沈進(jìn)中， 鄧留保

(1.安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽淮南232001； 2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽蚌埠233030)

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向量范數(shù)的積分不等式與應(yīng)用

沈進(jìn)中1， 鄧留保2

(1.安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽淮南232001； 2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽蚌埠233030)

證明了2-范數(shù)積分不等式，進(jìn)一步將其推廣到一般范數(shù)的積分不等式.作為該結(jié)果的一個(gè)應(yīng)用，本文在最后一部分給出一個(gè)實(shí)例說明采用一般的向量范數(shù)也可以證明微分方程解的唯一性，從而擴(kuò)展了微分方程理論分析的思維方法.

向量范數(shù)； 積分不等式； Lebesgue零測度集； 非自治系統(tǒng)

1 引 言

常微分方程理論不僅廣泛應(yīng)用于工業(yè)，農(nóng)業(yè)，生物工程，航空航天，系統(tǒng)工程等領(lǐng)域，而且是系統(tǒng)理論研究的重要工具.在涉及向量長度時(shí)，文獻(xiàn)[1-2]中采用的是2-范數(shù).當(dāng)前，幾乎所有的常微分方程專著[3-5]的理論分析中都是采用1-范數(shù)[6]，而沒有采用其他的向量范數(shù)或矩陣范數(shù)，這是筆者在學(xué)習(xí)常微分方程時(shí)一直存在的一個(gè)疑問.一般而言，最能直觀體現(xiàn)一個(gè)n維向量的長度的范數(shù)是2-范數(shù)，即是歐氏范數(shù).筆者曾嘗在解的存在性和唯一性證明過程中用2-范數(shù)代替1-范數(shù)，但是發(fā)現(xiàn)一個(gè)最大的問題就是無法得到一個(gè)范數(shù)積分不等式，帶著這個(gè)問題，經(jīng)過深入研究，最終解決此問題，并將結(jié)果作了進(jìn)一步推廣.

2 預(yù)備知識

P-范數(shù)：x=(x1,x2,…xn)∈n, ‖∞.

1-范數(shù)：x=(x1,x2,…xn)∈n, ‖

2-范數(shù)：x=(x1,x2,…xn)∈n, ‖

引理1[7]復(fù)數(shù)值函數(shù)w(t)=u(t)+iv(t)在[a,b]上可積，則成立

引理2[6]有限維線性空間上的不同范數(shù)等價(jià).

3 主要結(jié)果

定理3.1單變量向量值函數(shù)x(t)=(x1(t),x2(t),…xn(t))∈n,若對每個(gè)分量xi(t)均在[a,b]可積，則

(1)

證采用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=1時(shí)， x(t)=x1(t)∈1，根據(jù)定積分不等式，顯然結(jié)論(1)成立.

當(dāng)n=2時(shí)，根據(jù)引理1可知，結(jié)論(1)成立.

假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論(1)成立，即

(2)

那么，若x(t)=(x1(t),x2(t),…xk+1(t))∈k+1每個(gè)分量xi(t)均在[a,b]可積，根據(jù)黎曼可積的充要條件，則在[a,b]可積.應(yīng)用引理1，有

化簡，得

(3)

再根據(jù)假設(shè)條件(2)式，有

(4)

應(yīng)用(3)和(4)，立即可得

(5)

即

注3.1 定理3.1表明當(dāng)向量的范數(shù)取為2-范數(shù)時(shí)，積分不等式(1)成立.在文獻(xiàn)[4-7]中的向量范數(shù)是1-范數(shù)，此范數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，易于驗(yàn)證積分不等式

成立，但1-范數(shù)缺點(diǎn)是對點(diǎn)的長度刻畫不夠直觀.既然1-范數(shù)和2-范數(shù)都滿足積分不等式，是否所有的向量范數(shù)都滿足積分不等式呢？這個(gè)難以回答，究其原因，范數(shù)實(shí)質(zhì)是一個(gè)定義在線性空間上的，且滿足非負(fù)性、齊次性、三件不等式的任何一個(gè)實(shí)數(shù)值函數(shù)，可見范數(shù)的形式有無窮多個(gè).沒有具體的范數(shù)表達(dá)式去分析就會(huì)顯得比較困難，這里給出一個(gè)弱一點(diǎn)的結(jié)果.

