鄭文晶

（呼倫貝爾學(xué)院 內(nèi)蒙古 海拉爾 021008）

函數(shù)概念是被廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)概念之一，其重要意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)范圍，在數(shù)學(xué)中，函數(shù)處于基礎(chǔ)的核心地位，函數(shù)不僅是貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線，它也是數(shù)學(xué)分析這門課程研究的對象。在數(shù)學(xué)分析第一章應(yīng)用“集合對應(yīng)說”給出了函數(shù)概念，介紹多元函數(shù)時(shí)，用集合論的語言較嚴(yán)格地給出函數(shù)概念的另一種形式，學(xué)生們產(chǎn)生疑問，為什么又要重新定義函數(shù)的概念？本文從HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系的國際研究組織）視角下，以函數(shù)概念課堂教學(xué)為例，從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)發(fā)展史、學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知，三個(gè)維度出發(fā)，依據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式運(yùn)用于教學(xué)，讓學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，完成概念的再認(rèn)識，在HPM視角下,通過預(yù)見和解釋學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，為學(xué)生尋找認(rèn)知的固著點(diǎn)。

1.對學(xué)生函數(shù)概念的認(rèn)知調(diào)查

對某高校的大一本科74名學(xué)生，在按照函數(shù)概念常規(guī)的教學(xué)順序，在完成函數(shù)概念教學(xué)后，進(jìn)行了問卷及部分學(xué)生進(jìn)行了訪談。在問卷中針對函數(shù)概念提出了四道問題：

1.1 回憶你所學(xué)的函數(shù)概念，用自己的理解描述什么是函數(shù)（學(xué)生的回答見表1） ；

1.2 你認(rèn)為大學(xué)所學(xué)的函數(shù)概念最本質(zhì)的特征是什么（學(xué)生的回答見表2）；

1.3 談?wù)勀銓Υ髮W(xué)所學(xué)的函數(shù)概念的認(rèn)識，并說出初中函數(shù)概念、高中函數(shù)概念有什么不同（學(xué)生的回答見表3）；

1.4 你知道函數(shù)概念的發(fā)展史嗎（學(xué)生的回答見表4）；

學(xué)生做了如下回答:

從學(xué)生問卷和訪談的情況來看，在實(shí)際教學(xué)中部分教師對初、高中、大學(xué)函數(shù)概念的銜接缺乏充分的認(rèn)識，不能多角度看待函數(shù)概念，不能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)初、高中，大學(xué)函數(shù)概念的自然過度，缺少對函數(shù)概念的整體把握。

2.函數(shù)概念的演進(jìn)史

函數(shù)概念是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷深化的，函數(shù)概念至17世紀(jì)下半葉到現(xiàn)在歷經(jīng)300多年的歷史變遷，一次一次被擴(kuò)展和嚴(yán)格化，其演變過程可分為以下幾個(gè)階段：

表1

表2

表3

表4

2.1函數(shù)概念的萌芽

在16世紀(jì)由于對物體運(yùn)動(dòng)的研究，人們開始轉(zhuǎn)入對各種變化過程和各種變化著的量之間依賴關(guān)系的研究，在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了變量與函數(shù)概念，特別是進(jìn)入17世紀(jì)以后，笛卡爾引入了直角坐標(biāo)與變量，使數(shù)學(xué)發(fā)生了具大變革，但當(dāng)時(shí)笛卡爾也沒有使用變量這一術(shù)語，而稱為“未知和未定的量”，變量作為數(shù)學(xué)名詞是約翰·貝努利（JohanBernoulli，1667-1748）首先應(yīng)用的，函數(shù)（function）這一名詞是德國哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Liebniz，1646--1716）首先采用的，在最初萊布尼茲用函數(shù)一詞表示變量的冪，其后萊布尼茲還用函數(shù)一詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長等曲線上點(diǎn)相關(guān)的某些幾何量，這也是最初的函數(shù)概念的萌芽。

2.2函數(shù)概念——變量依賴說

1718年，約翰·貝努利將x的函數(shù)從xn拓廣到用代數(shù)符號來表達(dá)與 x的所有量。給出函數(shù)的定義：“一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些常數(shù)以任何方式組成的量?！?貝努利的定義僅僅局限于代數(shù)式。

