段廣猛（江蘇省高郵市贊化學校）

對一道程序框圖題的解法探究
——程序框圖題下的“蛛網模型”

段廣猛（江蘇省高郵市贊化學校）

通過對一道程序框圖題的探究，讓學生體會數形結合的思想方法，結合蛛網模型，讓學生體會數學解題的魅力所在，在學生的心靈深處埋下一顆經濟學的種子.提升學生的解題技能、創(chuàng)新意識、應用能力、探索精神，為課堂上的解題教學提供一個新的方向.

程序框圖題；蛛網模型；數形結合；死循環(huán)

程序框圖題是近年來興起并日益廣受歡迎的一類試題，它的特點是靈活多變，考查知識點豐富多彩.隨著互聯(lián)網的普及，計算機及信息技術也是廣為流傳，而這類習題也為學生今后學習編程技術打下堅實的基礎.或許正是由于這些原因，程序框圖題也越來越受到出題者的喜愛，成為考查學生基礎與能力的一個重要載體.下面即是筆者所在學校七年級第二學期數學第二次月度質量調研中有關程序框圖的一道試題.

一、原題重現(xiàn)

題目如圖1，是一個運算流程．

圖1

（1）分別計算：當x＝140時，輸出值為_______，當x＝30時，輸出值為_______；

（2）若需要經過兩次運算，才能計算出y，求x的取值范圍；

（3）試給出一個x的值，使之無論運算多少次都不能輸出（直接寫出一個數即可）．

二、解法初探

此題中程序框圖是一個循環(huán)結構，當上一次的運算結果小于365時，程序會進入下一次運算，并且上一次的運算結果會自動成為下一次的輸入值，直至運算結果不小于365，才會輸出.當然這個程序也有可能會進入“死循環(huán)”，即運算結果永遠都會小于365，因而才有了第（3）小題.針對第（3）小題，學校七年級數學備課組的部分教師也展開過激烈的探討.

師1：只要滿足3x-1＜0即可！

通過后面的圖象解法，這種方法顯然是片面的．

師2：應該滿足第一個式子保證第一次不輸出，第二個式子保證第二次的運算結果不大于第一次的運算結果！

師3：其實只要滿足即可！

……

師2與師3解得的答案是沒有問題的，但在數學推理的嚴密性上還存在一定的疑問！筆者經過反思思考，認為這種方法應該還需要結合“遞推公式”或者“數學歸納法”才能更加嚴謹.不妨記第n次的運算結果為則(n=1，2，利用數學歸納法容易得出與師2或師3相同的結果．但這種解法涉及高中數學知識，那么能否利用初中數學知識解決這個問題呢？有沒有更形象、更具體的解題方法呢？筆者經過嘗試，將一些感悟做如下分享.

三、圖象解法

此題中程序框圖的運算其實對應的就是代數式3x-1，或者理解為一次函數y=3x-1，筆者突發(fā)奇想，試著通過圖象法來解決這個問題.

如圖2，先作出y=3x-1以及y=x的圖象，記它們的交點坐標為點P，則點P的橫坐標為xP=0.5.不妨記第n次的輸入值為xn(n=1，2，3，…)，相應的第n次運算結果為yn(n=1，2，3，…)，即yn=3xn-1(n=1，2，3，…)，運算直至yn≥365，程序停止運行，輸出最終結果；或者yn＜365，程序進入“死循環(huán)”，始終輸不出結果.由圖象顯知，當x1=xP=0.5時，總是有yn=yP=0.5(n=1，2，3，…)；當x1＞xP時，yn(n=1，2，3，…)會逐漸遞增，直至yn≥365輸出最終結果；當x1＜xP時，yn(n=1，2，3，…)會逐漸遞減，導致yn恒小于365，程序進入“死循環(huán)”，始終輸不出結果.綜上所述，當x≤xP，即x≤0.5時，此程序無論運算多少次都不能輸出.

圖2

四、參數調節(jié)

圖3

圖4

筆者還探究了對應一次函數k=1時的兩種情況，如圖5所示.

圖5

而對于k＜0的情形，依照此法，可以同理探究，譬如當k=-1時，結果如圖6所示.

