來林芳（浙江省杭州市浦沿中學）

賞·析·解·思·變
——說題實踐與收獲

來林芳（浙江省杭州市浦沿中學）

說題是提高教師業(yè)務水平的一條有效途徑，以“說題案例分析”的形式，從賞題、析題、解題、思題、變題這幾方面研究入手，立足于課堂教學的靈活應用，從而有效地培養(yǎng)學生的發(fā)散思維、解題習慣，切實提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，使數(shù)學課堂的“輕負高質(zhì)”得以落到實處.

數(shù)學說題；解題能力；教學啟示

一、引子：說題引起的思考

2015年10月15日，筆者參加了區(qū)中學數(shù)學說題比賽.此次說題，從選題之巧、分析之妙、解法之多、變式之活，無一不給筆者留下深刻的印象，給教學帶來了深刻的啟示.

說題一般包含賞題、析題、解題、思題、變題五個方面.賞題包含說題目的來源與背景、說題目的內(nèi)涵及功能即所涉及的知識、技能、思想和方法.析題包含分析題目和分析學生兩部分.分析題目即分析題目的條件和結(jié)論，如何從條件出發(fā)一步一步與結(jié)論打通或者如何從結(jié)論出發(fā)一步一步與已知打通；分析學生即分析學生對此題已有的知識與經(jīng)驗、可能會遇到的困難等.解題即此題的解法，一般含一題多解.思題指說題后的反思和對今后教學的一種思考.變題指改變此題的部分條件或結(jié)論，探索舊的結(jié)論是否成立，或者得出新的類似的結(jié)論，或者得出一個全新的結(jié)論.

二、說題案例分析

下面以2015年四川省資陽市中考數(shù)學第23題為例加以說明.

題目如圖1，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DC，CB上的點，且DE=CF，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點Q，連接DF.

圖1

（1）若E是CD的中點.求證：Q為CF的中點；

（2）連接AQ，設S△CEQ= S1，S△AED=S2，S△EAQ=S3，在（1）的條件下，判斷S1+ S2=S3是否成立？并說明理由.

（一）賞題

1.熟悉——題目來源、背景

此題是2015年四川省資陽市中考數(shù)學試題.構(gòu)圖背景非常的熟悉，有K字形相似，有源于教材的正方形中常見的全等基本圖形（浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊第127頁第4題）.

2.巧妙——題目的設計意圖

此題內(nèi)容設計上很巧，把正方形中常見的全等基本圖形與K字形相似利用點E有機結(jié)合，巧而不偏，新而不怪.其次，問題設計上也十分巧妙，雖然兩道小題相對獨立，但都用到了相似、全等、中點等數(shù)學知識，第（1）小題對第（2）小題有著承上啟下的作用.

3.全面——題目的考查意圖

考查內(nèi)容全面，突出數(shù)學思想方法.此題涉及相似三角形、正方形、全等、勾股定理等知識點，涉及內(nèi)容豐富.同時，考查的思想方法有數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸等.

（二）析題

千里之行始于足下，任何一次成功解題的第一步都是審題.波利亞在《怎樣解題》中指出，第一步是弄清問題.已知條件是什么？求證是什么？因此，在審題過程中，可以圈出以下幾個關鍵詞.

1.條件分析

（1）正方形ABCD，AEHG；

（2）DE=CF；

（3）E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的點；

（4）E是CD的中點.

從條件正方形：我們可以聯(lián)想到四條線段都相等、四個內(nèi)角都相等且為90°，為找相等的邊和角提供了條件.從條件DE=CF：已知不相鄰的兩條線段相等，我們可以想到全等三角形的對應邊.從條件（3）：這是一個線段上的動點問題，注意是否存在分類討論.從E是CD的中點：這是一個倍半關系.在平面幾何中，中點問題常轉(zhuǎn)化為以下三種方法來解決：其一，中線倍長法，構(gòu)造全等三角形；其二，三角形中位線平行且等于第三邊的一半，梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半；其三，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.只是這個條件與前面三個條件不同，只能用于第一個問題.

2.結(jié)論分析

（1）求證：Q為CF的中點；

（2）判斷S1+S2=S3是否成立.

中點問題分析與前面類似不重復；判斷S1+S2=S3是否成立：首先，若先看到相似基本圖形，則可以聯(lián)想到相似三角形的面積比等于相似比的平方這一性質(zhì)；其次，看S1，S2，S3是否直接可求；再次，這是一個三面積之間和差關系的問題，在平面幾何里常見的方法是截大補小，那么能否截大，將S3截分？能否補小，將S1和S2通過等面積的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到同一面積上？

教學啟示：在日常教學中，在審題環(huán)節(jié)，教師要學會追第一問：你是怎么想的？要引導學生弄清已知和求證，學會分析條件、結(jié)論各自的作用，并積累一些經(jīng)典條件的用法.例如，中點、兩條線段相加等于第三條線段等；同時注意標圖、圈畫關鍵詞，培養(yǎng)解題習慣和分析問題的能力.