1748年歐拉（L.Euler,1707--1783）在約翰·貝努利的基礎(chǔ)上首次用“解析式”來定義函數(shù)：“變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式，它是這個(gè)變量和一些常量以任何方式組成的所謂解析式，它是通過算數(shù)運(yùn)算，三角運(yùn)算以及指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算連接變量和常量的分子?！睔W拉此時(shí)，已經(jīng)明確破了代數(shù)的局限。

1755年歐拉又更新了函數(shù)的定義：“如果某些變量以這樣一種方式依賴于另一些變量，當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數(shù)?！睔W拉的第二個(gè)定義，與現(xiàn)代函數(shù)的定義很接近，在函數(shù)的表達(dá)上不拘于用解析式來表達(dá)，破除了用公式表達(dá)函數(shù)的局限性，他認(rèn)為函數(shù)不一定用公式來表達(dá)，他曾把畫在坐標(biāo)系上的曲線也叫做函數(shù)。他認(rèn)為，函數(shù)是隨意畫出的一條曲線。

2.3函數(shù)概念——變量對應(yīng)說

隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)家們又把數(shù)學(xué)概念推到了一個(gè)新的層次。為了突破變量依賴說的限制，1823年，法國數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy,1789—1857)給函數(shù)如下定義：“對于x的每一個(gè)值，如果y有完全確定的值與之對應(yīng)，則y叫x的函數(shù)?！边@個(gè)定義把函數(shù)概念與曲線、連續(xù)、解析式等糾纏不清的關(guān)系給予澄清，也避免了“變化”一詞，但是對于函數(shù)概念的本質(zhì)——對應(yīng)思想強(qiáng)調(diào)不夠。此后黎曼（Riemann，1826-1866）和狄里克雷（Dirichlet，1805--1859）認(rèn)識到了這一點(diǎn)，黎曼給出了較精確的定義：“若對于x的每一個(gè)值，有完全確定的 y值與之對應(yīng)，不管建立起這種對應(yīng)方式如何，都稱y叫x的函數(shù)?！边@一定義徹底拋棄了解析式的束縛，特別強(qiáng)調(diào)和突出函數(shù)概念的本質(zhì)——對應(yīng)思想，使之具有更加豐富的內(nèi)涵。

1837年狄里克雷進(jìn)一步指出：“對于在某一區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值與之對應(yīng)，那么y叫x的函數(shù)。”這兩個(gè)定義被公認(rèn)為函數(shù)的現(xiàn)代定義。

2.4函數(shù)概念——集合對應(yīng)說

19世紀(jì)末20世紀(jì)初，把函數(shù)看作一種對應(yīng)的思想已經(jīng)完成，隨著數(shù)學(xué)研究方法和研究領(lǐng)域的迅速發(fā)展，這種對應(yīng)的自變量、因變量的取值范圍也不斷地發(fā)生變化，如果說前面兩個(gè)世紀(jì)的人們把更多的注意力投放在函數(shù)的解析式上，那么20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家開始關(guān)注自變量的取值范圍。這不僅因?yàn)榻鉀Q實(shí)際問題而提出了問題，更主要是20世紀(jì)初，集合論的誕生，徹底地改變了人們的思考方式。德國數(shù)學(xué)家康托（Cantor.1845--1918）提出的集合論被世人廣泛接受后，用集合的對應(yīng)關(guān)系來表示函數(shù)概念漸漸地占據(jù)了數(shù)學(xué)家的思維，通過集合論的概念把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域、值域進(jìn)一步具體化，那么函數(shù)便明確地定義為集合的對應(yīng)關(guān)系：如果對于集合的A中的每一個(gè)元素x，都有集合B的一個(gè)確定的元素y與之對應(yīng)，則稱y為x的函數(shù)。這個(gè)定義突破了狄利克雷古典定義中數(shù)集與數(shù)集之間對應(yīng)的限制，使函數(shù)外延大大擴(kuò)張了，同時(shí)避免了“自變量”，“因變量”的提法，但這個(gè)定義任然有缺陷，因?yàn)橐昧宋醇佣x的“對應(yīng)”概念。

2.5 函數(shù)概念——集合關(guān)系說

“關(guān)系說”是“現(xiàn)代函數(shù)定義”，19世紀(jì)康托建立了集合論，函數(shù)概念進(jìn)入了集合論的范疇，使函數(shù)概念純粹地使用集合論語言進(jìn)行定義，在這種情況下，函數(shù)、映射又歸結(jié)為一種更為廣泛的概念——關(guān)系。

