜上分析，滿足條件的EP長為或

【評注】對于第（2）小題應(yīng)首先由C為的中點聯(lián)想到垂徑定理的逆定理，進而聯(lián)想到垂徑定理的基本模型，將求BE的長轉(zhuǎn)化為求AE的長，而AE=2AG，然后由第（1）小題的暗示，可證△AOC≌△CGA，但這一點學(xué)生難以察覺，也就是學(xué)生的思維困境所在.對于第（3）小題設(shè)計了相互關(guān)聯(lián)的問題，層次分明，難度增大，學(xué)生應(yīng)對△CRE為等腰三角形進行分類討論.當(dāng)RC=RE時，由角相等EP=BC（這種方法筆者稱之為“弧弦和差法”），這是對圖5、圖6的靈活運用；當(dāng)CR=CE時，由角相等→∠REC=∠AEC+∠AEP和∠CRE=∠EBR+∠BEP（這種方法筆者稱之為“底角轉(zhuǎn)化法”，這是圓中證明等腰三角形的一種常用方法，應(yīng)當(dāng)引起重視）→∠AEP=∠BEP→特殊直角三角形，然后計算出線段長；當(dāng)EC=ER時，應(yīng)對題目細心觀察，先添垂線EH，再由△CEH∽△ABE和“8字型”的△CER∽△PBR（這種方法筆者稱之為“等腰添高相似法”），從而完成從已知向未知的過渡，將分散的條件通過兩次相似等到等量關(guān)系，進而解決問題．

4.模型提煉

（1）提煉原題結(jié)論.

通過對CR=CE時的探求，我們進一步思考、猜想，可得到如下定理.

定理1：如圖11，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O為Rt△ABC的外接圓，CD平分∠ACB，且交⊙O于點D，則（AC＋BC）．

圖11

（2）弱化一個條件（即∠ACB≠90°）.

把定理1的題設(shè)一般化：如果∠ACB≠90°，其他條件不變，那么AC，BC，CD這三者之間又有著怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？通過類比探究得到如下定理.

定理2：如圖12，AC，BC是⊙O的兩條弦，且∠ACB=θ，∠ACB的平分線交⊙O于點D，則AC+BC=

圖12

證明：如圖12，連接AD，BD，過點D作∠ACB兩邊的垂線DE和DF，垂足分別是點E，F(xiàn)．

可證Rt△ADE≌Rt△BDF.

得AE=BF.

則AC+BC=AC+CF+BF=AC+CF+AE=CE+ CF=2CE.

在Rt△CDE中，因為cos∠DCE=

所以CE=CDcos∠DCE，

【設(shè)計意圖】通過對定理1、定理2的探究，揭示了命題中條件與隱含條件、結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，為尋求解題途徑指明了方向，使問題的解法簡單流暢、別具一格，達到了化繁為簡、化難為易的目的，而且還可以開拓學(xué)生的思路、提高解題能力，對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)也大有裨益．

5.鞏固提升

1．如圖13，AB為⊙O的一固定直徑，它把⊙O分成上、下兩個半圓，過上半圓上一點C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分線交⊙O于點P，當(dāng)點C在上半圓（不包括A，B兩點）上移動時，點P（ ）.

圖13

（A）到CD的距離保持不變

（B）位置不變

（D）隨點C的移動而移動

2．如圖14，⊙O過四邊形ABCD的四個頂點，已知∠ABC=90°，BD平分∠ABC，則：①AD=CD；②AB2+BC2=2CD2；③點O是∠ADC平分線上的點；④上述結(jié)論中正確的個數(shù)為（ ）.

圖14

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

3．如圖15，半徑為5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點C和動點P，已知BC∶CA=4∶3，點P在上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．

圖15

（1）當(dāng)點P與點C關(guān)于AB對稱時，求CQ的長；

（2）當(dāng)點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長；

（3）當(dāng)點P運動到的中點時，求CQ的長.