定理3.2設(shè)‖·‖a是Rn中向量范數(shù)，則存在常數(shù)c>0使得

(6)

其中x(t)=(x1(t),x2(t),…xn(t))∈n,且對每個(gè)分量xi(t)均在[a,b]可積.

證首先需說明的是，‖x(t)‖a在[a,b]上可積.根據(jù)范數(shù)滿足三角不等式，有

‖x(t+Δt)-x(t)‖a≤ |x1(t+Δt)-x1(t)|·‖e1‖a+…+|x1(t+Δt)-x1(t)|·‖en‖a，

再根據(jù)定理3.1的結(jié)論，得

這就證明了定理3.2.

注3.2 從定理3.2可以看出，定理3.1是定理3.2的中c=1時(shí)的特例.

對于P-范數(shù)，是否有類似于(1)式的積分不等式呢？這里給出一個(gè)充分條件

定理3.3正常數(shù)p≥1，若對于在[a,b]上可積任意實(shí)函數(shù)x(t),y(t)，總成立

則

其中‖·‖p為P-范數(shù)，x(t)=(x1(t),x2(t),…xn(t))∈n且每個(gè)分量xi(t)均在[a,b]可積.

證采用數(shù)學(xué)歸納法，仿照定理3.1的證明過程，完成是容易的，不再贅述.

4 應(yīng) 用

用結(jié)論2來證明非自治微分方程解的唯一性.一個(gè)非自治微分方程(非自治系統(tǒng))初值問題可以描述為

(7)

命題4.1若非自治微分方程(7)有唯一解，且滿足Lipschitz條件，則解是唯一的.

證任取一種n中向量范數(shù)‖·‖a.設(shè)(7)有兩個(gè)解φ(t),φ(t)，則

由于φ(t),φ(t) 在t∈I上連續(xù)，因此

‖φ(s)-φ(s)‖a≤A, ?t∈I.

(8)

根據(jù)Lipschitz條件， 有

(9)

如此下去，采用數(shù)學(xué)歸納法，容易得到

(10)

其中m為任意正整數(shù)，從(10)式右端可知‖φ(s)-φ(s)‖a=0，即得φ(s)=φ(s).

注意上述證明過程有一些細(xì)節(jié)并未說明，而是默認(rèn)其成立，但證明的思路是正確的.之所以這么做，主要是說明在微分方程解的唯一性定理證明過程中是可以采用任意一種向量范數(shù)的，而不僅僅是1-范數(shù)，因此沒有在細(xì)節(jié)上考究，畢竟證明的思想在許多文獻(xiàn)中都有[2-5].

5 結(jié) 語

本文主要研究了2-范數(shù)積分不等式，并給出了嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明.然后對一般的范數(shù)的積分不等式也做出了證明，分別以定理3.1和定理3.2的形式給出，并對P-范數(shù)的積分不等式成立給出了一個(gè)充分條件，事實(shí)上也是必要條件.這些結(jié)果在常用的常微分方程參考書中暫未發(fā)現(xiàn)[2-5，9].在本文第4部分舉出了一個(gè)例子說明在證明唯一性的過程中，選取的范數(shù)可以是任何一個(gè)向量范數(shù).本文結(jié)果可以擴(kuò)大分析問題的思維方式.值得注意的是定理3.2中的(6)式里面的常數(shù)c是否等于1上不知道，這需要進(jìn)一步的研究.

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[5] 袁榮.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2012，161-170.

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The Integral Inequality of Vector Norms and its Application

SHENJin-zhong1，DENGLiu-bao2

(1.College of Electrical and Information Engineering, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 232001, China；2.School of Finance, Anhui University of Financial and Economics, Bengbu Anhui 233030, China)

This paper proves the integral inequality of 2-norm, furthermore, this result is extended to common vector norms.As an application，there is an example to illustrate the uniqueness of the solution of the differential equation can be proved by applying a common vector norm in the last part, which can extend more thoughts in theoretical analysis of ordinary differential equation.

vector norms; integral inequality; set of Lebesgue measure zero; nonautonomous system

2016-07-12； [修改日期]2016-09-30

安徽理工大學(xué)碩博基金(ZY022)；安徽高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2015A076)

沈進(jìn)中(1985-)，男，博士，講師，從事非線性系統(tǒng)研究.Email:jzshen009@163.com

O172.2

C

1672-1454(2016)06-0083-04