3.解法分析

解題思路分析一般有演繹法、分析法和類比法.演繹法是根據(jù)條件所能推出的結(jié)論與要證結(jié)論的關系，在能夠得出的結(jié)論中選擇可能推出的待證結(jié)論的結(jié)論，再以這些結(jié)論為條件進一步推出新的結(jié)論，直至獲得待證結(jié)論的過程.分析法是演繹法的逆推法，是執(zhí)果索因的方法.類比法是通過回顧自己的解題經(jīng)驗，尋找待解命題與已解命題的條件、結(jié)論、圖形或關系的相似性，原解題方法解決新問題的思路.因此，對于此題，我們可以得到以下大致思路如圖2所示.

圖2

關于第（1）小題選用了分析法.要證Q為CF的中點，已有E為CD的中點，可見如何證EQ∥DF是該小題的關鍵.再回頭審視題設條件，題中有DE=CF和正方形ABCD，根據(jù)這兩個條件易證得△CFD≌△DEA.于是得到了有關角與邊的相等關系，其中有些結(jié)論對我們進一步求解有幫助，我們可以得到∠CDF=∠DAE.進而得到AE⊥DF.再根據(jù)題設中的以AE為邊作正方形AEHG（即AE⊥EH），于是有EQ∥DF，從而我們可以順利地解決第（1）小題.

關于第（2）小題使用了分析法.要判斷S1+S2=S3是否成立，先看S1，S2，S3所對應的三個三角形，顯然易得S1與S2所對應的△CQE∽△DEA，于是能得到有關邊的比例關系，其中對我們繼續(xù)求解有幫助，由于E是CD的中點，進而通過等量代換和變形可得再由∠QEA=∠C，從而可得S1與S3所對應的△CQE∽△EQA.既然S1，S2，S3所對應的三個三角形兩兩相似，那么我們可以得到由勾股定理QE2+AE2=AQ2，可得至此，我們可以圓滿地判斷出這一結(jié)論.

當通過以上審題步驟，若還找不到解題思路的時候，可以進行第二步.第二步是擬定計劃.你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你能不能利用它？如果你不能直接利用它，那么你能不能做適當?shù)淖兺ǎ?/p>

關于第（1）小題類比法：以前沒有見過，但見過條件類似而結(jié)論不同的證明題.題目如下.

如圖3，已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DC，CB上的點，且DE=CF.求證：AE⊥DF.

圖3

如圖4，已知E是正方形ABCD的邊DC上的點，且滿足AE⊥EQ交CB于點Q.求證：△CQE∽△DEA.

圖4

通過利用這兩個我們熟悉的結(jié)論，再加上條件E是CD的中點，第（1）小題得證.

第（2）小題類比法：可由相似基本圖形，聯(lián)想到相似三角形面積之比等于相似比的平方.可得由勾股定理QE2+AE2=AQ2，可得從而S1+S2=S3結(jié)果成立.

教學啟示：對于復雜問題，教師要學會追第二問：你以前見過類似的問題嗎？進而引導學生復雜問題簡單化處理，有意識地引導學生多積累重要的基本圖形；能分離出熟悉的基本圖形；利用圖形分離法解題；引導學生聯(lián)想、遷移出相同或相似的圖形、背景，積累解題經(jīng)驗與活動經(jīng)驗.

（三）解題

解題是波利亞所說的“第三步，實現(xiàn)計劃”.根據(jù)上面的解法分析，我們可以得到以下解題方法.

解：（1）因為正方形ABCD，

所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°.

又因為DE=CF，

所以△CFD≌△DEA.

所以∠CDF=∠DAE.

因為∠ADF+∠CDF=90°，

所以∠ADF+∠DAE=90°.

所以AE⊥DF.

因為正方形AEHG，

所以AE⊥EH.

所以EQ∥DF.

因為E為CD的中點，

所以Q為CF的中點.

解法1：（2）由題意，可證△CQE∽△DEA.

因為E是CD的中點，

所以ED=EC.

因為∠QEA=∠C，

所以△CQE∽△EQA.

所以S1+S2=S3成立.

（四）思題

思題就是波利亞所說的“第四步，回顧”.這一環(huán)節(jié)很重要也很必要，對加深理解、鞏固所學知識、啟迪繼續(xù)思考有著十分重要的作用.

1.是否可以用其他的方法導出這些結(jié)論

一題多解是數(shù)學的一大特征，在這個過程中能體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識，同時簡約性又是數(shù)學的最大特征.第（2）小題用到兩次相似及相似的性質(zhì)與勾股定理解答，思維不容易形成，有沒有更簡約的方法呢？反思后對第（2）小題我們還可以有以下解題方法.

解法2：（2）由面積問題想到直接利用面積公式.

設CQ=a，

則易證S1=a2，S2=4a2，S3=5a2，從而使得命題得證.

解法3：（2）由面積的和、差想到割補法.

割大：如圖5，過點E作EJ⊥AQ，交AQ于點J，通

因為QE2+AE2=AQ2，過證△CQE≌△JQE和△AED≌△AEJ，使得命題得證.

