劉 彪 劉慶源 劉華勇

（安徽建筑大學數(shù)理學院，安徽 合肥 230601）

0 引言

偏微分方程在物理學、化學等自然科學和工程技術等領域都有著十分廣泛的應用。在這些研究領域中經(jīng)常出現(xiàn)很多描述某些物理規(guī)律的方程，稱其為數(shù)學物理方程。對這些方程的求解，不僅可以得到一些有實用價值的結論，而且還可以促進這些領域的發(fā)展。數(shù)學物理方程課程的研究對象是3 類典型的偏微分方程——熱傳導方程、波動方程、位勢方程。這些方程是在物理學、生物學、化學、工程學等自然科學和工程技術應用領域中產(chǎn)生的[1，2]。

數(shù)學物理方程課程是物理、聲學和土木工程等理工科專業(yè)本科生的一門專業(yè)基礎課，在實際教學過程中，學生反映課程難學，授課教師表示難教。主要原因有以下幾個：（1）本門課程涉及的相關課程的知識點比較多。主要涉及的有高等數(shù)學、線性代數(shù)和常微分方程的知識，甚至有些章節(jié)還用到復變函數(shù)和泛函分析的知識點。（2）本門課程具有很強的理論性、計算量偏大。3 類經(jīng)典方程求解的過程復雜，涉及知識點比較多，推導冗長，學生比較容易產(chǎn)生畏難心理。（3）學生理論基礎較好，但是缺乏利用相關數(shù)學知識建模，進而解決實際問題的能力。作為數(shù)學理論知識與解決實際問題聯(lián)系的一個非常重要橋梁，本課程具有很強的實際應用背景，是國內(nèi)理工科大學很多專業(yè)的必修課之一。運用數(shù)學物理方程中的某些方法或理論解決實際問題，可使學生開闊眼界，進一步提高學生處理實際問題的能力，所以這就要求授課教師從教學內(nèi)容、教學方法及教學模式等方面進行有效地創(chuàng)新，不斷積極探索該課程與實際問題的關系，加強數(shù)學物理方程的教學與實際應用問題的銜接。

（1）在實際授課過程融入實際案例，比如，在講解反應擴散方程時，介紹斑圖形成的原理。能夠激發(fā)學生學習數(shù)學物理方程的興趣，提高學生推導計算能力，增強學生數(shù)學邏輯思維能力，進而提高學生解決相關實際問題的能力。

（2）提升數(shù)學理論知識的圖形可視性，比如，反應擴散方程誘導斑圖發(fā)生時的圖形。隨著數(shù)學軟件的引入，數(shù)學問題的直觀性就會得到充分展現(xiàn)。

（3）在實際教學中，針對不同專業(yè)的學生講解內(nèi)容側重點不同。但是，重點不變的是與本門課程相關內(nèi)容的實際物理背景以及凸顯的基本數(shù)學思想。

利用Matlab 軟件，對數(shù)學物理方程中的相關模型求解，可以使抽象、復雜的問題簡單化、具體化、形象化，因此將Matlab 軟件合理運用在教學過程中，可以降低教與學的難度，并通過對圖形的直觀認識和理解，更能激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學生的創(chuàng)造力，發(fā)揮學生的想象力。

1 反應擴散方程

反應擴散方程作為3 類經(jīng)典物理方程之一，具有很強的實際應用背景。同時，反應擴散方程也可以解決許多實際問題，如各種動物的外表的形成，生物體的自組織反應，神經(jīng)網(wǎng)絡信息傳播，刻畫化學反應中反應物與抑制劑相互作用的過程[3]。本節(jié)將給出幾個反應擴散方程并利用Matlab 軟件仿真系統(tǒng)不同時間時，時空解的演化趨勢。

第一，二維復Ginzburg-Landau 方程[4]

ut=（1+iv）Δu+u-（1+iμ）u|u|2，其中（x，y）∈Ω=[0，100]×[0，100]，v，μ 為參數(shù)，令v=0，μ=1.5，邊界條件為周期邊界條件，初值為u（0，x，y）=（ix+y）exp（-0.03（x2+y2））。

圖1 （a）表示系統(tǒng)的螺旋解（b）表示系統(tǒng)產(chǎn)生破缺現(xiàn)象（c）表示系統(tǒng)發(fā)生了混沌現(xiàn)象

第二，二維Gray-Scott 方程[5]。

ut=ξ1Δu+b（1-u）-uv2，vt=ξ2Δv+dv+uv2，其中，（x，y）∈Ω=[0，2]×[0，2]，ξ1=0.00002，ξ2=0.00001為擴散系數(shù)。初值為u（0，x，y）=1-exp（-80（（x+0.05）2+（y+0.02）2）），v（0，x，y）=exp（-80（（x-0.05）2+（y-0.02）2））。邊界條件為周期邊界條件。

圖2 （a）系統(tǒng)在t=3 500 時的Rolls 解，（b）系統(tǒng)在t=3 500 時的點狀解

第三，一類具有隨機Gaussian 分布項的捕食食餌模型[6]

第四，具有Beddington-DeAngelis 功能反應函數(shù)的超擴散反應捕食食餌模型[7]

圖3 系統(tǒng)發(fā)生Hopf 分支時，時間周期解的演化過程

圖4 參數(shù)在Turing-Hopf（余維-2）分支點附近選取時，分數(shù)階算子指數(shù)對系統(tǒng)時空周期斑圖的影響

式中：▽γ 為分數(shù)階Riesz 算子，γ∈（1，2）邊界條件為Dirichlet 條件。參數(shù)取值分別為s=1，m=0.01，n=0.5，d=0.5，d1=0.2。當d2=2.923，r=1.555 6 時，系統(tǒng)發(fā)生余維-2 的Turing-Hopf 分支。（u0，v0）=（0.1+10-3（cosx+cosy），0.18+10-3（cosx+cosy））。

2 結語

本文以反應擴散方程為例，介紹了幾類方程在不同邊界條件下，選擇合適的參數(shù)時，數(shù)值仿真實現(xiàn)了系統(tǒng)時空解的演化趨勢的可視化教學，所以在實際教學中適當引入Matlab 軟件，能夠幫助學生更好地掌握數(shù)學概念、理解幾類邊界條件和時空解的內(nèi)涵、邏輯推演等，可有效地激發(fā)學生學習數(shù)學物理方程的積極性和創(chuàng)新性，進一步擴展拓展學生的數(shù)學思維和邏輯推演能力。同時Matlab 等軟件的使用有助于激發(fā)學生學習的主觀能動性，更有利于教師探究性學習和翻轉課堂教學模式的開展；可以讓教師的教和學生的學，更加關注物理圖像背后的概念與思想，實現(xiàn)領悟數(shù)學物理方程的思想。