“設(shè)集合X與Y，定義X與Y的積集如下：XY={(x,y)∣x∈X,y∈Y},積集 X×Y 中的一個(gè)子集R，稱為X與Y的一個(gè)關(guān)系，若(x,y)∈R，則稱x與y有關(guān)系，記為xR(y)；若(x,y)R則稱x與y無關(guān)系R，f設(shè)x是與y的關(guān)系，即f?X×Y如果(x,y) ，(x,z)，必有y=z，那么稱f為X到Y(jié)的映射或函數(shù)?！边@就是現(xiàn)代函數(shù)定義”它在形式上回避了“對應(yīng)”術(shù)語，使用的全是集合論語言，一掃原來定義在“對應(yīng)”的含義存在的模糊性，而使函數(shù)概念更為清晰、準(zhǔn)確。應(yīng)用范圍更廣泛了。

3.HPM視角下函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

HPM視角下函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，根據(jù)歷史發(fā)

生原理從數(shù)學(xué)知識、學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知和函數(shù)概念演變的不同發(fā)展階段，三個(gè)維度出發(fā)，從不同角度認(rèn)識函數(shù)的本質(zhì)及其形成過程。為函數(shù)概念教學(xué)提供一份教學(xué)示例，供廣大師生參考。

3.1教學(xué)設(shè)計(jì)的目的

從整體上講，對于函數(shù)概念，學(xué)生在已掌握“集合對應(yīng)說”的基礎(chǔ)上，基于HPM視角下，借助史料完成對函數(shù)概念集合關(guān)系說的再認(rèn)識。

3.2課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

設(shè)X、Y為兩個(gè)集合，有對應(yīng)法則 f ，使得對 ? x∈X,?唯一的 y ∈Y與之對應(yīng)，則稱 f是定義在集合X到集合Y上的一個(gè)函數(shù)（或映射），記作

3.2.1課題引入

根據(jù)函數(shù)的三中表示方法：解析法、圖像法、表格法，本節(jié)課從函數(shù)的三種表示方法引入，借助PPT介紹函數(shù)概念的演進(jìn)史，讓學(xué)生了解約翰.伯努利、歐拉、狄利克雷等數(shù)學(xué)大師給出的各自不同的函數(shù)定義，幫助學(xué)生理解今天函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)意義，進(jìn)一步加深對函數(shù)概念的掌握。

3.2.2教學(xué)過程

（1）回顧已學(xué)的函數(shù)定義：

師：通過PPT介紹函數(shù)概念的演進(jìn)史，我們知道 在第一章應(yīng)用“對應(yīng)關(guān)系”給出函數(shù)概念的“集合對應(yīng)說”，哪位同學(xué)能說出函數(shù)的定義？

生：（學(xué)生A給出了函數(shù)的不完整定義，學(xué)生B有進(jìn)行了補(bǔ)充。)

師：（通過A、B兩位學(xué)生的回答，教師給出下面函數(shù)概念的定義）

記作 y = f(x)，稱 y 為x在（映射）f下，的象， x 為 y的原象，X稱為f的定義域，記為 D (f)= X ，所有 x ∈ X 在映射 f下的象全體稱為 f的值域，記為R(f)：

師：我們知道函數(shù)的概念，從萌芽階段、變量依賴說、變量對應(yīng)說再到集合對應(yīng)說，那么函數(shù)這個(gè)概念到目前為止，是否達(dá)到嚴(yán)密了？

生：是，嚴(yán)密了。

師：不嚴(yán)密。這個(gè)定義雖然突破了數(shù)集與數(shù)集之間對應(yīng)的限制，使函數(shù)外延大大擴(kuò)張了，同時(shí)避免了“自變量”，“因變量”的提法，但這個(gè)定義任然有缺陷，從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來看，這個(gè)函數(shù)概念是不嚴(yán)格的，誰能說說，那句話是不嚴(yán)密的？

生：.....