4．如圖16，在半徑為5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所對的優(yōu)弧上的動點，連接AP，過點A作AP的垂線交射線PB于點C，當(dāng)△PAB是等腰三角形時，線段BC的長為____________

．

圖16

5．如圖17，已知AB是⊙O的直徑，AB＝8，點C在半徑OA上（點C與點O，A不重合），過點C作AB的垂線交⊙O于點D，連接OD，過點B作OD的平行線交⊙O于點E、交射線CD于點F．

圖17

（2）設(shè)線段OC=a，求線段BE和EF的長（用含a的代數(shù)式表示）；

（3）設(shè)點C關(guān)于直線OD的對稱點為點P，若△PBE為等腰三角形，求OC的長．

【設(shè)計意圖】設(shè)置5道鞏固提升題，鞏固深化對試題講評的效果檢驗，前3道題側(cè)重于角平分線的訓(xùn)練，后2道題側(cè)重于動態(tài)分類討論的鞏固．目的在于學(xué)以致用，以滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，力求使不同層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展．

三、解后反思

1．關(guān)注思想方法，為學(xué)生提升素養(yǎng)蓄勢儲能

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是數(shù)學(xué)思想方法的滲透．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2011年版）》提醒我們：數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象和概括．知識是能力的基礎(chǔ)，能力是知識的升華，思想方法則是其靈魂．解決問題是對知識的運用，是學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累，是獲得能力的途徑.在解決問題的過程中，尤其要注重對數(shù)學(xué)思想方法的滲透與提煉.例如，分類討論思想（如CR=CE或CR=CE或EC=ER進行分類）和轉(zhuǎn)化思想（如構(gòu)造出Rt△COM或Rt△CEH等）.除此以外，還需要用到數(shù)形結(jié)合、方程等思想方法．只有這樣，才能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，才能發(fā)展學(xué)生分析問題和解決問題的能力，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，它蘊含于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程之中．

2．立足構(gòu)造圖形，為學(xué)生分解難點鋪路搭橋

解題難點是因人而異的，或源于解題者的知識漏洞，或源于發(fā)現(xiàn)不了隱含條件，或源于顧此失彼，等等．壓軸題的區(qū)分功能意味著不同水平的學(xué)生都有得分空間．不強求全對，但要盡力，“分步、采點”不失為一種得分策略．利用圖形思考、探究，有利于學(xué)生找到適合自己的解題方式．此題在探求△CRE為等腰三角形時特別注重了該方面的考查，尤其是第（3）小題根據(jù)動線PE，分類畫出符合要求的圖形（最好是分離后的簡化圖形，如圖8～10），再細心觀察，若能發(fā)現(xiàn)隱含信息，如∠REC=∠AEC+∠AEP和∠CRE=∠EBR+∠BEP，則能找到問題解決的突破口．上述當(dāng)CR=CE或EC=ER時，若不借助圖形的觀察、分析是難以發(fā)現(xiàn)的．可見，有效構(gòu)圖，能使條件整合，能給予解題導(dǎo)向，能作為解題的監(jiān)控工具，能為不同水平的學(xué)生各盡所能提供有利的條件．

3．重視變式訓(xùn)練，為學(xué)生思維升華拓展空間

著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特說過，一個問題的解決意味著一系列新的問題的誕生．當(dāng)我們解題成功時，不要忘記提出新的問題，因為還有許多寶藏尚未開發(fā)出來．教師解題不能局限于低效的就題論題的解題習(xí)慣，教師若能深入領(lǐng)悟典型題目的編寫意圖，進行“一題多法的探索，一題多問的發(fā)散，一題多變的嘗試，多題歸一的收斂，多題歸一的提煉”的二度開發(fā)，這本身就是對解法之間的聯(lián)系、解題方法的本質(zhì)的深度挖掘，努力追溯問題背景及一般的結(jié)論（如上述提煉結(jié)論中的定理1和定理2等），臻于知其然的化境．經(jīng)過這樣的解題挖掘，解題內(nèi)容就變得更豐富，習(xí)題形式變得更靈活，從而最大限度地彰顯習(xí)題的價值，使習(xí)題教學(xué)從淺層走向深層、從單一走向多樣；文中隨著“鞏固提升題”的逐一呈現(xiàn)，能夠使學(xué)生懂其原理，知其方法，通其變化，這樣學(xué)生在不知不覺中既解決了問題，又獲得了方法，也提高了數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生的解題學(xué)習(xí)由懂到會、由會到熟悉、由熟悉到巧．

［1］王靜．一則教學(xué)片斷的思考［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2014（9）：33-34.

［2］桂文通．回歸課本 提煉模型 推廣命題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2014（12）：41-43.

［3］沈岳夫．以“本”為源巧建模 提煉規(guī)律妙解題：對一類函數(shù)視角下平行四邊形頂點坐標(biāo)求解的研究［J］．中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（11）：43-47，64.

2016—09—14

沈岳夫（1963—），男，中學(xué)高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)和解題研究．