圖5

補?。喝鐖D6，延長AD，QE，使其交于點I，轉(zhuǎn)化為證△CQE≌△DIE和△AQE≌△AIE，使得命題得證.

圖6

2.是否具有一般結(jié)論或規(guī)律，使得命題得證

通過研究，還可以挖掘出一般結(jié)論.

（1）當E為CD的中點時，CQ的長度最大；

（2）當點E，F(xiàn)分別在射線DC，CB上運動時，始終有AE⊥DF；連接HF，四邊形HFDE始終為平行四邊形；G，B，Q三點始終共線等.

教學啟示：在日常教學中，教師要學會追第三問：還有別的解法嗎？進而引導學生進行解題后的反思.因為數(shù)學是一門高深的學科，很多題目的解題過程都不是唯一的，是可以有多種方法來解答的，這時就需要教師及時的補上一句：是否還有其他的解法，你是怎么想的？讓學生不斷地進行反思，在反思中將數(shù)學的知識點、方法理解透徹，同時培養(yǎng)學生的學習興趣和發(fā)散性思維.最后教師也要學會追第四問：你還有什么問題或發(fā)現(xiàn)？進而引導學生提出問題或發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，培養(yǎng)學生提出問題的能力和歸納問題的能力，進而進行探究和創(chuàng)新.

（五）變題

變式教學在我國數(shù)學教學中發(fā)揮了很重要的作用.下面從變條件和變結(jié)論兩方面來說一說此題的變式.

1.變條件

（1）改變圖形的形狀.

如圖7，若把正方形ABCD，AEHG變?yōu)榱庑蜛BCD，AEHG，其他條件不變，上述兩道小題的結(jié)論還成立嗎？

圖7

顯然，把正方形ABCD，AEHG變?yōu)榱庑蜛BCD，AEHG后，DF與QE之間不存在必然的平行關系了，因此第（1）小題結(jié)論不一定成立了.第（2）小題，去除多余的圖形，不難發(fā)現(xiàn)，這也是我們常見的一個基本圖形（如圖8），利用旋轉(zhuǎn)（如圖9）發(fā)現(xiàn)仍然有S1+S2= S3成立.

圖8

圖9

（2）改變點E的位置.

若點E運動到滿足時，如圖10，其他條件不變，上述兩道小題的結(jié)論還成立嗎？若不成立，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

圖10

顯然無論點E如何運動，始終有AE⊥DF，當滿足CD時，則因此，第（1）小題的結(jié)論變成了第（2）小題的結(jié)論，借助于前面的解法，如圖11，我們不難發(fā)現(xiàn)S1+S2=S3已不成立，但S1，S2，S3之間有了新的數(shù)量關系，即2S3=4S1+S2.

繼續(xù)改變點E的位置，若點E運動到滿足CE=時，則第（1）小題的結(jié)論變成了第（2）小題S1，S2，S3之間新的數(shù)量關系為（n-1）S3=（n-1）2S1+S2.

圖11

以上幾個變式雖然從特殊（圖形、位置）發(fā)展到了一般，但用到的知識點沒有變、解題方法沒有變，因此在沒有增加學生認知負擔的同時又鞏固了解題方法，開拓了思維，一舉多得.

2.變問題

（1）與二次函數(shù)結(jié)合.

若正方形ABCD的邊長為1，當點E從點D向點C運動的過程中，線段CQ的長度是否具有最大值？

（2）與圓結(jié)合.

當點E在直線CD上任意移動時，設正方形ABCD的邊長為a，AE與DF交于點P，求BP的最小值.

初中數(shù)學中最常見的最值一般分為兩類：一類為幾何中的共線型最值；一類為函數(shù)型最值.此處通過變問題，讓學生體驗了這兩類最值，感受數(shù)學之最.

教學啟示：在日常教學中，教師要學會變式.通過改變（弱化）條件或結(jié)論，引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，幫助學生克服簡單的機械重復，提高解題效率，培養(yǎng)靈活的解題能力和特殊到一般的數(shù)學思想.

三、說題收獲

俗話說，工欲善其事，必先利其器.說題是一種非常有效的提高教師業(yè)務水平的途徑，教師作為學生學習的組織者、引導者與合作者，可以從賞題、析題、解題、思題、變題這幾方面研究入手，在日常教學中不斷地積極鉆研教材與學生，不斷地積累教學經(jīng)驗，并進行有效追問，不斷地從實踐到認識、再從認識到實踐，多次反復，進而促使自身發(fā)展.這樣才能更有效地去引導學生、幫助學生、培養(yǎng)學生，真正達到“輕負高質(zhì)”這一目標.

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［3］沈岳夫，張乃池．一道月考試題的解法探析及拓展［J］．中學數(shù)學教學參考（中旬），2013（5）：27-29.

［4］吳光潮．構(gòu)建“知識積件模型” 提升合情推理能力［J］．中學數(shù)學教學參考（中旬），2015（1/2）：58-60．

2016—09—14

來林芳（1978—），女，中學一級教師，主要從事初中數(shù)學教學與解題研究.