圖6

五、蛛網理論

以上的探究過程其實就是經濟學中所謂的“蛛網模型”.“蛛網模型”是1934年由英國經濟學家卡爾多命名，是用彈性理論考察價格波動對下一周期生產的影響及由此產生的均衡變動的理論.按照這種理論繪制出來的供求曲線圖，形狀近似蛛網.這個理論之所以在20世紀30年代盛行，與上世紀30年代的大危機相關.大危機使經濟產生了劇烈波動，通過自由競爭自行調節(jié)和維持均衡的理論，已不能解釋現(xiàn)實問題.蛛網理論就是在這種背景下提出來用以解釋價格的劇烈波動及其所產生的影響.蛛網模型可以分為三種不同的類型：收斂型蛛網、發(fā)散型蛛網以及循環(huán)型蛛網.上面探討的幾種結果其實就對應著這幾種類型的蛛網模型.

六、函數探討

初中階段主要學習三大函數：一次函數、反比例函數以及二次函數.當此程序框圖的運算對應的是反比例函數或者二次函數，又會有怎樣的結果呢？筆者對此，做了進一步的探究，現(xiàn)將結果呈現(xiàn)如下：當程序運算對應的是反比例函數時，無論輸入何值，結果都會與圖6類似，進入一個“環(huán)形式”的死循環(huán)，即對應循環(huán)型蛛網，如圖7所示.

圖7

而當程序運算對應的是二次函數時，結果最為復雜，這里二次函數取y=x2-2.筆者首先針對可能出現(xiàn)的如圖6及圖7所示的循環(huán)型蛛網結果做了理論上的分析，如圖8所示.

圖8

設A(x，x2-2)，

則B(x2-2，x2-2)，C(x2-2，(x2-2)2-2)，

D((x2-2)2-2，(x2-2)2-2).

令(x2-2)2-2=x，

則x4-4x2-x+2=0,

即(x-2)(x3+2x2-1)=0，(x-2)(x+1)(x2+x-1)=0.

即當點A橫坐標取以上四個值時，此程序會進入“死循環(huán)”.事實上，當點A橫坐標取以上四個值的相反數時，程序也會進入“死循環(huán)”，這一點可以通過二次函數圖象關于y軸的對稱性看出.圖9給出了幾種“死循環(huán)”的結果(xA=2或-1的情況未作)，形象地說，當取xA這四個臨界值或者其相反數時，該程序會“收斂”到某個點處或某個“環(huán)”上，從而進入死循環(huán).

圖9

事實上，只要當程序運行到這些點處或者“環(huán)”上，程序就會進入“死循環(huán)”.例如，圖10給出了當xA=0時的結果.

圖10

當xA＜-2或者xA＞2時，結果如圖11所示，程序會“發(fā)散到正無窮遠處”.事實上，還有一種情形，程序也會“發(fā)散到正無窮遠處”，如圖12所示，此時二次函數取y=x2-4.

圖11

圖12

當-2＜xA＜2且xA不等于以上幾個臨界值時，結果是最復雜的，圖13給出了兩種情形.

圖13

七、反思與展望

圖11中的結果最終能否“收斂”到某個點處或某個“環(huán)”上呢？這值得我們進一步地研究.此外，關于這里的動態(tài)結果能否經過理論分析來解釋，也值得我們去探索.而這些反思與展望也正是數學的無窮魅力所在！這道程序框圖題背景下的“蛛網模型”，既能激發(fā)學生今后學習編程的興趣，又能為學生學習經濟學埋下一顆希望的種子，實屬難能可貴！而這也符合我們?yōu)槿藥煹某踔裕航虝耍ハ路N子，等待花開爛漫，碩果累累！

入職恰逢一年，本文的探究過程讓筆者仿佛又回到了讀研期間那孜孜不倦地努力探索之路上.而這種執(zhí)著的探索精神應該也正是我們培養(yǎng)和傳遞給學生的一種最重要的品質.前輩們在前沿無悔地探索，后輩們在后方不停地接棒，相信我們的研究之路會走得很長很長！

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，1997.

［3］卞少云．關于數學問題評析有效性的思考［J］.中國數學數育（初中版），2015（9）：41-44.

2016—09—10

段廣猛（1989—），男，新聘教師，理學碩士，主要從事數學教育與中學教學研究.