師：因?yàn)檫@里引用到了與函數(shù)概念等價(jià)的“對應(yīng)關(guān)系”或“對應(yīng)”，何為對應(yīng)關(guān)系或?qū)?yīng)尚無定義，因此，這個(gè)函數(shù)概念有缺陷，是不嚴(yán)格的,下面將探索給出比較嚴(yán)格的函數(shù)定義。

（2）探索新的函數(shù)定義：

師：我們知道，兩個(gè)元素組成的集合 { x ,y }與{a ,b }相同是指？

師：對！集合中的元素沒有次序可言的。當(dāng)我們說元素x與y組成“序?qū)Α?( x ,y ) 時(shí)，對序?qū)?( x ,y )與 ( a,b )來說，它們相等的意思是指：

生 ： x = a ,y=b 。

師：對于兩個(gè)集合A,B,記

即一切序?qū)?( x ,y )之全體，稱 A × B 為A與B的直積。

例如 A = {0,1}， B ={2,4,1}，則

從直積的觀點(diǎn)看問題，二維平面就是直積：

師：我們已知一元函數(shù)的圖像 y = f(x)，x∈ A 是坐標(biāo)平面 R2上有序數(shù)對的集合{(x,y)x ∈A,y =f(x)∈B}，這個(gè)有序數(shù)對的集合實(shí)質(zhì)是笛卡爾積集 A × B 的一個(gè)子集，而且它是一個(gè)特殊的子集，它的特殊性就是單值性，即?x∈A，有唯一一個(gè)y=f(x),使(x,y)∈A×B，這就啟發(fā)我們，函數(shù)實(shí)質(zhì)是笛卡爾積集 A × B 內(nèi)的具有單值性的一個(gè)子集。

師：有了直積的概念，下面我們給出一種特殊的對應(yīng)，我們稱作關(guān)系。

定義 設(shè)有集合X，Y我們說 f是X與Y之間的一個(gè)對應(yīng)，是說f是 X × Y 的一個(gè)子集（即f?X×Y ）如果(x,y)∈f 就說y與給定的x對應(yīng)，對應(yīng)也稱為關(guān)系。

師：有此知，

如果f∶X→Y，那么f是X與Y之間的某類對應(yīng)，當(dāng)然是 X × Y 中的一個(gè)子集，此子集稱為f的圖形。

師：為什么此子集稱為f的圖形：

生：二維平面是直積，因(x,y)∈f，而(x,y)是平面上的點(diǎn)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)構(gòu)成平面圖形，所以子集為f的圖形。

師：不過要使一種對應(yīng)成為一個(gè)函數(shù)，必須具備什么特征？

生：對于集合X中的每一個(gè)值，集合Y中都有唯一確定的值與之對應(yīng)。

師：好！非常好！那么如何用關(guān)系，用符號語言來表達(dá)呢？

生：......

師:對每一個(gè) x ∈ D (f)， f使其正好對應(yīng)著一個(gè)y，也就是說，一個(gè)x要對應(yīng)兩個(gè)y，那么這兩個(gè)y一定應(yīng)該....

生：相等。

師：對！那么如何用關(guān)系來表示呢？

生：若(x,y)∈f，且(x,y′)∈f，則y= y′。

師：非常好！在這里，函數(shù)總是指單值對應(yīng)。

師：結(jié)合老師所講的內(nèi)容，能否用符號語言給出函數(shù)關(guān)系說的定義？

（在老師的指點(diǎn)下，同學(xué)們給出了函數(shù)關(guān)系說的定義。）

定義 給定集合X，Y若一切有序數(shù)對(x,y)（其中x∈X,y∈Y）的全體X×Y的某個(gè)子集f滿足條件(x,y)∈ f,(x,y′)∈f：時(shí)，有y = y′，則稱f?X×Y為從X到Y(jié)的函數(shù)。

師：這個(gè)定義的嚴(yán)密性優(yōu)于先前的函數(shù)概念，一方面在于它用集合的語言定義了自變量，因變量，取值范圍和它們的法則——關(guān)系；另一方面在于該定義中不含有未定義的概念“對應(yīng)”，而該定義中的“關(guān)系”是經(jīng)過嚴(yán)格定義的。

4.加深對函數(shù)概念的理解

由此可見，確定一個(gè)函數(shù)仍有兩個(gè)要素：一是它的定義域；二是?x∈X，都有唯一一個(gè)y，使(x,y)∈f，這與第一章的函數(shù)定義完全相同，這個(gè)函數(shù)定義只涉及笛卡爾積集、集合的子集，都是已知的概念，避免了函數(shù)概念的集合對應(yīng)說中“對應(yīng)關(guān)系”一詞的不確定性，并使“對應(yīng)關(guān)系”獲得了集合論的基礎(chǔ)，又使函數(shù)與它的直觀化——函數(shù)圖像統(tǒng)一了起來，在第一章約定的有關(guān)函數(shù)的表示法和有關(guān)術(shù)語都繼續(xù)適用，其中X、Y二集可能是子集 R ,R2...,Rn。這個(gè)函數(shù)定義包括了過去學(xué)過的一元函數(shù)以及將要學(xué)習(xí)的所有多元函數(shù)。

當(dāng)X、Y不同情況時(shí)的各種函數(shù)：

⑴X?R,Y?R ， 當(dāng)(x,y)∈f 或y= f(x)， x ∈ X ， y ∈ Y 是我們熟知的一元函數(shù)。

⑵設(shè) X ?R2,Y?R即?( x ,y )∈X?R2，?z ∈Y 使(x,y,z )∈f ?R2×R =R3或z=f(x,y),(x,y)∈X,z∈Y ，這是二元函數(shù)。

二元函數(shù) z = f(x ,y)在三維歐氏空間 R3中的點(diǎn)集

稱為二元函數(shù)的圖像，通常它是三維空間中的一張曲面。

二元和二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù)。

例如，在 R3中，長、寬、高分別是 x ,y ,z的立體體積

V是 x ,y ,z的三元函數(shù)。

y是n元 x1, x2,...xn的實(shí)值函數(shù)，它的定義域

將n元實(shí)值函數(shù)表為 y =f(P),P∈Rn,稱為點(diǎn)P的函數(shù)，簡稱點(diǎn)函數(shù)。點(diǎn)函數(shù)的表示與一元函數(shù)的形式一致，且與點(diǎn)P所在的空間維數(shù)無關(guān)，因此點(diǎn)函數(shù)形式簡單，又具有一般性，有時(shí)為書寫簡單，將多元函數(shù)也寫成點(diǎn)函數(shù)的形式。

是一元二值向量函數(shù)，即我們已知的參數(shù)方程。例如，已知的圓的參數(shù)方程：

其中r是正常數(shù)。

5.教學(xué)反饋與啟示

通過HPM視角把數(shù)學(xué)史融入函數(shù)概念的課堂教學(xué)中，學(xué)生不僅解了函數(shù)概念的發(fā)展歷史，借助史料完成對函數(shù)概念的集合對應(yīng)說和集合關(guān)系說的再認(rèn)識，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)效果。

課后學(xué)生的反映也比較強(qiáng)烈，從教學(xué)過程看，不像以往，在講函數(shù)概念時(shí)，學(xué)生覺得第一章學(xué)過，也不認(rèn)真聽講，通過數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，學(xué)生回答問題的主動(dòng)性和積極性比原來高，學(xué)生探究問題的積極性增強(qiáng)。課后對將數(shù)學(xué)史融入函數(shù)概念的課堂教學(xué)進(jìn)行了問卷調(diào)查和訪談，絕大部分學(xué)生持正面看法，認(rèn)為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，增進(jìn)了對概念本質(zhì)的理解，不理解為什么在原來所學(xué)函數(shù)概念的基礎(chǔ)上重新給出函數(shù)的另一定義，通過介紹函數(shù)概念的歷史發(fā)展，揭示函數(shù)各個(gè)定義的局限性，這些疑惑便迎刃而解了，學(xué)生要求課下教師可以給出與課程相關(guān)的數(shù)學(xué)史資料，以便學(xué)生課下學(xué)習(xí)，同時(shí)也增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的興趣。

歷史發(fā)生原理告訴我們：學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解過程與數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展過程具有一定的相似性，歷史上數(shù)學(xué)家所遭遇的困難正是學(xué)生所經(jīng)歷的障礙。M.克萊因說“歷史順序是教學(xué)的指南。”研究函數(shù)概念的發(fā)展歷史可以幫助教師更好地把握教學(xué)難點(diǎn)，有助于診斷學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)的認(rèn)知困難，從而合理地選擇教學(xué)手段和方法，以突破函數(shù)概念理解的難點(diǎn)。

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